Страница 182 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.72. 1) $\frac{a^2 - b^2}{6a^2b^2} : \frac{a+b}{3ab};$

2) $\frac{x^2 + xy}{x} : \frac{xy + y^2}{y};$

3) $\frac{a^2b - 4b^3}{3ab^2} \cdot \frac{a^2b}{a^2 - 2ab};$

4) $\frac{4m^2 - 9n^2}{m^2n^2} : \frac{2am + 3an}{2mn};$

5) $\frac{x^2 - xy}{x^2 + xy} \cdot \frac{x^2y + xy^2}{xy};$

6) $\frac{c+d}{c-d} : \frac{c^2+cd}{2c^2-2d^2}.$

1) Чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, необходимо первую дробь умножить на дробь, обратную второй. После этого, для упрощения выражения, разложим числитель первой дроби на множители, используя формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

$\frac{a^2 - b^2}{6a^2b^2} : \frac{a+b}{3ab} = \frac{a^2 - b^2}{6a^2b^2} \cdot \frac{3ab}{a+b} = \frac{(a-b)(a+b)}{6a^2b^2} \cdot \frac{3ab}{a+b}$

Теперь можно сократить общие множители в числителе и знаменателе. Сокращаем $(a+b)$, а также $3ab$ и $6a^2b^2$ (остается $2ab$ в знаменателе).

$\frac{(a-b)\cancel{(a+b)}}{\cancel{6a^2b^2}_{\space 2ab}} \cdot \frac{\cancel{3ab}}{\cancel{a+b}} = \frac{a-b}{2ab}$

Ответ: $\frac{a-b}{2ab}$

2) Для решения этого примера заменим операцию деления на умножение на обратную дробь. Затем вынесем общие множители за скобки в числителе первой дроби ($x$) и в знаменателе второй дроби ($y$).

$\frac{x^2 + xy}{x} : \frac{xy + y^2}{y} = \frac{x^2 + xy}{x} \cdot \frac{y}{xy + y^2} = \frac{x(x+y)}{x} \cdot \frac{y}{y(x+y)}$

Далее сокращаем одинаковые множители в числителе и знаменателе: $x$, $y$ и $(x+y)$.

$\frac{\cancel{x}\cancel{(x+y)}}{\cancel{x}} \cdot \frac{\cancel{y}}{\cancel{y}\cancel{(x+y)}} = 1 \cdot 1 = 1$

Ответ: $1$

3) Для выполнения умножения разложим на множители числители и знаменатели. В числителе первой дроби вынесем общий множитель $b$ и применим формулу разности квадратов $a^2 - (2b)^2 = (a-2b)(a+2b)$. В знаменателе второй дроби вынесем общий множитель $a$.

$\frac{a^2b - 4b^3}{3ab^2} \cdot \frac{a^2b}{a^2 - 2ab} = \frac{b(a^2 - 4b^2)}{3ab^2} \cdot \frac{a^2b}{a(a-2b)} = \frac{b(a-2b)(a+2b)}{3ab^2} \cdot \frac{a^2b}{a(a-2b)}$

Перемножим числители и знаменатели, а затем произведем сокращение общих множителей $a^2$, $b^2$ и $(a-2b)$.

$\frac{b(a-2b)(a+2b) \cdot a^2b}{3ab^2 \cdot a(a-2b)} = \frac{a^2b^2(a-2b)(a+2b)}{3a^2b^2(a-2b)} = \frac{\cancel{a^2}\cancel{b^2}\cancel{(a-2b)}(a+2b)}{3\cancel{a^2}\cancel{b^2}\cancel{(a-2b)}} = \frac{a+2b}{3}$

Ответ: $\frac{a+2b}{3}$

4) Заменим деление на умножение на обратную дробь. В числителе первой дроби используем формулу разности квадратов $4m^2 - 9n^2 = (2m-3n)(2m+3n)$. В знаменателе второй дроби вынесем за скобки общий множитель $a$.

$\frac{4m^2 - 9n^2}{m^2n^2} : \frac{2am + 3an}{2mn} = \frac{4m^2 - 9n^2}{m^2n^2} \cdot \frac{2mn}{2am + 3an} = \frac{(2m-3n)(2m+3n)}{m^2n^2} \cdot \frac{2mn}{a(2m+3n)}$

Сократим общие множители $(2m+3n)$, $2$, $m$ и $n$ в числителе и знаменателе.

$\frac{(2m-3n)\cancel{(2m+3n)}}{m^{\cancel{2}}n^{\cancel{2}}_{\space mn}} \cdot \frac{\cancel{2mn}}{a\cancel{(2m+3n)}} = \frac{(2m-3n) \cdot 2}{amn} = \frac{2(2m-3n)}{amn}$

Ответ: $\frac{2(2m-3n)}{amn}$

5) Чтобы перемножить дроби, сначала упростим их, вынеся общие множители за скобки.

