Номер 6.53, страница 178 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.53. 1) $\frac{1}{x-2a} + \frac{1}{x+2a} + \frac{8a^2}{4a^2x - x^3};$

2) $\frac{4x-3}{3-2x} - \frac{4+5x}{3+2x} - \frac{3+x-10x^2}{4x^2-9};$

3) $\frac{4a^2-3a+5}{a^3-1} - \frac{1-2a}{a^2+a+1} + \frac{6}{1-a};$

4) $\frac{2a-1}{2a} - \frac{2a}{2a-1} - \frac{1}{2a-4a^2}.$

1) $\frac{1}{x-2a} + \frac{1}{x+2a} + \frac{8a^2}{4a^2x-x^3}$

Сначала разложим знаменатель третьей дроби на множители:
$4a^2x - x^3 = x(4a^2 - x^2) = x(2a - x)(2a + x)$.

Заметим, что $x - 2a = -(2a - x)$, а $x+2a=2a+x$. Перепишем исходное выражение, учитывая это:

$\frac{1}{-(2a-x)} + \frac{1}{2a+x} + \frac{8a^2}{x(2a-x)(2a+x)} = -\frac{1}{2a-x} + \frac{1}{2a+x} + \frac{8a^2}{x(2a-x)(2a+x)}$

Приведем первые две дроби к общему знаменателю $(2a-x)(2a+x)$:

$\frac{-(2a+x) + (2a-x)}{(2a-x)(2a+x)} = \frac{-2a-x+2a-x}{4a^2-x^2} = \frac{-2x}{4a^2-x^2}$.

Теперь вернемся к исходному выражению и подставим полученный результат:

$\frac{-2x}{4a^2-x^2} + \frac{8a^2}{x(4a^2-x^2)}$.

Приведем дроби к общему знаменателю $x(4a^2-x^2)$:

$\frac{-2x \cdot x}{x(4a^2-x^2)} + \frac{8a^2}{x(4a^2-x^2)} = \frac{-2x^2 + 8a^2}{x(4a^2-x^2)}$.

Вынесем в числителе общий множитель $-2$:

$\frac{-2(x^2 - 4a^2)}{x(4a^2-x^2)} = \frac{-2(-(4a^2 - x^2))}{x(4a^2-x^2)} = \frac{2(4a^2-x^2)}{x(4a^2-x^2)}$.

Сократим дробь на $(4a^2-x^2)$:

$\frac{2}{x}$.

Ответ: $\frac{2}{x}$.

2) $\frac{4x-3}{3-2x} - \frac{4+5x}{3+2x} - \frac{3+x-10x^2}{4x^2-9}$

Преобразуем знаменатели, чтобы найти общий.
$3-2x = -(2x-3)$.
$4x^2-9 = (2x-3)(2x+3)$.

Перепишем выражение с новыми знаменателями:

$\frac{4x-3}{-(2x-3)} - \frac{4+5x}{2x+3} - \frac{3+x-10x^2}{(2x-3)(2x+3)} = -\frac{4x-3}{2x-3} - \frac{4+5x}{2x+3} - \frac{3+x-10x^2}{(2x-3)(2x+3)}$.

Общий знаменатель: $(2x-3)(2x+3)$. Приведем все дроби к нему:

$\frac{-(4x-3)(2x+3) - (4+5x)(2x-3) - (3+x-10x^2)}{(2x-3)(2x+3)}$.

Раскроем скобки в числителе:

$-(8x^2+12x-6x-9) - (8x-12+10x^2-15x) - (3+x-10x^2) = $
$= -(8x^2+6x-9) - (10x^2-7x-12) - 3-x+10x^2 = $
$= -8x^2-6x+9 - 10x^2+7x+12 - 3-x+10x^2$.

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$(-8x^2-10x^2+10x^2) + (-6x+7x-x) + (9+12-3) = -8x^2 + 0 \cdot x + 18 = -8x^2+18$.

Подставим полученный числитель в дробь:

$\frac{-8x^2+18}{(2x-3)(2x+3)} = \frac{-2(4x^2-9)}{4x^2-9}$.

Сократим дробь на $(4x^2-9)$:

$-2$.

Ответ: $-2$.

3) $\frac{4a^2-3a+5}{a^3-1} - \frac{1-2a}{a^2+a+1} + \frac{6}{1-a}$

Разложим знаменатели на множители. Используем формулу разности кубов $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ и свойство $1-a=-(a-1)$:

$a^3-1 = (a-1)(a^2+a+1)$.

Перепишем выражение:

$\frac{4a^2-3a+5}{(a-1)(a^2+a+1)} - \frac{1-2a}{a^2+a+1} - \frac{6}{a-1}$.

Общий знаменатель: $(a-1)(a^2+a+1)$. Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{(4a^2-3a+5) - (1-2a)(a-1) - 6(a^2+a+1)}{(a-1)(a^2+a+1)}$.

Раскроем скобки и упростим числитель:

$(4a^2-3a+5) - (a-1-2a^2+2a) - (6a^2+6a+6) = $
$= 4a^2-3a+5 - (-2a^2+3a-1) - 6a^2-6a-6 = $
$= 4a^2-3a+5 + 2a^2-3a+1 - 6a^2-6a-6$.

Приведем подобные слагаемые:

$(4a^2+2a^2-6a^2) + (-3a-3a-6a) + (5+1-6) = 0 \cdot a^2 - 12a + 0 = -12a$.

Получаем дробь:

$\frac{-12a}{(a-1)(a^2+a+1)} = \frac{-12a}{a^3-1}$.

Ответ: $\frac{-12a}{a^3-1}$.

4) $\frac{2a-1}{2a} - \frac{2a}{2a-1} - \frac{1}{2a-4a^2}$

Разложим на множители знаменатель третьей дроби:

$2a-4a^2 = 2a(1-2a) = -2a(2a-1)$.

Подставим в исходное выражение:

$\frac{2a-1}{2a} - \frac{2a}{2a-1} - \frac{1}{-2a(2a-1)} = \frac{2a-1}{2a} - \frac{2a}{2a-1} + \frac{1}{2a(2a-1)}$.

Общий знаменатель: $2a(2a-1)$. Приведем к нему все дроби:

$\frac{(2a-1)(2a-1) - 2a \cdot 2a + 1}{2a(2a-1)}$.

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{(2a-1)^2 - 4a^2 + 1}{2a(2a-1)} = \frac{(4a^2-4a+1) - 4a^2 + 1}{2a(2a-1)}$.

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$4a^2-4a+1 - 4a^2 + 1 = (4a^2-4a^2) - 4a + (1+1) = -4a+2$.

Получаем дробь:

$\frac{-4a+2}{2a(2a-1)}$.

Вынесем в числителе общий множитель $-2$:

$\frac{-2(2a-1)}{2a(2a-1)}$.

Сократим дробь на $2$ и на $(2a-1)$:

$\frac{-1}{a}$.

Ответ: $-\frac{1}{a}$.