Страница 178 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.53. 1) $\frac{1}{x-2a} + \frac{1}{x+2a} + \frac{8a^2}{4a^2x - x^3};$

2) $\frac{4x-3}{3-2x} - \frac{4+5x}{3+2x} - \frac{3+x-10x^2}{4x^2-9};$

3) $\frac{4a^2-3a+5}{a^3-1} - \frac{1-2a}{a^2+a+1} + \frac{6}{1-a};$

4) $\frac{2a-1}{2a} - \frac{2a}{2a-1} - \frac{1}{2a-4a^2}.$

1) $\frac{1}{x-2a} + \frac{1}{x+2a} + \frac{8a^2}{4a^2x-x^3}$

Сначала разложим знаменатель третьей дроби на множители:
$4a^2x - x^3 = x(4a^2 - x^2) = x(2a - x)(2a + x)$.

Заметим, что $x - 2a = -(2a - x)$, а $x+2a=2a+x$. Перепишем исходное выражение, учитывая это:

$\frac{1}{-(2a-x)} + \frac{1}{2a+x} + \frac{8a^2}{x(2a-x)(2a+x)} = -\frac{1}{2a-x} + \frac{1}{2a+x} + \frac{8a^2}{x(2a-x)(2a+x)}$

Приведем первые две дроби к общему знаменателю $(2a-x)(2a+x)$:

$\frac{-(2a+x) + (2a-x)}{(2a-x)(2a+x)} = \frac{-2a-x+2a-x}{4a^2-x^2} = \frac{-2x}{4a^2-x^2}$.

Теперь вернемся к исходному выражению и подставим полученный результат:

$\frac{-2x}{4a^2-x^2} + \frac{8a^2}{x(4a^2-x^2)}$.

Приведем дроби к общему знаменателю $x(4a^2-x^2)$:

$\frac{-2x \cdot x}{x(4a^2-x^2)} + \frac{8a^2}{x(4a^2-x^2)} = \frac{-2x^2 + 8a^2}{x(4a^2-x^2)}$.

Вынесем в числителе общий множитель $-2$:

$\frac{-2(x^2 - 4a^2)}{x(4a^2-x^2)} = \frac{-2(-(4a^2 - x^2))}{x(4a^2-x^2)} = \frac{2(4a^2-x^2)}{x(4a^2-x^2)}$.

Сократим дробь на $(4a^2-x^2)$:

$\frac{2}{x}$.

Ответ: $\frac{2}{x}$.

2) $\frac{4x-3}{3-2x} - \frac{4+5x}{3+2x} - \frac{3+x-10x^2}{4x^2-9}$

Преобразуем знаменатели, чтобы найти общий.
$3-2x = -(2x-3)$.
$4x^2-9 = (2x-3)(2x+3)$.

Перепишем выражение с новыми знаменателями:

$\frac{4x-3}{-(2x-3)} - \frac{4+5x}{2x+3} - \frac{3+x-10x^2}{(2x-3)(2x+3)} = -\frac{4x-3}{2x-3} - \frac{4+5x}{2x+3} - \frac{3+x-10x^2}{(2x-3)(2x+3)}$.

Общий знаменатель: $(2x-3)(2x+3)$. Приведем все дроби к нему:

$\frac{-(4x-3)(2x+3) - (4+5x)(2x-3) - (3+x-10x^2)}{(2x-3)(2x+3)}$.

Раскроем скобки в числителе:

$-(8x^2+12x-6x-9) - (8x-12+10x^2-15x) - (3+x-10x^2) = $
$= -(8x^2+6x-9) - (10x^2-7x-12) - 3-x+10x^2 = $
$= -8x^2-6x+9 - 10x^2+7x+12 - 3-x+10x^2$.

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$(-8x^2-10x^2+10x^2) + (-6x+7x-x) + (9+12-3) = -8x^2 + 0 \cdot x + 18 = -8x^2+18$.