В первой дроби: $\frac{x^2 - xy}{x^2 + xy} = \frac{x(x-y)}{x(x+y)} = \frac{x-y}{x+y}$

Во второй дроби: $\frac{x^2y + xy^2}{xy} = \frac{xy(x+y)}{xy} = x+y$

Теперь перемножим упрощенные выражения:

$\frac{x-y}{x+y} \cdot (x+y)$

Сокращаем $(x+y)$:

$\frac{x-y}{\cancel{x+y}} \cdot \cancel{(x+y)} = x-y$

Ответ: $x-y$

6) Заменим деление умножением на перевернутую дробь. Затем разложим на множители числитель и знаменатель второй дроби. В числителе вынесем $2$ и применим формулу разности квадратов. В знаменателе вынесем $c$.

$\frac{c+d}{c-d} : \frac{c^2 + cd}{2c^2 - 2d^2} = \frac{c+d}{c-d} \cdot \frac{2c^2 - 2d^2}{c^2 + cd} = \frac{c+d}{c-d} \cdot \frac{2(c^2 - d^2)}{c(c+d)} = \frac{c+d}{c-d} \cdot \frac{2(c-d)(c+d)}{c(c+d)}$

Сократим общие множители в числителе и знаменателе: $(c-d)$ и $(c+d)$.

$\frac{\cancel{c+d}}{\cancel{c-d}} \cdot \frac{2\cancel{(c-d)}(c+d)}{c\cancel{(c+d)}} = \frac{2(c+d)}{c}$

Ответ: $\frac{2(c+d)}{c}$

6.73. 1) $\frac{(a+3)^2}{2a-4} \cdot \frac{a^2-4}{3a+9}$;

2) $\frac{m^2-4n^2}{mn} : \frac{m^2-4n^2}{3n}$;

3) $\frac{p^2-q^2}{2pq} \cdot \frac{4p}{p+q}$;

4) $\frac{x^2+4x}{x^2-4} : \frac{3x+12}{x-2}$;

5) $\frac{3x^2-3y^2}{x^2+ax} : \frac{6x-6y}{x+a}$;

6) $(2x-u)^2 : \frac{4x^3-xu^2}{3}$.

Чтобы выполнить умножение дробей $\frac{(a+3)^2}{2a-4} \cdot \frac{a^2-4}{3a+9}$, сначала разложим на множители числители и знаменатели.

Знаменатель первой дроби: $2a-4 = 2(a-2)$.

Числитель второй дроби, используя формулу разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$: $a^2-4 = a^2-2^2 = (a-2)(a+2)$.

Знаменатель второй дроби: $3a+9 = 3(a+3)$.

Теперь подставим разложенные выражения обратно в исходное:

$\frac{(a+3)^2}{2(a-2)} \cdot \frac{(a-2)(a+2)}{3(a+3)}$

Сократим общие множители в числителе и знаменателе. Множитель $(a+3)$ в числителе и знаменателе, и множитель $(a-2)$ в числителе и знаменателе.

$\frac{(a+3)^{\cancel{2}}}{2\cancel{(a-2)}} \cdot \frac{\cancel{(a-2)}(a+2)}{3\cancel{(a+3)}} = \frac{(a+3)(a+2)}{2 \cdot 3} = \frac{a^2+2a+3a+6}{6} = \frac{a^2+5a+6}{6}$

Ответ: $\frac{(a+3)(a+2)}{6}$

Чтобы выполнить деление дробей $\frac{m^2-4n^2}{mn} : \frac{m^2-4n^2}{3n}$, заменим деление на умножение, перевернув вторую дробь (делитель).

$\frac{m^2-4n^2}{mn} \cdot \frac{3n}{m^2-4n^2}$

Сократим одинаковые выражения $(m^2-4n^2)$ в числителе и знаменателе. Также сократим общий множитель $n$.

$\frac{\cancel{m^2-4n^2}}{m\cancel{n}} \cdot \frac{3\cancel{n}}{\cancel{m^2-4n^2}} = \frac{3}{m}$

Ответ: $\frac{3}{m}$

Чтобы выполнить умножение дробей $\frac{p^2-q^2}{2pq} \cdot \frac{4p}{p+q}$, разложим числитель первой дроби на множители по формуле разности квадратов.

$p^2-q^2 = (p-q)(p+q)$

Подставим разложение в исходное выражение:

$\frac{(p-q)(p+q)}{2pq} \cdot \frac{4p}{p+q}$

Сократим общие множители: $(p+q)$ и $p$. Также сократим числовые коэффициенты $4$ и $2$.

$\frac{(p-q)\cancel{(p+q)}}{\cancel{2}\cancel{p}q} \cdot \frac{\cancel{4}^2\cancel{p}}{\cancel{p+q}} = \frac{2(p-q)}{q}$

Ответ: $\frac{2(p-q)}{q}$

Чтобы выполнить деление дробей $\frac{x^2+4x}{x^2-4} : \frac{3x+12}{x-2}$, заменим деление на умножение, перевернув вторую дробь.

