Номер 6.48, страница 177 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.48. 1) $\frac{7x}{2(x-1)} + \frac{5x}{x-1}$;

2) $\frac{9a}{4(a+2)} - \frac{1}{a+2}$;

3) $\frac{2a^2}{3(a+1)} + \frac{5a^2}{4(a+1)}$;

4) $\frac{4x}{5(x-3)} - \frac{3x}{2(x-3)}$.

1) Чтобы сложить дроби $\frac{7x}{2(x-1)}$ и $\frac{5x}{x-1}$, их необходимо привести к общему знаменателю. Знаменатели дробей — это $2(x-1)$ и $x-1$. Наименьший общий знаменатель для них — $2(x-1)$.

Дополнительный множитель для второй дроби равен 2. Домножим числитель и знаменатель второй дроби на 2:

$\frac{5x}{x-1} = \frac{5x \cdot 2}{(x-1) \cdot 2} = \frac{10x}{2(x-1)}$

Теперь выполним сложение дробей с одинаковыми знаменателями:

$\frac{7x}{2(x-1)} + \frac{10x}{2(x-1)} = \frac{7x+10x}{2(x-1)} = \frac{17x}{2(x-1)}$

Ответ: $\frac{17x}{2(x-1)}$

2) Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{9a}{4(a+2)}$ и $\frac{1}{a+2}$, найдем общий знаменатель. Знаменатели — $4(a+2)$ и $a+2$. Наименьший общий знаменатель — $4(a+2)$.

Дополнительный множитель для второй дроби равен 4. Умножим ее числитель и знаменатель на 4:

$\frac{1}{a+2} = \frac{1 \cdot 4}{(a+2) \cdot 4} = \frac{4}{4(a+2)}$

Теперь выполним вычитание дробей:

$\frac{9a}{4(a+2)} - \frac{4}{4(a+2)} = \frac{9a - 4}{4(a+2)}$

Ответ: $\frac{9a-4}{4(a+2)}$

3) Для сложения дробей $\frac{2a^2}{3(a+1)}$ и $\frac{5a^2}{4(a+1)}$ найдем общий знаменатель. Он состоит из наименьшего общего кратного числовых коэффициентов 3 и 4 (это 12) и общего множителя $(a+1)$. Таким образом, общий знаменатель равен $12(a+1)$.

Дополнительный множитель для первой дроби — 4, а для второй — 3. Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{2a^2 \cdot 4}{3(a+1) \cdot 4} + \frac{5a^2 \cdot 3}{4(a+1) \cdot 3} = \frac{8a^2}{12(a+1)} + \frac{15a^2}{12(a+1)}$

Теперь сложим числители:

$\frac{8a^2 + 15a^2}{12(a+1)} = \frac{23a^2}{12(a+1)}$

Ответ: $\frac{23a^2}{12(a+1)}$

4) Для вычитания дробей $\frac{4x}{5(x-3)}$ и $\frac{3x}{2(x-3)}$ найдем общий знаменатель. Он равен наименьшему общему кратному коэффициентов 5 и 2 (это 10), умноженному на общий множитель $(x-3)$. Общий знаменатель — $10(x-3)$.

Дополнительный множитель для первой дроби — 2, для второй — 5. Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{4x \cdot 2}{5(x-3) \cdot 2} - \frac{3x \cdot 5}{2(x-3) \cdot 5} = \frac{8x}{10(x-3)} - \frac{15x}{10(x-3)}$

Выполним вычитание числителей:

$\frac{8x - 15x}{10(x-3)} = \frac{-7x}{10(x-3)} = -\frac{7x}{10(x-3)}$

Ответ: $-\frac{7x}{10(x-3)}$