Подставим полученный числитель в дробь:

$\frac{-8x^2+18}{(2x-3)(2x+3)} = \frac{-2(4x^2-9)}{4x^2-9}$.

Сократим дробь на $(4x^2-9)$:

$-2$.

Ответ: $-2$.

3) $\frac{4a^2-3a+5}{a^3-1} - \frac{1-2a}{a^2+a+1} + \frac{6}{1-a}$

Разложим знаменатели на множители. Используем формулу разности кубов $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ и свойство $1-a=-(a-1)$:

$a^3-1 = (a-1)(a^2+a+1)$.

Перепишем выражение:

$\frac{4a^2-3a+5}{(a-1)(a^2+a+1)} - \frac{1-2a}{a^2+a+1} - \frac{6}{a-1}$.

Общий знаменатель: $(a-1)(a^2+a+1)$. Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{(4a^2-3a+5) - (1-2a)(a-1) - 6(a^2+a+1)}{(a-1)(a^2+a+1)}$.

Раскроем скобки и упростим числитель:

$(4a^2-3a+5) - (a-1-2a^2+2a) - (6a^2+6a+6) = $
$= 4a^2-3a+5 - (-2a^2+3a-1) - 6a^2-6a-6 = $
$= 4a^2-3a+5 + 2a^2-3a+1 - 6a^2-6a-6$.

Приведем подобные слагаемые:

$(4a^2+2a^2-6a^2) + (-3a-3a-6a) + (5+1-6) = 0 \cdot a^2 - 12a + 0 = -12a$.

Получаем дробь:

$\frac{-12a}{(a-1)(a^2+a+1)} = \frac{-12a}{a^3-1}$.

Ответ: $\frac{-12a}{a^3-1}$.

4) $\frac{2a-1}{2a} - \frac{2a}{2a-1} - \frac{1}{2a-4a^2}$

Разложим на множители знаменатель третьей дроби:

$2a-4a^2 = 2a(1-2a) = -2a(2a-1)$.

Подставим в исходное выражение:

$\frac{2a-1}{2a} - \frac{2a}{2a-1} - \frac{1}{-2a(2a-1)} = \frac{2a-1}{2a} - \frac{2a}{2a-1} + \frac{1}{2a(2a-1)}$.

Общий знаменатель: $2a(2a-1)$. Приведем к нему все дроби:

$\frac{(2a-1)(2a-1) - 2a \cdot 2a + 1}{2a(2a-1)}$.

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{(2a-1)^2 - 4a^2 + 1}{2a(2a-1)} = \frac{(4a^2-4a+1) - 4a^2 + 1}{2a(2a-1)}$.

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$4a^2-4a+1 - 4a^2 + 1 = (4a^2-4a^2) - 4a + (1+1) = -4a+2$.

Получаем дробь:

$\frac{-4a+2}{2a(2a-1)}$.

Вынесем в числителе общий множитель $-2$:

$\frac{-2(2a-1)}{2a(2a-1)}$.

Сократим дробь на $2$ и на $(2a-1)$:

$\frac{-1}{a}$.

Ответ: $-\frac{1}{a}$.

6.54. 1) $\frac{1}{6x - 4y} - \frac{1}{6x + 4y} - \frac{3x}{4y^2 - 9x^2};$

2) $\frac{3a + 2}{a^2 - 2a + 1} - \frac{6}{a^2 - 1} - \frac{3a - 2}{a^2 + 2a + 1};$

3) $\frac{3}{x^2 + 2xy + y^2} - \frac{4}{x^2 - 2xy + y^2} + \frac{5}{x^2 - y^2};$

4) $\frac{1}{a - b} - \frac{3ab}{a^3 - b^3} - \frac{b - a}{a^2 + ab + b^2}.$

1)

Упростим выражение $\frac{1}{6x-4y} - \frac{1}{6x+4y} - \frac{3x}{4y^2-9x^2}$.