$\frac{x^2+4x}{x^2-4} \cdot \frac{x-2}{3x+12}$

Теперь разложим на множители числители и знаменатели:

$x^2+4x = x(x+4)$

$x^2-4 = (x-2)(x+2)$

$3x+12 = 3(x+4)$

Подставим разложения в выражение:

$\frac{x(x+4)}{(x-2)(x+2)} \cdot \frac{x-2}{3(x+4)}$

Сократим общие множители $(x+4)$ и $(x-2)$.

$\frac{x\cancel{(x+4)}}{\cancel{(x-2)}(x+2)} \cdot \frac{\cancel{x-2}}{3\cancel{(x+4)}} = \frac{x}{3(x+2)}$

Ответ: $\frac{x}{3(x+2)}$

Чтобы выполнить деление дробей $\frac{3x^2-3y^2}{x^2+ax} : \frac{6x-6y}{x+a}$, заменим деление на умножение, перевернув вторую дробь.

$\frac{3x^2-3y^2}{x^2+ax} \cdot \frac{x+a}{6x-6y}$

Разложим на множители числители и знаменатели:

$3x^2-3y^2 = 3(x^2-y^2) = 3(x-y)(x+y)$

$x^2+ax = x(x+a)$

$6x-6y = 6(x-y)$

Подставим разложения в выражение:

$\frac{3(x-y)(x+y)}{x(x+a)} \cdot \frac{x+a}{6(x-y)}$

Сократим общие множители $(x-y)$ и $(x+a)$, а также числовые коэффициенты $3$ и $6$.

$\frac{\cancel{3}\cancel{(x-y)}(x+y)}{x\cancel{(x+a)}} \cdot \frac{\cancel{x+a}}{\cancel{6}^2\cancel{(x-y)}} = \frac{x+y}{2x}$

Ответ: $\frac{x+y}{2x}$

Чтобы выполнить деление $(2x-u)^2 : \frac{4x^3-xu^2}{3}$, представим первый член в виде дроби и заменим деление на умножение.

$\frac{(2x-u)^2}{1} \cdot \frac{3}{4x^3-xu^2}$

Разложим на множители знаменатель второй дроби:

$4x^3-xu^2 = x(4x^2-u^2) = x(2x-u)(2x+u)$

Подставим разложение в выражение:

$\frac{(2x-u)^2}{1} \cdot \frac{3}{x(2x-u)(2x+u)}$

Сократим общий множитель $(2x-u)$:

$\frac{(2x-u)^{\cancel{2}}}{1} \cdot \frac{3}{x\cancel{(2x-u)}(2x+u)} = \frac{3(2x-u)}{x(2x+u)}$

Ответ: $\frac{3(2x-u)}{x(2x+u)}$

6.74. 1) $\frac{ab^2 - ac^2}{2a + 8} \cdot \frac{3a + 12}{ab + ac}$;

2) $\frac{4x^2 - 25y^2}{x^3 + 8} : \frac{2x + 5y}{x^2 - 2x + 4}$;

3) $\frac{m^3 - n^3}{m + n} \cdot \frac{m^2 - n^2}{m^2 + mn + n^2}$;

4) $\frac{p^2 + pq + q^2}{p - 1} : \frac{p^3 - q^3}{p^2 - 1}$.

1) $\frac{ab^2 - ac^2}{2a + 8} \cdot \frac{3a + 12}{ab + ac}$

Сначала разложим на множители числители и знаменатели дробей. Для этого будем выносить общие множители за скобки и использовать формулы сокращенного умножения.

Числитель первой дроби: $ab^2 - ac^2 = a(b^2 - c^2) = a(b-c)(b+c)$ (вынесли общий множитель $a$ и применили формулу разности квадратов).

Знаменатель первой дроби: $2a + 8 = 2(a+4)$ (вынесли общий множитель 2).

Числитель второй дроби: $3a + 12 = 3(a+4)$ (вынесли общий множитель 3).

Знаменатель второй дроби: $ab + ac = a(b+c)$ (вынесли общий множитель $a$).

Теперь подставим разложенные выражения обратно в исходное:

$\frac{a(b-c)(b+c)}{2(a+4)} \cdot \frac{3(a+4)}{a(b+c)}$

Сократим одинаковые множители в числителях и знаменателях. Мы можем сократить $a$, $(b+c)$ и $(a+4)$:

$\frac{\cancel{a}(b-c)\cancel{(b+c)}}{2\cancel{(a+4)}} \cdot \frac{3\cancel{(a+4)}}{\cancel{a}\cancel{(b+c)}} = \frac{b-c}{2} \cdot \frac{3}{1} = \frac{3(b-c)}{2}$

Ответ: $\frac{3(b-c)}{2}$

2) $\frac{4x^2 - 25y^2}{x^3 + 8} : \frac{2x + 5y}{x^2 - 2x + 4}$

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$\frac{4x^2 - 25y^2}{x^3 + 8} \cdot \frac{x^2 - 2x + 4}{2x + 5y}$

Теперь разложим на множители числители и знаменатели.

