Номер 6.77, страница 182 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.77. 1) $\frac{a^2 + ax + ab + bx}{a^2 - ax - ab + bx} \cdot \frac{a^2 - ax - bx + ab}{a^2 + ax - bx - ab}$;

2) $\frac{x^2 + ax - 3x - 3a}{x^2 - ax - 3x + 3a} \cdot \frac{x^2 + 4x - ax - 4a}{x^2 + 4x + ax + 4a}$;

3) $\frac{x^2 - bx + ax - ab}{x^2 + bx - ax - ab} : \frac{x^2 + bx + ax + ab}{x^2 - bx - ax + ab}$;

4) $\frac{m^2 + m - mn - n}{m^2 + m + mn + n} : \frac{m^2 - m - mn + n}{m^2 - m + mn - n}$.

1)

Для решения данного примера необходимо разложить на множители числители и знаменатели дробей. Будем использовать метод группировки слагаемых.

Разложим на множители числитель первой дроби: $a^2 + ax + ab + bx = (a^2 + ax) + (ab + bx) = a(a+x) + b(a+x) = (a+x)(a+b)$.

Разложим на множители знаменатель первой дроби: $a^2 - ax - ab + bx = (a^2 - ax) - (ab - bx) = a(a-x) - b(a-x) = (a-x)(a-b)$.

Разложим на множители числитель второй дроби: $a^2 - ax - bx + ab = (a^2 - ax) - (bx - ab) = a(a-x) - b(x-a) = a(a-x) + b(a-x) = (a-x)(a+b)$.

Разложим на множители знаменатель второй дроби: $a^2 + ax - bx - ab = (a^2 + ax) - (bx + ab) = a(a+x) - b(x+a) = (a+x)(a-b)$.

Теперь подставим полученные разложения в исходное выражение и выполним умножение:

$\frac{a^2 + ax + ab + bx}{a^2 - ax - ab + bx} \cdot \frac{a^2 - ax - bx + ab}{a^2 + ax - bx - ab} = \frac{(a+x)(a+b)}{(a-x)(a-b)} \cdot \frac{(a-x)(a+b)}{(a+x)(a-b)}$

Сократим одинаковые множители в числителях и знаменателях:

$\frac{\cancel{(a+x)}(a+b)}{\cancel{(a-x)}(a-b)} \cdot \frac{\cancel{(a-x)}(a+b)}{\cancel{(a+x)}(a-b)} = \frac{a+b}{a-b} \cdot \frac{a+b}{a-b} = \frac{(a+b)^2}{(a-b)^2} = \left(\frac{a+b}{a-b}\right)^2$

Ответ: $\left(\frac{a+b}{a-b}\right)^2$

2)

Разложим на множители числители и знаменатели обеих дробей методом группировки.

Числитель первой дроби: $x^2 + ax - 3x - 3a = x(x+a) - 3(x+a) = (x+a)(x-3)$.

Знаменатель первой дроби: $x^2 - ax - 3x + 3a = x(x-a) - 3(x-a) = (x-a)(x-3)$.

Числитель второй дроби: $x^2 + 4x - ax - 4a = x(x+4) - a(x+4) = (x+4)(x-a)$.

Знаменатель второй дроби: $x^2 + 4x + ax + 4a = x(x+4) + a(x+4) = (x+4)(x+a)$.

Подставим полученные выражения в исходный пример:

$\frac{x^2 + ax - 3x - 3a}{x^2 - ax - 3x + 3a} \cdot \frac{x^2 + 4x - ax - 4a}{x^2 + 4x + ax + 4a} = \frac{(x+a)(x-3)}{(x-a)(x-3)} \cdot \frac{(x+4)(x-a)}{(x+4)(x+a)}$

Сократим общие множители:

$\frac{\cancel{(x+a)}\cancel{(x-3)}}{\cancel{(x-a)}\cancel{(x-3)}} \cdot \frac{\cancel{(x+4)}\cancel{(x-a)}}{\cancel{(x+4)}\cancel{(x+a)}} = 1 \cdot 1 = 1$

Ответ: $1$

3)

Данное выражение содержит операцию деления дробей. Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернутую).

$\frac{x^2 - bx + ax - ab}{x^2 + bx - ax - ab} : \frac{x^2 + bx + ax + ab}{x^2 - bx - ax + ab} = \frac{x^2 - bx + ax - ab}{x^2 + bx - ax - ab} \cdot \frac{x^2 - bx - ax + ab}{x^2 + bx + ax + ab}$

Теперь разложим на множители числители и знаменатели методом группировки.

Числитель первой дроби: $x^2 - bx + ax - ab = x(x-b) + a(x-b) = (x-b)(x+a)$.

Знаменатель первой дроби: $x^2 + bx - ax - ab = x(x+b) - a(x+b) = (x+b)(x-a)$.

Числитель второй дроби: $x^2 - bx - ax + ab = x(x-b) - a(x-b) = (x-b)(x-a)$.

Знаменатель второй дроби: $x^2 + bx + ax + ab = x(x+b) + a(x+b) = (x+b)(x+a)$.

Подставим разложения в выражение и выполним умножение:

$\frac{(x-b)(x+a)}{(x+b)(x-a)} \cdot \frac{(x-b)(x-a)}{(x+b)(x+a)}$

Сократим общие множители:

$\frac{(x-b)\cancel{(x+a)}}{(x+b)\cancel{(x-a)}} \cdot \frac{(x-b)\cancel{(x-a)}}{(x+b)\cancel{(x+a)}} = \frac{x-b}{x+b} \cdot \frac{x-b}{x+b} = \frac{(x-b)^2}{(x+b)^2} = \left(\frac{x-b}{x+b}\right)^2$

Ответ: $\left(\frac{x-b}{x+b}\right)^2$

4)

Заменим деление на умножение, перевернув вторую дробь.

$\frac{m^2 + m - mn - n}{m^2 + m + mn + n} : \frac{m^2 - m - mn + n}{m^2 - m + mn - n} = \frac{m^2 + m - mn - n}{m^2 + m + mn + n} \cdot \frac{m^2 - m + mn - n}{m^2 - m - mn + n}$

Разложим все многочлены на множители методом группировки.

Числитель первой дроби: $m^2 + m - mn - n = m(m+1) - n(m+1) = (m+1)(m-n)$.

Знаменатель первой дроби: $m^2 + m + mn + n = m(m+1) + n(m+1) = (m+1)(m+n)$.

Числитель второй дроби: $m^2 - m + mn - n = m(m-1) + n(m-1) = (m-1)(m+n)$.

Знаменатель второй дроби: $m^2 - m - mn + n = m(m-1) - n(m-1) = (m-1)(m-n)$.

Подставим разложения в выражение:

$\frac{(m+1)(m-n)}{(m+1)(m+n)} \cdot \frac{(m-1)(m+n)}{(m-1)(m-n)}$

Сократим дроби на общие множители:

$\frac{\cancel{(m+1)}\cancel{(m-n)}}{\cancel{(m+1)}\cancel{(m+n)}} \cdot \frac{\cancel{(m-1)}\cancel{(m+n)}}{\cancel{(m-1)}\cancel{(m-n)}} = 1 \cdot 1 = 1$

Ответ: $1$