Сначала разложим знаменатели на множители.
$6x-4y = 2(3x-2y)$
$6x+4y = 2(3x+2y)$
$4y^2-9x^2 = (2y-3x)(2y+3x) = -(3x-2y)(3x+2y)$

Перепишем выражение с разложенными знаменателями:
$\frac{1}{2(3x-2y)} - \frac{1}{2(3x+2y)} - \frac{3x}{-(3x-2y)(3x+2y)}$

Изменим знак у последней дроби:
$\frac{1}{2(3x-2y)} - \frac{1}{2(3x+2y)} + \frac{3x}{(3x-2y)(3x+2y)}$

Общий знаменатель для этих дробей: $2(3x-2y)(3x+2y)$. Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{1 \cdot (3x+2y)}{2(3x-2y)(3x+2y)} - \frac{1 \cdot (3x-2y)}{2(3x-2y)(3x+2y)} + \frac{3x \cdot 2}{2(3x-2y)(3x+2y)}$

Выполним действия в числителе:
$\frac{(3x+2y) - (3x-2y) + 6x}{2(3x-2y)(3x+2y)} = \frac{3x+2y-3x+2y+6x}{2(3x-2y)(3x+2y)} = \frac{4y+6x}{2(3x-2y)(3x+2y)}$

Вынесем общий множитель 2 в числителе и сократим дробь:
$\frac{2(2y+3x)}{2(3x-2y)(3x+2y)} = \frac{2(3x+2y)}{2(3x-2y)(3x+2y)} = \frac{1}{3x-2y}$

Ответ: $\frac{1}{3x-2y}$

2)

Упростим выражение $\frac{3a+2}{a^2-2a+1} - \frac{6}{a^2-1} - \frac{3a-2}{a^2+2a+1}$.

Разложим знаменатели на множители, используя формулы сокращенного умножения:
$a^2-2a+1 = (a-1)^2$
$a^2-1 = (a-1)(a+1)$
$a^2+2a+1 = (a+1)^2$

Выражение примет вид:
$\frac{3a+2}{(a-1)^2} - \frac{6}{(a-1)(a+1)} - \frac{3a-2}{(a+1)^2}$

Общий знаменатель: $(a-1)^2(a+1)^2$. Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{(3a+2)(a+1)^2}{(a-1)^2(a+1)^2} - \frac{6(a-1)(a+1)}{(a-1)^2(a+1)^2} - \frac{(3a-2)(a-1)^2}{(a-1)^2(a+1)^2}$

Объединим числители под одной дробной чертой и раскроем скобки:
$\frac{(3a+2)(a^2+2a+1) - 6(a^2-1) - (3a-2)(a^2-2a+1)}{(a-1)^2(a+1)^2}$
$\frac{(3a^3+6a^2+3a+2a^2+4a+2) - (6a^2-6) - (3a^3-6a^2+3a-2a^2+4a-2)}{(a^2-1)^2}$
$\frac{(3a^3+8a^2+7a+2) - 6a^2+6 - (3a^3-8a^2+7a-2)}{(a^2-1)^2}$
$\frac{3a^3+8a^2+7a+2 - 6a^2+6 - 3a^3+8a^2-7a+2}{(a^2-1)^2}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:
$(3a^3-3a^3) + (8a^2-6a^2+8a^2) + (7a-7a) + (2+6+2) = 10a^2+10 = 10(a^2+1)$

Получаем итоговую дробь:
$\frac{10(a^2+1)}{(a^2-1)^2}$

Ответ: $\frac{10(a^2+1)}{(a^2-1)^2}$

3)

Упростим выражение $\frac{3}{x^2+2xy+y^2} - \frac{4}{x^2-2xy+y^2} + \frac{5}{x^2-y^2}$.