Числитель первой дроби: $4x^2 - 25y^2 = (2x)^2 - (5y)^2 = (2x-5y)(2x+5y)$ (формула разности квадратов).

Знаменатель первой дроби: $x^3 + 8 = x^3 + 2^3 = (x+2)(x^2 - 2x + 4)$ (формула суммы кубов).

Выражение $x^2 - 2x + 4$ является неполным квадратом разности и на множители не раскладывается.

Подставим разложенные выражения:

$\frac{(2x-5y)(2x+5y)}{(x+2)(x^2 - 2x + 4)} \cdot \frac{x^2 - 2x + 4}{2x + 5y}$

Сократим одинаковые множители: $(2x+5y)$ и $(x^2 - 2x + 4)$.

$\frac{(2x-5y)\cancel{(2x+5y)}}{(x+2)\cancel{(x^2 - 2x + 4)}} \cdot \frac{\cancel{x^2 - 2x + 4}}{\cancel{2x + 5y}} = \frac{2x-5y}{x+2}$

Ответ: $\frac{2x-5y}{x+2}$

3) $\frac{m^3 - n^3}{m + n} \cdot \frac{m^2 - n^2}{m^2 + mn + n^2}$

Разложим на множители числители и знаменатели, используя формулы сокращенного умножения.

Числитель первой дроби: $m^3 - n^3 = (m-n)(m^2 + mn + n^2)$ (формула разности кубов).

Числитель второй дроби: $m^2 - n^2 = (m-n)(m+n)$ (формула разности квадратов).

Выражение $m^2 + mn + n^2$ является неполным квадратом суммы и на множители не раскладывается.

Подставим разложенные выражения в исходное:

$\frac{(m-n)(m^2 + mn + n^2)}{m + n} \cdot \frac{(m-n)(m+n)}{m^2 + mn + n^2}$

Сократим одинаковые множители: $(m+n)$ и $(m^2 + mn + n^2)$.

$\frac{(m-n)\cancel{(m^2 + mn + n^2)}}{\cancel{m + n}} \cdot \frac{(m-n)\cancel{(m+n)}}{\cancel{m^2 + mn + n^2}} = (m-n)(m-n) = (m-n)^2$

Ответ: $(m-n)^2$

4) $\frac{p^2 + pq + q^2}{p-1} : \frac{p^3 - q^3}{p^2 - 1}$

Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$\frac{p^2 + pq + q^2}{p-1} \cdot \frac{p^2 - 1}{p^3 - q^3}$

Разложим на множители, где это возможно.

Знаменатель второй дроби: $p^3 - q^3 = (p-q)(p^2 + pq + q^2)$ (формула разности кубов).

Числитель второй дроби: $p^2 - 1 = p^2 - 1^2 = (p-1)(p+1)$ (формула разности квадратов).

Подставим разложенные выражения:

$\frac{p^2 + pq + q^2}{p-1} \cdot \frac{(p-1)(p+1)}{(p-q)(p^2 + pq + q^2)}$

Сократим одинаковые множители: $(p-1)$ и $(p^2 + pq + q^2)$.

$\frac{\cancel{p^2 + pq + q^2}}{\cancel{p-1}} \cdot \frac{\cancel{(p-1)}(p+1)}{(p-q)\cancel{(p^2 + pq + q^2)}} = \frac{p+1}{p-q}$

Ответ: $\frac{p+1}{p-q}$

6.75. 1) $\frac{9xy}{5ab} \cdot \frac{3ab}{4yz} \cdot \frac{4bz}{3axy}$;

2) $(\frac{2ax}{yz} : \frac{3bx}{ay}) : \frac{9b^2z}{8a^2x}$;

3) $(\frac{8b^2cd}{9a^5} : \frac{7cd}{12a^3}) \cdot \frac{28a^4}{3b^2}$;

4) $(\frac{3p^2mq}{2a^2b^2} \cdot \frac{3abc}{8x^2y^2}) : \frac{9a^2b^2c^3}{28pxy}$.

