Номер 6.72, страница 182 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.72. 1) $\frac{a^2 - b^2}{6a^2b^2} : \frac{a+b}{3ab};$

2) $\frac{x^2 + xy}{x} : \frac{xy + y^2}{y};$

3) $\frac{a^2b - 4b^3}{3ab^2} \cdot \frac{a^2b}{a^2 - 2ab};$

4) $\frac{4m^2 - 9n^2}{m^2n^2} : \frac{2am + 3an}{2mn};$

5) $\frac{x^2 - xy}{x^2 + xy} \cdot \frac{x^2y + xy^2}{xy};$

6) $\frac{c+d}{c-d} : \frac{c^2+cd}{2c^2-2d^2}.$

1) Чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, необходимо первую дробь умножить на дробь, обратную второй. После этого, для упрощения выражения, разложим числитель первой дроби на множители, используя формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

$\frac{a^2 - b^2}{6a^2b^2} : \frac{a+b}{3ab} = \frac{a^2 - b^2}{6a^2b^2} \cdot \frac{3ab}{a+b} = \frac{(a-b)(a+b)}{6a^2b^2} \cdot \frac{3ab}{a+b}$

Теперь можно сократить общие множители в числителе и знаменателе. Сокращаем $(a+b)$, а также $3ab$ и $6a^2b^2$ (остается $2ab$ в знаменателе).

$\frac{(a-b)\cancel{(a+b)}}{\cancel{6a^2b^2}_{\space 2ab}} \cdot \frac{\cancel{3ab}}{\cancel{a+b}} = \frac{a-b}{2ab}$

Ответ: $\frac{a-b}{2ab}$

2) Для решения этого примера заменим операцию деления на умножение на обратную дробь. Затем вынесем общие множители за скобки в числителе первой дроби ($x$) и в знаменателе второй дроби ($y$).

$\frac{x^2 + xy}{x} : \frac{xy + y^2}{y} = \frac{x^2 + xy}{x} \cdot \frac{y}{xy + y^2} = \frac{x(x+y)}{x} \cdot \frac{y}{y(x+y)}$

Далее сокращаем одинаковые множители в числителе и знаменателе: $x$, $y$ и $(x+y)$.

$\frac{\cancel{x}\cancel{(x+y)}}{\cancel{x}} \cdot \frac{\cancel{y}}{\cancel{y}\cancel{(x+y)}} = 1 \cdot 1 = 1$

Ответ: $1$

3) Для выполнения умножения разложим на множители числители и знаменатели. В числителе первой дроби вынесем общий множитель $b$ и применим формулу разности квадратов $a^2 - (2b)^2 = (a-2b)(a+2b)$. В знаменателе второй дроби вынесем общий множитель $a$.

$\frac{a^2b - 4b^3}{3ab^2} \cdot \frac{a^2b}{a^2 - 2ab} = \frac{b(a^2 - 4b^2)}{3ab^2} \cdot \frac{a^2b}{a(a-2b)} = \frac{b(a-2b)(a+2b)}{3ab^2} \cdot \frac{a^2b}{a(a-2b)}$

Перемножим числители и знаменатели, а затем произведем сокращение общих множителей $a^2$, $b^2$ и $(a-2b)$.

$\frac{b(a-2b)(a+2b) \cdot a^2b}{3ab^2 \cdot a(a-2b)} = \frac{a^2b^2(a-2b)(a+2b)}{3a^2b^2(a-2b)} = \frac{\cancel{a^2}\cancel{b^2}\cancel{(a-2b)}(a+2b)}{3\cancel{a^2}\cancel{b^2}\cancel{(a-2b)}} = \frac{a+2b}{3}$

Ответ: $\frac{a+2b}{3}$

4) Заменим деление на умножение на обратную дробь. В числителе первой дроби используем формулу разности квадратов $4m^2 - 9n^2 = (2m-3n)(2m+3n)$. В знаменателе второй дроби вынесем за скобки общий множитель $a$.

$\frac{4m^2 - 9n^2}{m^2n^2} : \frac{2am + 3an}{2mn} = \frac{4m^2 - 9n^2}{m^2n^2} \cdot \frac{2mn}{2am + 3an} = \frac{(2m-3n)(2m+3n)}{m^2n^2} \cdot \frac{2mn}{a(2m+3n)}$

Сократим общие множители $(2m+3n)$, $2$, $m$ и $n$ в числителе и знаменателе.

$\frac{(2m-3n)\cancel{(2m+3n)}}{m^{\cancel{2}}n^{\cancel{2}}_{\space mn}} \cdot \frac{\cancel{2mn}}{a\cancel{(2m+3n)}} = \frac{(2m-3n) \cdot 2}{amn} = \frac{2(2m-3n)}{amn}$

Ответ: $\frac{2(2m-3n)}{amn}$

5) Чтобы перемножить дроби, сначала упростим их, вынеся общие множители за скобки.

В первой дроби: $\frac{x^2 - xy}{x^2 + xy} = \frac{x(x-y)}{x(x+y)} = \frac{x-y}{x+y}$

Во второй дроби: $\frac{x^2y + xy^2}{xy} = \frac{xy(x+y)}{xy} = x+y$

Теперь перемножим упрощенные выражения:

$\frac{x-y}{x+y} \cdot (x+y)$

Сокращаем $(x+y)$:

$\frac{x-y}{\cancel{x+y}} \cdot \cancel{(x+y)} = x-y$

Ответ: $x-y$

6) Заменим деление умножением на перевернутую дробь. Затем разложим на множители числитель и знаменатель второй дроби. В числителе вынесем $2$ и применим формулу разности квадратов. В знаменателе вынесем $c$.

$\frac{c+d}{c-d} : \frac{c^2 + cd}{2c^2 - 2d^2} = \frac{c+d}{c-d} \cdot \frac{2c^2 - 2d^2}{c^2 + cd} = \frac{c+d}{c-d} \cdot \frac{2(c^2 - d^2)}{c(c+d)} = \frac{c+d}{c-d} \cdot \frac{2(c-d)(c+d)}{c(c+d)}$

Сократим общие множители в числителе и знаменателе: $(c-d)$ и $(c+d)$.

$\frac{\cancel{c+d}}{\cancel{c-d}} \cdot \frac{2\cancel{(c-d)}(c+d)}{c\cancel{(c+d)}} = \frac{2(c+d)}{c}$

Ответ: $\frac{2(c+d)}{c}$