Номер 6.54, страница 178 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.54. 1) $\frac{1}{6x - 4y} - \frac{1}{6x + 4y} - \frac{3x}{4y^2 - 9x^2};$

2) $\frac{3a + 2}{a^2 - 2a + 1} - \frac{6}{a^2 - 1} - \frac{3a - 2}{a^2 + 2a + 1};$

3) $\frac{3}{x^2 + 2xy + y^2} - \frac{4}{x^2 - 2xy + y^2} + \frac{5}{x^2 - y^2};$

4) $\frac{1}{a - b} - \frac{3ab}{a^3 - b^3} - \frac{b - a}{a^2 + ab + b^2}.$

1)

Упростим выражение $\frac{1}{6x-4y} - \frac{1}{6x+4y} - \frac{3x}{4y^2-9x^2}$.

Сначала разложим знаменатели на множители.
$6x-4y = 2(3x-2y)$
$6x+4y = 2(3x+2y)$
$4y^2-9x^2 = (2y-3x)(2y+3x) = -(3x-2y)(3x+2y)$

Перепишем выражение с разложенными знаменателями:
$\frac{1}{2(3x-2y)} - \frac{1}{2(3x+2y)} - \frac{3x}{-(3x-2y)(3x+2y)}$

Изменим знак у последней дроби:
$\frac{1}{2(3x-2y)} - \frac{1}{2(3x+2y)} + \frac{3x}{(3x-2y)(3x+2y)}$

Общий знаменатель для этих дробей: $2(3x-2y)(3x+2y)$. Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{1 \cdot (3x+2y)}{2(3x-2y)(3x+2y)} - \frac{1 \cdot (3x-2y)}{2(3x-2y)(3x+2y)} + \frac{3x \cdot 2}{2(3x-2y)(3x+2y)}$

Выполним действия в числителе:
$\frac{(3x+2y) - (3x-2y) + 6x}{2(3x-2y)(3x+2y)} = \frac{3x+2y-3x+2y+6x}{2(3x-2y)(3x+2y)} = \frac{4y+6x}{2(3x-2y)(3x+2y)}$

Вынесем общий множитель 2 в числителе и сократим дробь:
$\frac{2(2y+3x)}{2(3x-2y)(3x+2y)} = \frac{2(3x+2y)}{2(3x-2y)(3x+2y)} = \frac{1}{3x-2y}$

Ответ: $\frac{1}{3x-2y}$

2)

Упростим выражение $\frac{3a+2}{a^2-2a+1} - \frac{6}{a^2-1} - \frac{3a-2}{a^2+2a+1}$.

Разложим знаменатели на множители, используя формулы сокращенного умножения:
$a^2-2a+1 = (a-1)^2$
$a^2-1 = (a-1)(a+1)$
$a^2+2a+1 = (a+1)^2$

Выражение примет вид:
$\frac{3a+2}{(a-1)^2} - \frac{6}{(a-1)(a+1)} - \frac{3a-2}{(a+1)^2}$

Общий знаменатель: $(a-1)^2(a+1)^2$. Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{(3a+2)(a+1)^2}{(a-1)^2(a+1)^2} - \frac{6(a-1)(a+1)}{(a-1)^2(a+1)^2} - \frac{(3a-2)(a-1)^2}{(a-1)^2(a+1)^2}$

Объединим числители под одной дробной чертой и раскроем скобки:
$\frac{(3a+2)(a^2+2a+1) - 6(a^2-1) - (3a-2)(a^2-2a+1)}{(a-1)^2(a+1)^2}$
$\frac{(3a^3+6a^2+3a+2a^2+4a+2) - (6a^2-6) - (3a^3-6a^2+3a-2a^2+4a-2)}{(a^2-1)^2}$
$\frac{(3a^3+8a^2+7a+2) - 6a^2+6 - (3a^3-8a^2+7a-2)}{(a^2-1)^2}$
$\frac{3a^3+8a^2+7a+2 - 6a^2+6 - 3a^3+8a^2-7a+2}{(a^2-1)^2}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:
$(3a^3-3a^3) + (8a^2-6a^2+8a^2) + (7a-7a) + (2+6+2) = 10a^2+10 = 10(a^2+1)$