Разложим знаменатели на множители:
$x^2+2xy+y^2 = (x+y)^2$
$x^2-2xy+y^2 = (x-y)^2$
$x^2-y^2 = (x-y)(x+y)$

Перепишем выражение:
$\frac{3}{(x+y)^2} - \frac{4}{(x-y)^2} + \frac{5}{(x-y)(x+y)}$

Общий знаменатель: $(x+y)^2(x-y)^2$. Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{3(x-y)^2}{(x+y)^2(x-y)^2} - \frac{4(x+y)^2}{(x+y)^2(x-y)^2} + \frac{5(x-y)(x+y)}{(x+y)^2(x-y)^2}$

Запишем все под одной дробной чертой и раскроем скобки в числителе:
$\frac{3(x^2-2xy+y^2) - 4(x^2+2xy+y^2) + 5(x^2-y^2)}{(x^2-y^2)^2}$
$\frac{3x^2-6xy+3y^2 - 4x^2-8xy-4y^2 + 5x^2-5y^2}{(x^2-y^2)^2}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:
$(3x^2-4x^2+5x^2) + (-6xy-8xy) + (3y^2-4y^2-5y^2) = 4x^2 - 14xy - 6y^2$

Итоговое выражение:
$\frac{4x^2-14xy-6y^2}{(x^2-y^2)^2}$

Ответ: $\frac{4x^2-14xy-6y^2}{(x^2-y^2)^2}$

4)

Упростим выражение $\frac{1}{a-b} - \frac{3ab}{a^3-b^3} - \frac{b-a}{a^2+ab+b^2}$.

Разложим знаменатель второй дроби по формуле разности кубов: $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$.
В числителе третьей дроби вынесем -1 за скобки: $b-a = -(a-b)$.

Выражение примет вид:
$\frac{1}{a-b} - \frac{3ab}{(a-b)(a^2+ab+b^2)} - \frac{-(a-b)}{a^2+ab+b^2}$

Изменим знак перед последней дробью:
$\frac{1}{a-b} - \frac{3ab}{(a-b)(a^2+ab+b^2)} + \frac{a-b}{a^2+ab+b^2}$

Общий знаменатель: $(a-b)(a^2+ab+b^2)$. Приведем дроби к нему:
$\frac{1 \cdot (a^2+ab+b^2)}{(a-b)(a^2+ab+b^2)} - \frac{3ab}{(a-b)(a^2+ab+b^2)} + \frac{(a-b)(a-b)}{(a-b)(a^2+ab+b^2)}$

Запишем все под одной дробной чертой и упростим числитель:
$\frac{a^2+ab+b^2 - 3ab + (a-b)^2}{(a-b)(a^2+ab+b^2)} = \frac{a^2+ab+b^2 - 3ab + a^2-2ab+b^2}{a^3-b^3}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:
$(a^2+a^2) + (ab-3ab-2ab) + (b^2+b^2) = 2a^2-4ab+2b^2 = 2(a^2-2ab+b^2) = 2(a-b)^2$

Получим дробь:
$\frac{2(a-b)^2}{(a-b)(a^2+ab+b^2)}$

Сократим общий множитель $(a-b)$:
$\frac{2(a-b)}{a^2+ab+b^2}$

Ответ: $\frac{2(a-b)}{a^2+ab+b^2}$

6.55*. 1) $\frac{1}{(a-b)(b-c)} - \frac{1}{(b-c)(a-c)} - \frac{1}{(c-a)(b-a)}$;

2) $\frac{x-y}{(z-x)(z-y)} - \frac{y-z}{(x-y)(x-z)} + \frac{z-x}{(y-x)(y-z)}$

1)

Исходное выражение: $ \frac{1}{(a-b)(b-c)} - \frac{1}{(b-c)(a-c)} - \frac{1}{(c-a)(b-a)} $

Сначала приведем знаменатели к единому виду. Для этого воспользуемся свойствами $ c-a = -(a-c) $ и $ b-a = -(a-b) $. Знаменатель третьей дроби можно преобразовать следующим образом: $ (c-a)(b-a) = (-(a-c))(-(a-b)) = (a-b)(a-c) $.