1) Чтобы найти произведение дробей, нужно перемножить их числители и знаменатели. Запишем все множители в одну дробь:
$ \frac{9xy}{5ab} \cdot \frac{3ab}{4yz} \cdot \frac{4bz}{3axy} = \frac{9xy \cdot 3ab \cdot 4bz}{5ab \cdot 4yz \cdot 3axy} $
Теперь сгруппируем числовые коэффициенты и переменные в числителе и знаменателе:
$ \frac{(9 \cdot 3 \cdot 4) \cdot (a \cdot b \cdot b \cdot x \cdot y \cdot z)}{(5 \cdot 4 \cdot 3) \cdot (a \cdot a \cdot b \cdot x \cdot y \cdot y \cdot z)} = \frac{108 \cdot ab^2xyz}{60 \cdot a^2bxy^2z} $
Сократим общие множители. Сначала сократим числовые коэффициенты:
$ \frac{108}{60} = \frac{9 \cdot 12}{5 \cdot 12} = \frac{9}{5} $
Теперь сократим переменные. Можно сокращать одинаковые переменные в числителе и знаменателе:
$ \frac{\cancel{9} \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{4} \cdot \cancel{x} \cdot y \cdot \cancel{a} \cdot \cancel{b} \cdot b \cdot \cancel{z}}{5 \cdot \cancel{a} \cdot \cancel{b} \cdot \cancel{4} \cdot y \cdot \cancel{z} \cdot \cancel{3} \cdot a \cdot \cancel{x} \cdot y} = \frac{3b}{5ay} $
Ой, ошибка в сокращении. Давайте аккуратнее.
$ \frac{9 \cdot 3 \cdot 4 \cdot a \cdot b \cdot b \cdot x \cdot y \cdot z}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot a \cdot b \cdot y \cdot z \cdot a \cdot x \cdot y} = \frac{9 \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{4} \cdot \cancel{a} \cdot \cancel{b} \cdot b \cdot \cancel{x} \cdot \cancel{y} \cdot \cancel{z}}{5 \cdot \cancel{4} \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{a} \cdot \cancel{b} \cdot \cancel{y} \cdot \cancel{z} \cdot a \cdot \cancel{x} \cdot y} = \frac{9b}{5ay} $
Ответ: $ \frac{9b}{5ay} $

2) Сначала выполним действие в скобках. Деление дробей заменяется умножением на обратную (перевернутую) дробь.
$ \frac{2ax}{yz} : \frac{3bx}{ay} = \frac{2ax}{yz} \cdot \frac{ay}{3bx} = \frac{2ax \cdot ay}{yz \cdot 3bx} = \frac{2a^2xy}{3bxyz} $
Сократим полученную дробь:
$ \frac{2a^2\cancel{x}\cancel{y}}{3b\cancel{x}\cancel{y}z} = \frac{2a^2}{3bz} $
Теперь выполним второе деление. Предположим, что в знаменателе последней дроби ($8a^2x_1$) имеется опечатка, и правильный вид знаменателя — $8a^2x$.
$ \frac{2a^2}{3bz} : \frac{9b^2z}{8a^2x} = \frac{2a^2}{3bz} \cdot \frac{8a^2x}{9b^2z} $
Перемножим числители и знаменатели:
$ \frac{2a^2 \cdot 8a^2x}{3bz \cdot 9b^2z} = \frac{16a^{2+2}x}{27b^{1+2}z^{1+2}} = \frac{16a^4x}{27b^3z^2} $
Ответ: $ \frac{16a^4x}{27b^3z^2} $

3) Сначала выполним деление в скобках, заменив его умножением на обратную дробь:
$ \frac{8b^2cd}{9a^5} : \frac{7cd}{12a^3} = \frac{8b^2cd}{9a^5} \cdot \frac{12a^3}{7cd} = \frac{8b^2cd \cdot 12a^3}{9a^5 \cdot 7cd} $
Сократим общие множители $c$, $d$ и $a^3$. Также сократим числовые коэффициенты:
$ \frac{8b^2\cancel{cd} \cdot (4 \cdot 3)a^3}{(3 \cdot 3)a^5 \cdot 7\cancel{cd}} = \frac{8b^2 \cdot 4}{3a^{5-3} \cdot 7} = \frac{32b^2}{21a^2} $
Теперь выполним умножение на вторую дробь:
$ \frac{32b^2}{21a^2} \cdot \frac{28a^4}{3b^2} = \frac{32b^2 \cdot 28a^4}{21a^2 \cdot 3b^2} $
Сократим общие множители $b^2$ и $a^2$. Также сократим числовые коэффициенты:
$ \frac{32\cancel{b^2} \cdot (4 \cdot \cancel{7})a^4}{(3 \cdot \cancel{7})a^2 \cdot 3\cancel{b^2}} = \frac{32 \cdot 4 \cdot a^{4-2}}{3 \cdot 3} = \frac{128a^2}{9} $
Ответ: $ \frac{128a^2}{9} $

