Номер 6.49, страница 177 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.49. 1) $\frac{1}{2a-b} - \frac{1}{2a+b}$;

2) $\frac{1}{3m-n} + \frac{1}{3m+n}$;

3) $\frac{5}{x-y} - \frac{3}{x+y}$;

4) $\frac{4}{p+q} + \frac{2}{p-q}$.

1) $\frac{1}{2a-b} - \frac{1}{2a+b}$

Чтобы выполнить вычитание дробей с разными знаменателями, их необходимо привести к общему знаменателю. В данном случае общий знаменатель — это произведение знаменателей $(2a-b)$ и $(2a+b)$.

Домножим первую дробь на дополнительный множитель $(2a+b)$, а вторую — на $(2a-b)$:

$\frac{1}{2a-b} - \frac{1}{2a+b} = \frac{1 \cdot (2a+b)}{(2a-b)(2a+b)} - \frac{1 \cdot (2a-b)}{(2a+b)(2a-b)}$

Теперь, когда знаменатели одинаковы, выполним вычитание числителей:

$\frac{(2a+b) - (2a-b)}{(2a-b)(2a+b)} = \frac{2a+b-2a+b}{(2a-b)(2a+b)} = \frac{2b}{(2a-b)(2a+b)}$

Знаменатель можно упростить, применив формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$:

$(2a-b)(2a+b) = (2a)^2 - b^2 = 4a^2-b^2$

Таким образом, окончательное выражение выглядит так:

Ответ: $\frac{2b}{4a^2-b^2}$

2) $\frac{1}{3m-n} + \frac{1}{3m+n}$

Для сложения этих дробей найдем общий знаменатель, который равен произведению их знаменателей: $(3m-n)(3m+n)$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{1 \cdot (3m+n)}{(3m-n)(3m+n)} + \frac{1 \cdot (3m-n)}{(3m+n)(3m-n)}$

Сложим числители, оставив общий знаменатель без изменений:

$\frac{(3m+n) + (3m-n)}{(3m-n)(3m+n)} = \frac{3m+n+3m-n}{(3m-n)(3m+n)} = \frac{6m}{(3m-n)(3m+n)}$

Используем формулу разности квадратов для упрощения знаменателя:

$(3m-n)(3m+n) = (3m)^2 - n^2 = 9m^2-n^2$

Получаем итоговый результат:

Ответ: $\frac{6m}{9m^2-n^2}$

3) $\frac{5}{x-y} - \frac{3}{x+y}$

Общим знаменателем для данных дробей является выражение $(x-y)(x+y)$.

Приведем дроби к общему знаменателю, домножив числитель и знаменатель первой дроби на $(x+y)$, а второй — на $(x-y)$:

$\frac{5(x+y)}{(x-y)(x+y)} - \frac{3(x-y)}{(x+y)(x-y)}$

Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$\frac{5(x+y) - 3(x-y)}{(x-y)(x+y)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{5x+5y - 3x+3y}{(x-y)(x+y)} = \frac{2x+8y}{(x-y)(x+y)}$

Упростим знаменатель по формуле разности квадратов:

$(x-y)(x+y) = x^2-y^2$

Окончательный вид выражения:

Ответ: $\frac{2x+8y}{x^2-y^2}$

4) $\frac{4}{p+q} + \frac{2}{p-q}$

Найдем общий знаменатель, который равен $(p+q)(p-q)$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{4(p-q)}{(p+q)(p-q)} + \frac{2(p+q)}{(p-q)(p+q)}$

Сложим числители полученных дробей:

$\frac{4(p-q) + 2(p+q)}{(p+q)(p-q)}$

Раскроем скобки и упростим выражение в числителе:

$\frac{4p-4q+2p+2q}{(p+q)(p-q)} = \frac{6p-2q}{(p+q)(p-q)}$

Знаменатель преобразуем по формуле разности квадратов:

$(p+q)(p-q) = p^2-q^2$

Итоговое выражение:

Ответ: $\frac{6p-2q}{p^2-q^2}$