Подставив преобразованный знаменатель в исходное выражение, получим:

$ \frac{1}{(a-b)(b-c)} - \frac{1}{(b-c)(a-c)} - \frac{1}{(a-b)(a-c)} $

Общим знаменателем для этих дробей является выражение $ (a-b)(b-c)(a-c) $. Приведем все дроби к этому знаменателю. Для этого домножим числитель и знаменатель каждой дроби на недостающий множитель:

• Для первой дроби дополнительный множитель $ (a-c) $.

• Для второй дроби дополнительный множитель $ (a-b) $.

• Для третьей дроби дополнительный множитель $ (b-c) $.

Выполнив умножение, получим:

$ \frac{a-c}{(a-b)(b-c)(a-c)} - \frac{a-b}{(a-b)(b-c)(a-c)} - \frac{b-c}{(a-b)(b-c)(a-c)} $

Теперь объединим дроби, выполнив вычитание числителей:

$ \frac{(a-c) - (a-b) - (b-c)}{(a-b)(b-c)(a-c)} $

Раскроем скобки и упростим выражение в числителе:

$ \frac{a - c - a + b - b + c}{(a-b)(b-c)(a-c)} = \frac{(a-a) + (b-b) + (-c+c)}{(a-b)(b-c)(a-c)} = \frac{0}{(a-b)(b-c)(a-c)} $

Поскольку числитель равен нулю, то и вся дробь равна нулю (при условии, что знаменатель не равен нулю, то есть $ a \neq b, b \neq c, a \neq c $).

Ответ: 0

2)

Исходное выражение: $ \frac{x-y}{(z-x)(z-y)} - \frac{y-z}{(x-y)(x-z)} + \frac{z-x}{(y-x)(y-z)} $

Для приведения дробей к общему знаменателю преобразуем множители в знаменателях, чтобы они имели одинаковый вид. В качестве "стандартных" выберем множители $ (x-y) $, $ (y-z) $ и $ (x-z) $. Для этого воспользуемся тождествами: $ z-x = -(x-z) $, $ z-y = -(y-z) $ и $ y-x = -(x-y) $.

Преобразуем каждую дробь:

• Первая дробь: $ \frac{x-y}{(z-x)(z-y)} = \frac{x-y}{(-(x-z))(-(y-z))} = \frac{x-y}{(x-z)(y-z)} $

• Вторая дробь не меняется: $ -\frac{y-z}{(x-y)(x-z)} $

• Третья дробь: $ \frac{z-x}{(y-x)(y-z)} = \frac{-(x-z)}{-(x-y)(y-z)} = \frac{x-z}{(x-y)(y-z)} $

Выражение принимает вид:

$ \frac{x-y}{(x-z)(y-z)} - \frac{y-z}{(x-y)(x-z)} + \frac{x-z}{(x-y)(y-z)} $

Общий знаменатель для этих дробей: $ (x-y)(y-z)(x-z) $.

Приведем дроби к общему знаменателю, домножив на недостающие множители:

$ \frac{(x-y)(x-y)}{(x-y)(y-z)(x-z)} - \frac{(y-z)(y-z)}{(x-y)(y-z)(x-z)} + \frac{(x-z)(x-z)}{(x-y)(y-z)(x-z)} $

Запишем все под одной дробной чертой:

$ \frac{(x-y)^2 - (y-z)^2 + (x-z)^2}{(x-y)(y-z)(x-z)} $

Раскроем квадраты в числителе:

$ (x^2 - 2xy + y^2) - (y^2 - 2yz + z^2) + (x^2 - 2xz + z^2) $

Упростим выражение, убрав скобки и приведя подобные слагаемые:

