Номер 6.57, страница 178 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.57. Докажите тождество:

1) $\frac{1}{(a-b)(b-c)} + \frac{1}{(c-a)(a-b)} + \frac{1}{(b-c)(c-a)} = 0;$

2) $\frac{ax+by}{(a-b)(x+y)} - \frac{bx-ay}{(a+b)(x+y)} = \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}.$

1) Чтобы доказать тождество, приведем все дроби в левой части к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей $\frac{1}{(a-b)(b-c)}$, $\frac{1}{(c-a)(a-b)}$ и $\frac{1}{(b-c)(c-a)}$ равен $(a-b)(b-c)(c-a)$.

Домножим числитель и знаменатель каждой дроби на недостающий множитель:

$\frac{1}{(a-b)(b-c)} + \frac{1}{(c-a)(a-b)} + \frac{1}{(b-c)(c-a)} = \frac{c-a}{(a-b)(b-c)(c-a)} + \frac{b-c}{(a-b)(b-c)(c-a)} + \frac{a-b}{(a-b)(b-c)(c-a)}$

Теперь сложим числители, оставив знаменатель прежним:

$\frac{(c-a) + (b-c) + (a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{c-a+b-c+a-b}{(a-b)(b-c)(c-a)} = \frac{(a-a) + (b-b) + (c-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)} = \frac{0}{(a-b)(b-c)(c-a)} = 0$

Левая часть равна правой, что и требовалось доказать. Данное равенство верно при условии, что $a \neq b$, $b \neq c$ и $c \neq a$.

Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Найдем общий знаменатель для дробей. Он равен $(a-b)(a+b)(x+y)$.

Приведем дроби к общему знаменателю и выполним вычитание:

$\frac{ax+by}{(a-b)(x+y)} - \frac{bx-ay}{(a+b)(x+y)} = \frac{(ax+by)(a+b)}{(a-b)(a+b)(x+y)} - \frac{(bx-ay)(a-b)}{(a-b)(a+b)(x+y)}$

Запишем под общей чертой и раскроем скобки в числителе:

$\frac{(a^2x + abx + aby + b^2y) - (abx - b^2x - a^2y + aby)}{(a-b)(a+b)(x+y)}$

Упростим выражение в числителе, приведя подобные слагаемые. Знаменатель $(a-b)(a+b)$ свернем по формуле разности квадратов в $a^2-b^2$.

$\frac{a^2x + abx + aby + b^2y - abx + b^2x + a^2y - aby}{(a^2-b^2)(x+y)} = \frac{a^2x + b^2x + a^2y + b^2y}{(a^2-b^2)(x+y)}$

Вынесем общие множители в числителе за скобки:

$\frac{x(a^2+b^2) + y(a^2+b^2)}{(a^2-b^2)(x+y)} = \frac{(a^2+b^2)(x+y)}{(a^2-b^2)(x+y)}$

Сократим дробь на общий множитель $(x+y)$ (при условии, что $x+y \neq 0$):

$\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}$

В результате преобразований мы получили выражение, стоящее в правой части исходного равенства. Тождество доказано. Равенство верно при $a \neq b$, $a \neq -b$ и $x \neq -y$.

Ответ: Тождество доказано.