4) Выполним умножение в скобках:
$ \frac{3p^2mq}{2a^2b^2} \cdot \frac{3abc}{8x^2y^2} = \frac{3 \cdot 3 \cdot a \cdot b \cdot c \cdot p^2 \cdot m \cdot q}{2 \cdot 8 \cdot a^2 \cdot b^2 \cdot x^2 \cdot y^2} = \frac{9abcp^2mq}{16a^2b^2x^2y^2} $
Сократим полученную дробь:
$ \frac{9\cancel{a}\cancel{b}cp^2mq}{16a^{\cancel{2}}b^{\cancel{2}}x^2y^2} = \frac{9cp^2mq}{16abx^2y^2} $
Теперь выполним деление:
$ \frac{9cp^2mq}{16abx^2y^2} : \frac{9a^2b^2c^3}{28pxy} = \frac{9cp^2mq}{16abx^2y^2} \cdot \frac{28pxy}{9a^2b^2c^3} $
Запишем всё в одну дробь и сократим:
$ \frac{\cancel{9}cp^2mq \cdot 28pxy}{16abx^2y^2 \cdot \cancel{9}a^2b^2c^3} = \frac{28 \cdot c \cdot p^2 \cdot m \cdot q \cdot p \cdot x \cdot y}{16 \cdot a \cdot b \cdot x^2 \cdot y^2 \cdot a^2 \cdot b^2 \cdot c^3} $
Сократим числовые коэффициенты $ \frac{28}{16} = \frac{7}{4} $. Сгруппируем и сократим переменные:
$ \frac{7}{4} \cdot \frac{c \cdot m \cdot p^3 \cdot q \cdot x \cdot y}{a^3 \cdot b^3 \cdot c^3 \cdot x^2 \cdot y^2} = \frac{7mp^3q}{4a^3b^3c^{3-1}x^{2-1}y^{2-1}} = \frac{7mp^3q}{4a^3b^3c^2xy} $
Ответ: $ \frac{7mp^3q}{4a^3b^3c^2xy} $

6.76. 1) $ \frac{m^5 + m^4 + m^3}{m^3 + m^2} \cdot \frac{m^5 + m^4}{m^4 + m^3 + m^2} $;

2) $ \frac{n^2 - n^4 + n^6}{1 - n} \cdot \frac{n^2 - 1}{n^5 - n^3 + n} $;

3) $ \frac{a - a^3}{a^6 + a^2} \cdot \frac{a^5 - a}{a^5 + a} $;

4) $ \frac{9x^2 - x^6}{x^5 + x^7} : \frac{x^4 - 3x^2}{x^9 + x^7} $.

1) Исходное выражение: $\frac{m^5+m^4+m^3}{m^3+m^2} \cdot \frac{m^5+m^4}{m^4+m^3+m^2}$.
Для упрощения выражения разложим на множители числители и знаменатели дробей, вынеся общий множитель за скобки:
В числителе первой дроби: $m^5+m^4+m^3 = m^3(m^2+m+1)$.
В знаменателе первой дроби: $m^3+m^2 = m^2(m+1)$.
В числителе второй дроби: $m^5+m^4 = m^4(m+1)$.
В знаменателе второй дроби: $m^4+m^3+m^2 = m^2(m^2+m+1)$.
Подставим разложенные на множители выражения обратно в пример:
$\frac{m^3(m^2+m+1)}{m^2(m+1)} \cdot \frac{m^4(m+1)}{m^2(m^2+m+1)}$
Теперь можно сократить одинаковые множители в числителях и знаменателях. Сокращаем $(m^2+m+1)$ и $(m+1)$:
$\frac{m^3}{m^2} \cdot \frac{m^4}{m^2}$
Выполним умножение дробей и применим свойства степеней:
$\frac{m^3 \cdot m^4}{m^2 \cdot m^2} = \frac{m^{3+4}}{m^{2+2}} = \frac{m^7}{m^4} = m^{7-4} = m^3$
Ответ: $m^3$

2) Исходное выражение: $\frac{n^2-n^4+n^6}{1-n} \cdot \frac{n^2-1}{n^5-n^3+n}$.
Разложим на множители многочлены в числителях и знаменателях:
$n^2-n^4+n^6 = n^2(1-n^2+n^4)$.
$n^2-1 = (n-1)(n+1)$. Чтобы можно было сократить со знаменателем $(1-n)$, вынесем минус за скобку: $-(1-n)(n+1)$.
$n^5-n^3+n = n(n^4-n^2+1)$.
Подставим полученные выражения в исходный пример:
$\frac{n^2(n^4-n^2+1)}{1-n} \cdot \frac{-(1-n)(n+1)}{n(n^4-n^2+1)}$
Сократим общие множители $(1-n)$ и $(n^4-n^2+1)$:
$\frac{n^2}{1} \cdot \frac{-(n+1)}{n}$
Сократим оставшееся выражение на $n$:
$n \cdot (-(n+1)) = -n(n+1)$
Ответ: $-n(n+1)$