$ x^2 - 2xy + y^2 - y^2 + 2yz - z^2 + x^2 - 2xz + z^2 = 2x^2 - 2xy + 2yz - 2xz $

Вынесем общий множитель 2 и сгруппируем слагаемые для разложения на множители:

$ 2(x^2 - xy + yz - xz) = 2((x^2 - xz) - (xy - yz)) = 2(x(x-z) - y(x-z)) = 2(x-y)(x-z) $

Подставим полученный числитель обратно в дробь:

$ \frac{2(x-y)(x-z)}{(x-y)(y-z)(x-z)} $

Сократим общие множители $ (x-y) $ и $ (x-z) $ в числителе и знаменателе (при условии, что $ x \neq y, x \neq z $):

$ \frac{2}{y-z} $

Ответ: $ \frac{2}{y-z} $

6.56*. 1) $\frac{1}{a(a-b)(a-c)} + \frac{1}{b(b-a)(b-c)} + \frac{1}{c(c-a)(c-b)};$

2) $\frac{x^2}{(x-y)(x-u)} + \frac{y^2}{(y-x)(y-u)} + \frac{u^2}{(u-x)(u-y)}.$

1)

Рассмотрим выражение $ \frac{1}{a(a-b)(a-c)} + \frac{1}{b(b-a)(b-c)} + \frac{1}{c(c-a)(c-b)} $.

Чтобы привести дроби к общему знаменателю, преобразуем знаменатели так, чтобы множители в скобках были упорядочены, например, как $ (a-b) $, $ (b-c) $, $ (a-c) $.

Преобразуем знаменатель второй дроби: $ b(b-a)(b-c) = b \cdot (-(a-b)) \cdot (b-c) = -b(a-b)(b-c) $.

Преобразуем знаменатель третьей дроби: $ c(c-a)(c-b) = c \cdot (-(a-c)) \cdot (-(b-c)) = c(a-c)(b-c) $.

Теперь исходное выражение можно переписать в виде:

$ \frac{1}{a(a-b)(a-c)} - \frac{1}{b(a-b)(b-c)} + \frac{1}{c(a-c)(b-c)} $.

Общим знаменателем является $ abc(a-b)(b-c)(a-c) $. Приведем все дроби к этому знаменателю:

$ \frac{1 \cdot bc(b-c)}{abc(a-b)(b-c)(a-c)} - \frac{1 \cdot ac(a-c)}{abc(a-b)(b-c)(a-c)} + \frac{1 \cdot ab(a-b)}{abc(a-b)(b-c)(a-c)} $.

Сложим числители:

$ \frac{bc(b-c) - ac(a-c) + ab(a-b)}{abc(a-b)(b-c)(a-c)} $.

Раскроем скобки в числителе:

$ b^2c - bc^2 - a^2c + ac^2 + a^2b - ab^2 $.

Сгруппируем слагаемые по степеням переменной $ a $:

$ a^2(b-c) - a(b^2-c^2) + bc(b-c) $.

Разложим разность квадратов $ (b^2-c^2) = (b-c)(b+c) $:

$ a^2(b-c) - a(b-c)(b+c) + bc(b-c) $.

Вынесем общий множитель $ (b-c) $ за скобки:

$ (b-c)[a^2 - a(b+c) + bc] = (b-c)(a^2 - ab - ac + bc) $.

Сгруппируем слагаемые во второй скобке и вынесем общие множители:

$ (b-c)[a(a-b) - c(a-b)] = (b-c)(a-b)(a-c) $.

Подставим полученный числитель обратно в дробь:

$ \frac{(a-b)(b-c)(a-c)}{abc(a-b)(b-c)(a-c)} $.

Сократив одинаковые множители в числителе и знаменателе, получим:

$ \frac{1}{abc} $.

Ответ: $ \frac{1}{abc} $.

2)

Рассмотрим выражение $ \frac{x^2}{(x-y)(x-u)} + \frac{y^2}{(y-x)(y-u)} + \frac{u^2}{(u-x)(u-y)} $.