Получаем итоговую дробь:
$\frac{10(a^2+1)}{(a^2-1)^2}$

Ответ: $\frac{10(a^2+1)}{(a^2-1)^2}$

3)

Упростим выражение $\frac{3}{x^2+2xy+y^2} - \frac{4}{x^2-2xy+y^2} + \frac{5}{x^2-y^2}$.

Разложим знаменатели на множители:
$x^2+2xy+y^2 = (x+y)^2$
$x^2-2xy+y^2 = (x-y)^2$
$x^2-y^2 = (x-y)(x+y)$

Перепишем выражение:
$\frac{3}{(x+y)^2} - \frac{4}{(x-y)^2} + \frac{5}{(x-y)(x+y)}$

Общий знаменатель: $(x+y)^2(x-y)^2$. Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{3(x-y)^2}{(x+y)^2(x-y)^2} - \frac{4(x+y)^2}{(x+y)^2(x-y)^2} + \frac{5(x-y)(x+y)}{(x+y)^2(x-y)^2}$

Запишем все под одной дробной чертой и раскроем скобки в числителе:
$\frac{3(x^2-2xy+y^2) - 4(x^2+2xy+y^2) + 5(x^2-y^2)}{(x^2-y^2)^2}$
$\frac{3x^2-6xy+3y^2 - 4x^2-8xy-4y^2 + 5x^2-5y^2}{(x^2-y^2)^2}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:
$(3x^2-4x^2+5x^2) + (-6xy-8xy) + (3y^2-4y^2-5y^2) = 4x^2 - 14xy - 6y^2$

Итоговое выражение:
$\frac{4x^2-14xy-6y^2}{(x^2-y^2)^2}$

Ответ: $\frac{4x^2-14xy-6y^2}{(x^2-y^2)^2}$

4)

Упростим выражение $\frac{1}{a-b} - \frac{3ab}{a^3-b^3} - \frac{b-a}{a^2+ab+b^2}$.

Разложим знаменатель второй дроби по формуле разности кубов: $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$.
В числителе третьей дроби вынесем -1 за скобки: $b-a = -(a-b)$.

Выражение примет вид:
$\frac{1}{a-b} - \frac{3ab}{(a-b)(a^2+ab+b^2)} - \frac{-(a-b)}{a^2+ab+b^2}$

Изменим знак перед последней дробью:
$\frac{1}{a-b} - \frac{3ab}{(a-b)(a^2+ab+b^2)} + \frac{a-b}{a^2+ab+b^2}$

Общий знаменатель: $(a-b)(a^2+ab+b^2)$. Приведем дроби к нему:
$\frac{1 \cdot (a^2+ab+b^2)}{(a-b)(a^2+ab+b^2)} - \frac{3ab}{(a-b)(a^2+ab+b^2)} + \frac{(a-b)(a-b)}{(a-b)(a^2+ab+b^2)}$

Запишем все под одной дробной чертой и упростим числитель:
$\frac{a^2+ab+b^2 - 3ab + (a-b)^2}{(a-b)(a^2+ab+b^2)} = \frac{a^2+ab+b^2 - 3ab + a^2-2ab+b^2}{a^3-b^3}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:
$(a^2+a^2) + (ab-3ab-2ab) + (b^2+b^2) = 2a^2-4ab+2b^2 = 2(a^2-2ab+b^2) = 2(a-b)^2$

Получим дробь:
$\frac{2(a-b)^2}{(a-b)(a^2+ab+b^2)}$

Сократим общий множитель $(a-b)$:
$\frac{2(a-b)}{a^2+ab+b^2}$

Ответ: $\frac{2(a-b)}{a^2+ab+b^2}$