3) Исходное выражение: $\frac{a-a^3}{a^6+a^2} \cdot \frac{a^5-a}{a^5+a}$.
Разложим на множители числители и знаменатели:
$a-a^3 = a(1-a^2)$.
$a^6+a^2 = a^2(a^4+1)$.
$a^5-a = a(a^4-1) = a(a^2-1)(a^2+1)$.
$a^5+a = a(a^4+1)$.
Подставим разложения в исходное выражение:
$\frac{a(1-a^2)}{a^2(a^4+1)} \cdot \frac{a(a^2-1)(a^2+1)}{a(a^4+1)}$
Заметим, что $1-a^2 = -(a^2-1)$. Подставим это в выражение и сгруппируем множители:
$\frac{-a(a^2-1) \cdot a(a^2-1)(a^2+1)}{a^2(a^4+1) \cdot a(a^4+1)} = \frac{-a^2(a^2-1)^2(a^2+1)}{a^3(a^4+1)^2}$
Сократим дробь на $a^2$:
$\frac{-(a^2-1)^2(a^2+1)}{a(a^4+1)^2}$
Ответ: $\frac{-(a^2-1)^2(a^2+1)}{a(a^4+1)^2}$

4) Исходное выражение: $\frac{9x^2-x^6}{x^5+x^7} : \frac{x^4-3x^2}{x^9+x^7}$.
Заменим деление на умножение на обратную дробь:
$\frac{9x^2-x^6}{x^5+x^7} \cdot \frac{x^9+x^7}{x^4-3x^2}$
Разложим на множители все числители и знаменатели:
$9x^2-x^6 = x^2(9-x^4) = x^2(3-x^2)(3+x^2)$.
$x^5+x^7 = x^5(1+x^2)$.
$x^9+x^7 = x^7(x^2+1)$.
$x^4-3x^2 = x^2(x^2-3)$.
Подставим разложенные выражения:
$\frac{x^2(3-x^2)(3+x^2)}{x^5(1+x^2)} \cdot \frac{x^7(x^2+1)}{x^2(x^2-3)}$
Используем тождество $3-x^2 = -(x^2-3)$ для дальнейшего сокращения. Сокращаем общие множители $(x^2-3)$ и $(x^2+1)$:
$\frac{-x^2(x^2-3)(3+x^2)}{x^5(x^2+1)} \cdot \frac{x^7(x^2+1)}{x^2(x^2-3)} = \frac{-x^2(3+x^2)}{x^5} \cdot \frac{x^7}{x^2}$
Упростим полученное выражение, выполнив действия со степенями $x$:
$\frac{-x^2 \cdot x^7 (3+x^2)}{x^5 \cdot x^2} = \frac{-x^{2+7}(3+x^2)}{x^{5+2}} = \frac{-x^9(3+x^2)}{x^7} = -x^{9-7}(3+x^2) = -x^2(x^2+3)$
Ответ: $-x^2(x^2+3)$

6.77. 1) $\frac{a^2 + ax + ab + bx}{a^2 - ax - ab + bx} \cdot \frac{a^2 - ax - bx + ab}{a^2 + ax - bx - ab}$;

2) $\frac{x^2 + ax - 3x - 3a}{x^2 - ax - 3x + 3a} \cdot \frac{x^2 + 4x - ax - 4a}{x^2 + 4x + ax + 4a}$;

3) $\frac{x^2 - bx + ax - ab}{x^2 + bx - ax - ab} : \frac{x^2 + bx + ax + ab}{x^2 - bx - ax + ab}$;

4) $\frac{m^2 + m - mn - n}{m^2 + m + mn + n} : \frac{m^2 - m - mn + n}{m^2 - m + mn - n}$.

1)

Для решения данного примера необходимо разложить на множители числители и знаменатели дробей. Будем использовать метод группировки слагаемых.

Разложим на множители числитель первой дроби: $a^2 + ax + ab + bx = (a^2 + ax) + (ab + bx) = a(a+x) + b(a+x) = (a+x)(a+b)$.

Разложим на множители знаменатель первой дроби: $a^2 - ax - ab + bx = (a^2 - ax) - (ab - bx) = a(a-x) - b(a-x) = (a-x)(a-b)$.

Разложим на множители числитель второй дроби: $a^2 - ax - bx + ab = (a^2 - ax) - (bx - ab) = a(a-x) - b(x-a) = a(a-x) + b(a-x) = (a-x)(a+b)$.

Разложим на множители знаменатель второй дроби: $a^2 + ax - bx - ab = (a^2 + ax) - (bx + ab) = a(a+x) - b(x+a) = (a+x)(a-b)$.

Теперь подставим полученные разложения в исходное выражение и выполним умножение:

$\frac{a^2 + ax + ab + bx}{a^2 - ax - ab + bx} \cdot \frac{a^2 - ax - bx + ab}{a^2 + ax - bx - ab} = \frac{(a+x)(a+b)}{(a-x)(a-b)} \cdot \frac{(a-x)(a+b)}{(a+x)(a-b)}$

Сократим одинаковые множители в числителях и знаменателях:

$\frac{\cancel{(a+x)}(a+b)}{\cancel{(a-x)}(a-b)} \cdot \frac{\cancel{(a-x)}(a+b)}{\cancel{(a+x)}(a-b)} = \frac{a+b}{a-b} \cdot \frac{a+b}{a-b} = \frac{(a+b)^2}{(a-b)^2} = \left(\frac{a+b}{a-b}\right)^2$

Ответ: $\left(\frac{a+b}{a-b}\right)^2$

2)

Разложим на множители числители и знаменатели обеих дробей методом группировки.