Чтобы привести дроби к общему знаменателю, преобразуем знаменатели второй и третьей дробей.

Для второй дроби: $ (y-x)(y-u) = -(x-y)(y-u) $.

Для третьей дроби: $ (u-x)(u-y) = (-(x-u))(-(y-u)) = (x-u)(y-u) $.

Перепишем исходное выражение с новыми знаменателями:

$ \frac{x^2}{(x-y)(x-u)} - \frac{y^2}{(x-y)(y-u)} + \frac{u^2}{(x-u)(y-u)} $.

Общим знаменателем является $ (x-y)(x-u)(y-u) $. Приведем дроби к нему:

$ \frac{x^2(y-u)}{(x-y)(x-u)(y-u)} - \frac{y^2(x-u)}{(x-y)(x-u)(y-u)} + \frac{u^2(x-y)}{(x-y)(x-u)(y-u)} $.

Запишем все под одной дробной чертой:

$ \frac{x^2(y-u) - y^2(x-u) + u^2(x-y)}{(x-y)(x-u)(y-u)} $.

Упростим числитель. Раскроем скобки:

$ x^2y - x^2u - y^2x + y^2u + u^2x - u^2y $.

Сгруппируем слагаемые по степеням переменной $ x $:

$ x^2(y-u) - x(y^2-u^2) + (y^2u - u^2y) $.

Разложим $ (y^2-u^2) $ и вынесем $ yu $ в последней группе:

$ x^2(y-u) - x(y-u)(y+u) + yu(y-u) $.

Вынесем общий множитель $ (y-u) $ за скобки:

$ (y-u)[x^2 - x(y+u) + yu] = (y-u)(x^2 - xy - xu + yu) $.

Сгруппируем слагаемые во второй скобке и вынесем общие множители:

$ (y-u)[x(x-y) - u(x-y)] = (y-u)(x-y)(x-u) $.

Подставим полученное выражение для числителя обратно в дробь:

$ \frac{(x-y)(y-u)(x-u)}{(x-y)(x-u)(y-u)} $.

Числитель и знаменатель равны, следовательно, их отношение равно 1.

Ответ: 1.

6.57. Докажите тождество:

1) $\frac{1}{(a-b)(b-c)} + \frac{1}{(c-a)(a-b)} + \frac{1}{(b-c)(c-a)} = 0;$

2) $\frac{ax+by}{(a-b)(x+y)} - \frac{bx-ay}{(a+b)(x+y)} = \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}.$

1) Чтобы доказать тождество, приведем все дроби в левой части к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей $\frac{1}{(a-b)(b-c)}$, $\frac{1}{(c-a)(a-b)}$ и $\frac{1}{(b-c)(c-a)}$ равен $(a-b)(b-c)(c-a)$.

Домножим числитель и знаменатель каждой дроби на недостающий множитель:

$\frac{1}{(a-b)(b-c)} + \frac{1}{(c-a)(a-b)} + \frac{1}{(b-c)(c-a)} = \frac{c-a}{(a-b)(b-c)(c-a)} + \frac{b-c}{(a-b)(b-c)(c-a)} + \frac{a-b}{(a-b)(b-c)(c-a)}$

Теперь сложим числители, оставив знаменатель прежним:

$\frac{(c-a) + (b-c) + (a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{c-a+b-c+a-b}{(a-b)(b-c)(c-a)} = \frac{(a-a) + (b-b) + (c-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)} = \frac{0}{(a-b)(b-c)(c-a)} = 0$

Левая часть равна правой, что и требовалось доказать. Данное равенство верно при условии, что $a \neq b$, $b \neq c$ и $c \neq a$.

Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Найдем общий знаменатель для дробей. Он равен $(a-b)(a+b)(x+y)$.

