Номер 6.50, страница 177 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.50. 1) $\frac{2m}{5m+5n} + \frac{3n}{5m-5n}$;

2) $\frac{7x}{3x+3y} - \frac{2x}{3x-3y}$;

3) $\frac{5b}{ax+ay} - \frac{2a}{bx+by}$;

4) $\frac{3x}{4x+4y} - \frac{6x}{8x+8y}$.

1) Чтобы сложить дроби $\frac{2m}{5m+5n} + \frac{3n}{5m-5n}$, нужно привести их к общему знаменателю.
Сначала разложим знаменатели на множители:
$5m+5n = 5(m+n)$
$5m-5n = 5(m-n)$
Общий знаменатель для этих дробей будет $5(m+n)(m-n) = 5(m^2-n^2)$.
Найдем дополнительные множители для каждой дроби. Для первой дроби это $(m-n)$, для второй — $(m+n)$.
Выполним сложение:
$\frac{2m}{5(m+n)} + \frac{3n}{5(m-n)} = \frac{2m(m-n)}{5(m+n)(m-n)} + \frac{3n(m+n)}{5(m+n)(m-n)} = \frac{2m(m-n) + 3n(m+n)}{5(m^2-n^2)}$
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{2m^2 - 2mn + 3mn + 3n^2}{5(m^2-n^2)} = \frac{2m^2 + mn + 3n^2}{5(m^2-n^2)}$
Ответ: $\frac{2m^2+mn+3n^2}{5(m^2-n^2)}$

2) Чтобы вычесть дроби $\frac{7x}{3x+3y} - \frac{2x}{3x-3y}$, приведем их к общему знаменателю.
Разложим знаменатели на множители:
$3x+3y = 3(x+y)$
$3x-3y = 3(x-y)$
Общий знаменатель: $3(x+y)(x-y) = 3(x^2-y^2)$.
Дополнительный множитель для первой дроби — $(x-y)$, для второй — $(x+y)$.
Выполним вычитание:
$\frac{7x(x-y)}{3(x+y)(x-y)} - \frac{2x(x+y)}{3(x+y)(x-y)} = \frac{7x(x-y) - 2x(x+y)}{3(x^2-y^2)}$
Раскроем скобки и упростим числитель:
$\frac{7x^2 - 7xy - 2x^2 - 2xy}{3(x^2-y^2)} = \frac{5x^2 - 9xy}{3(x^2-y^2)}$
Можно вынести $x$ за скобки в числителе: $\frac{x(5x - 9y)}{3(x^2-y^2)}$
Ответ: $\frac{5x^2-9xy}{3(x^2-y^2)}$

3) Чтобы вычесть дроби $\frac{5b}{ax+ay} - \frac{2a}{bx+by}$, найдем общий знаменатель.
Разложим знаменатели на множители:
$ax+ay = a(x+y)$
$bx+by = b(x+y)$
Общий знаменатель: $ab(x+y)$.
Дополнительный множитель для первой дроби — $b$, для второй — $a$.
Выполним вычитание:
$\frac{5b \cdot b}{ab(x+y)} - \frac{2a \cdot a}{ab(x+y)} = \frac{5b^2 - 2a^2}{ab(x+y)}$
Ответ: $\frac{5b^2-2a^2}{ab(x+y)}$

4) Чтобы вычесть дроби $\frac{3x}{4x+4y} - \frac{6x}{8x+8y}$, приведем их к общему знаменателю.
Разложим знаменатели на множители:
$4x+4y = 4(x+y)$
$8x+8y = 8(x+y)$
Общий знаменатель для $4(x+y)$ и $8(x+y)$ это $8(x+y)$.
Дополнительный множитель для первой дроби — $2$, для второй — $1$.
Выполним вычитание:
$\frac{3x \cdot 2}{8(x+y)} - \frac{6x}{8(x+y)} = \frac{6x-6x}{8(x+y)} = \frac{0}{8(x+y)} = 0$
Альтернативный способ: можно заметить, что вторую дробь можно сократить:
$\frac{6x}{8x+8y} = \frac{6x}{8(x+y)} = \frac{3x}{4(x+y)}$
Тогда выражение принимает вид:
$\frac{3x}{4(x+y)} - \frac{3x}{4(x+y)} = 0$
Ответ: $0$