Числитель первой дроби: $x^2 + ax - 3x - 3a = x(x+a) - 3(x+a) = (x+a)(x-3)$.

Знаменатель первой дроби: $x^2 - ax - 3x + 3a = x(x-a) - 3(x-a) = (x-a)(x-3)$.

Числитель второй дроби: $x^2 + 4x - ax - 4a = x(x+4) - a(x+4) = (x+4)(x-a)$.

Знаменатель второй дроби: $x^2 + 4x + ax + 4a = x(x+4) + a(x+4) = (x+4)(x+a)$.

Подставим полученные выражения в исходный пример:

$\frac{x^2 + ax - 3x - 3a}{x^2 - ax - 3x + 3a} \cdot \frac{x^2 + 4x - ax - 4a}{x^2 + 4x + ax + 4a} = \frac{(x+a)(x-3)}{(x-a)(x-3)} \cdot \frac{(x+4)(x-a)}{(x+4)(x+a)}$

Сократим общие множители:

$\frac{\cancel{(x+a)}\cancel{(x-3)}}{\cancel{(x-a)}\cancel{(x-3)}} \cdot \frac{\cancel{(x+4)}\cancel{(x-a)}}{\cancel{(x+4)}\cancel{(x+a)}} = 1 \cdot 1 = 1$

Ответ: $1$

3)

Данное выражение содержит операцию деления дробей. Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернутую).

$\frac{x^2 - bx + ax - ab}{x^2 + bx - ax - ab} : \frac{x^2 + bx + ax + ab}{x^2 - bx - ax + ab} = \frac{x^2 - bx + ax - ab}{x^2 + bx - ax - ab} \cdot \frac{x^2 - bx - ax + ab}{x^2 + bx + ax + ab}$

Теперь разложим на множители числители и знаменатели методом группировки.

Числитель первой дроби: $x^2 - bx + ax - ab = x(x-b) + a(x-b) = (x-b)(x+a)$.

Знаменатель первой дроби: $x^2 + bx - ax - ab = x(x+b) - a(x+b) = (x+b)(x-a)$.

Числитель второй дроби: $x^2 - bx - ax + ab = x(x-b) - a(x-b) = (x-b)(x-a)$.

Знаменатель второй дроби: $x^2 + bx + ax + ab = x(x+b) + a(x+b) = (x+b)(x+a)$.

Подставим разложения в выражение и выполним умножение:

$\frac{(x-b)(x+a)}{(x+b)(x-a)} \cdot \frac{(x-b)(x-a)}{(x+b)(x+a)}$

Сократим общие множители:

$\frac{(x-b)\cancel{(x+a)}}{(x+b)\cancel{(x-a)}} \cdot \frac{(x-b)\cancel{(x-a)}}{(x+b)\cancel{(x+a)}} = \frac{x-b}{x+b} \cdot \frac{x-b}{x+b} = \frac{(x-b)^2}{(x+b)^2} = \left(\frac{x-b}{x+b}\right)^2$

Ответ: $\left(\frac{x-b}{x+b}\right)^2$

4)

Заменим деление на умножение, перевернув вторую дробь.

$\frac{m^2 + m - mn - n}{m^2 + m + mn + n} : \frac{m^2 - m - mn + n}{m^2 - m + mn - n} = \frac{m^2 + m - mn - n}{m^2 + m + mn + n} \cdot \frac{m^2 - m + mn - n}{m^2 - m - mn + n}$

Разложим все многочлены на множители методом группировки.

Числитель первой дроби: $m^2 + m - mn - n = m(m+1) - n(m+1) = (m+1)(m-n)$.

Знаменатель первой дроби: $m^2 + m + mn + n = m(m+1) + n(m+1) = (m+1)(m+n)$.

Числитель второй дроби: $m^2 - m + mn - n = m(m-1) + n(m-1) = (m-1)(m+n)$.

Знаменатель второй дроби: $m^2 - m - mn + n = m(m-1) - n(m-1) = (m-1)(m-n)$.

Подставим разложения в выражение:

$\frac{(m+1)(m-n)}{(m+1)(m+n)} \cdot \frac{(m-1)(m+n)}{(m-1)(m-n)}$

Сократим дроби на общие множители:

$\frac{\cancel{(m+1)}\cancel{(m-n)}}{\cancel{(m+1)}\cancel{(m+n)}} \cdot \frac{\cancel{(m-1)}\cancel{(m+n)}}{\cancel{(m-1)}\cancel{(m-n)}} = 1 \cdot 1 = 1$

Ответ: $1$