Номер 6.76, страница 182 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.76. 1) $ \frac{m^5 + m^4 + m^3}{m^3 + m^2} \cdot \frac{m^5 + m^4}{m^4 + m^3 + m^2} $;

2) $ \frac{n^2 - n^4 + n^6}{1 - n} \cdot \frac{n^2 - 1}{n^5 - n^3 + n} $;

3) $ \frac{a - a^3}{a^6 + a^2} \cdot \frac{a^5 - a}{a^5 + a} $;

4) $ \frac{9x^2 - x^6}{x^5 + x^7} : \frac{x^4 - 3x^2}{x^9 + x^7} $.

1) Исходное выражение: $\frac{m^5+m^4+m^3}{m^3+m^2} \cdot \frac{m^5+m^4}{m^4+m^3+m^2}$.
Для упрощения выражения разложим на множители числители и знаменатели дробей, вынеся общий множитель за скобки:
В числителе первой дроби: $m^5+m^4+m^3 = m^3(m^2+m+1)$.
В знаменателе первой дроби: $m^3+m^2 = m^2(m+1)$.
В числителе второй дроби: $m^5+m^4 = m^4(m+1)$.
В знаменателе второй дроби: $m^4+m^3+m^2 = m^2(m^2+m+1)$.
Подставим разложенные на множители выражения обратно в пример:
$\frac{m^3(m^2+m+1)}{m^2(m+1)} \cdot \frac{m^4(m+1)}{m^2(m^2+m+1)}$
Теперь можно сократить одинаковые множители в числителях и знаменателях. Сокращаем $(m^2+m+1)$ и $(m+1)$:
$\frac{m^3}{m^2} \cdot \frac{m^4}{m^2}$
Выполним умножение дробей и применим свойства степеней:
$\frac{m^3 \cdot m^4}{m^2 \cdot m^2} = \frac{m^{3+4}}{m^{2+2}} = \frac{m^7}{m^4} = m^{7-4} = m^3$
Ответ: $m^3$

2) Исходное выражение: $\frac{n^2-n^4+n^6}{1-n} \cdot \frac{n^2-1}{n^5-n^3+n}$.
Разложим на множители многочлены в числителях и знаменателях:
$n^2-n^4+n^6 = n^2(1-n^2+n^4)$.
$n^2-1 = (n-1)(n+1)$. Чтобы можно было сократить со знаменателем $(1-n)$, вынесем минус за скобку: $-(1-n)(n+1)$.
$n^5-n^3+n = n(n^4-n^2+1)$.
Подставим полученные выражения в исходный пример:
$\frac{n^2(n^4-n^2+1)}{1-n} \cdot \frac{-(1-n)(n+1)}{n(n^4-n^2+1)}$
Сократим общие множители $(1-n)$ и $(n^4-n^2+1)$:
$\frac{n^2}{1} \cdot \frac{-(n+1)}{n}$
Сократим оставшееся выражение на $n$:
$n \cdot (-(n+1)) = -n(n+1)$
Ответ: $-n(n+1)$

3) Исходное выражение: $\frac{a-a^3}{a^6+a^2} \cdot \frac{a^5-a}{a^5+a}$.
Разложим на множители числители и знаменатели:
$a-a^3 = a(1-a^2)$.
$a^6+a^2 = a^2(a^4+1)$.
$a^5-a = a(a^4-1) = a(a^2-1)(a^2+1)$.
$a^5+a = a(a^4+1)$.
Подставим разложения в исходное выражение:
$\frac{a(1-a^2)}{a^2(a^4+1)} \cdot \frac{a(a^2-1)(a^2+1)}{a(a^4+1)}$
Заметим, что $1-a^2 = -(a^2-1)$. Подставим это в выражение и сгруппируем множители:
$\frac{-a(a^2-1) \cdot a(a^2-1)(a^2+1)}{a^2(a^4+1) \cdot a(a^4+1)} = \frac{-a^2(a^2-1)^2(a^2+1)}{a^3(a^4+1)^2}$
Сократим дробь на $a^2$:
$\frac{-(a^2-1)^2(a^2+1)}{a(a^4+1)^2}$
Ответ: $\frac{-(a^2-1)^2(a^2+1)}{a(a^4+1)^2}$

4) Исходное выражение: $\frac{9x^2-x^6}{x^5+x^7} : \frac{x^4-3x^2}{x^9+x^7}$.
Заменим деление на умножение на обратную дробь:
$\frac{9x^2-x^6}{x^5+x^7} \cdot \frac{x^9+x^7}{x^4-3x^2}$
Разложим на множители все числители и знаменатели:
$9x^2-x^6 = x^2(9-x^4) = x^2(3-x^2)(3+x^2)$.
$x^5+x^7 = x^5(1+x^2)$.
$x^9+x^7 = x^7(x^2+1)$.
$x^4-3x^2 = x^2(x^2-3)$.
Подставим разложенные выражения:
$\frac{x^2(3-x^2)(3+x^2)}{x^5(1+x^2)} \cdot \frac{x^7(x^2+1)}{x^2(x^2-3)}$
Используем тождество $3-x^2 = -(x^2-3)$ для дальнейшего сокращения. Сокращаем общие множители $(x^2-3)$ и $(x^2+1)$:
$\frac{-x^2(x^2-3)(3+x^2)}{x^5(x^2+1)} \cdot \frac{x^7(x^2+1)}{x^2(x^2-3)} = \frac{-x^2(3+x^2)}{x^5} \cdot \frac{x^7}{x^2}$
Упростим полученное выражение, выполнив действия со степенями $x$:
$\frac{-x^2 \cdot x^7 (3+x^2)}{x^5 \cdot x^2} = \frac{-x^{2+7}(3+x^2)}{x^{5+2}} = \frac{-x^9(3+x^2)}{x^7} = -x^{9-7}(3+x^2) = -x^2(x^2+3)$
Ответ: $-x^2(x^2+3)$