Приведем дроби к общему знаменателю и выполним вычитание:

$\frac{ax+by}{(a-b)(x+y)} - \frac{bx-ay}{(a+b)(x+y)} = \frac{(ax+by)(a+b)}{(a-b)(a+b)(x+y)} - \frac{(bx-ay)(a-b)}{(a-b)(a+b)(x+y)}$

Запишем под общей чертой и раскроем скобки в числителе:

$\frac{(a^2x + abx + aby + b^2y) - (abx - b^2x - a^2y + aby)}{(a-b)(a+b)(x+y)}$

Упростим выражение в числителе, приведя подобные слагаемые. Знаменатель $(a-b)(a+b)$ свернем по формуле разности квадратов в $a^2-b^2$.

$\frac{a^2x + abx + aby + b^2y - abx + b^2x + a^2y - aby}{(a^2-b^2)(x+y)} = \frac{a^2x + b^2x + a^2y + b^2y}{(a^2-b^2)(x+y)}$

Вынесем общие множители в числителе за скобки:

$\frac{x(a^2+b^2) + y(a^2+b^2)}{(a^2-b^2)(x+y)} = \frac{(a^2+b^2)(x+y)}{(a^2-b^2)(x+y)}$

Сократим дробь на общий множитель $(x+y)$ (при условии, что $x+y \neq 0$):

$\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}$

В результате преобразований мы получили выражение, стоящее в правой части исходного равенства. Тождество доказано. Равенство верно при $a \neq b$, $a \neq -b$ и $x \neq -y$.

Ответ: Тождество доказано.

6.58. Зная, что $\frac{x}{y}=5$, найдите значение выражения:

1) $\frac{x+y}{y}$;

2) $\frac{x-y}{y}$;

3) $\frac{y}{x}$;

4) $\frac{x+2y}{x}$.

Для решения всех пунктов задачи будем использовать данное в условии равенство $\frac{x}{y} = 5$. Из этого равенства следует, что $y \neq 0$ и $x \neq 0$. Также мы можем выразить $x$ через $y$ как $x=5y$ или найти обратное отношение $\frac{y}{x} = \frac{1}{5}$.

1) $\frac{x+y}{y}$

Преобразуем данное выражение, разделив числитель почленно на знаменатель:

$\frac{x+y}{y} = \frac{x}{y} + \frac{y}{y}$

Теперь подставим известные значения. Из условия $\frac{x}{y} = 5$, а $\frac{y}{y} = 1$.

$\frac{x}{y} + \frac{y}{y} = 5 + 1 = 6$

Ответ: 6

2) $\frac{x-y}{y}$

Действуем аналогично предыдущему пункту, разделив числитель на знаменатель:

$\frac{x-y}{y} = \frac{x}{y} - \frac{y}{y}$

Подставляем известные значения:

$\frac{x}{y} - \frac{y}{y} = 5 - 1 = 4$

Ответ: 4

3) $\frac{y}{x}$

Данное выражение является обратным к выражению $\frac{x}{y}$. Если дробь равна некоторому числу, то обратная ей дробь равна обратному числу.

Если $\frac{x}{y} = 5$, то $\frac{y}{x} = \frac{1}{5}$.

Это значение также можно представить в виде десятичной дроби: $0.2$.

Ответ: $\frac{1}{5}$

4) $\frac{x+2y}{x}$

Снова разделим числитель почленно на знаменатель, но на этот раз на $x$:

$\frac{x+2y}{x} = \frac{x}{x} + \frac{2y}{x} = 1 + 2 \cdot \frac{y}{x}$

Из предыдущего пункта мы знаем, что $\frac{y}{x} = \frac{1}{5}$. Подставим это значение в выражение:

$1 + 2 \cdot \frac{1}{5} = 1 + \frac{2}{5} = \frac{5}{5} + \frac{2}{5} = \frac{7}{5}$

Это значение также можно представить в виде десятичной дроби: $1.4$.

Ответ: $\frac{7}{5}$