Номер 6.59, страница 179 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.59. Зная, что $\frac{x+y}{y}=2$, найдите значение выражения:

1) $\frac{x}{y}$;

2) $\frac{y}{x+y}$;

3) $\frac{x-y}{x}$;

4) $\frac{y}{x}$.

Для решения всех пунктов задачи, сначала преобразуем исходное равенство: $ \frac{x+y}{y} = 2 $

Поскольку в знаменателе находится $y$, то $y \neq 0$. Разделим числитель почленно на знаменатель: $ \frac{x}{y} + \frac{y}{y} = 2 $

$ \frac{x}{y} + 1 = 2 $

Отсюда находим отношение $ \frac{x}{y} $: $ \frac{x}{y} = 2 - 1 = 1 $

Из полученного соотношения следует, что $x = y$. Теперь мы можем найти значения каждого выражения.

1) $ \frac{x}{y} $

Как мы уже выяснили из преобразования исходного условия, значение этого выражения равно 1.

Ответ: 1

2) $ \frac{y}{x+y} $

Данное выражение является обратным (перевернутым) к выражению $ \frac{x+y}{y} $, значение которого дано в условии. Следовательно: $ \frac{y}{x+y} = \frac{1}{\frac{x+y}{y}} = \frac{1}{2} $

Альтернативный способ — подставить $x=y$ в выражение: $ \frac{y}{x+y} = \frac{y}{y+y} = \frac{y}{2y} = \frac{1}{2} $

Ответ: $ \frac{1}{2} $

3) $ \frac{x-y}{x} $

Подставим в выражение соотношение $x=y$. Так как $y \neq 0$, то и $x \neq 0$. $ \frac{x-y}{x} = \frac{y-y}{y} = \frac{0}{y} = 0 $

Также можно разделить числитель почленно на знаменатель: $ \frac{x-y}{x} = \frac{x}{x} - \frac{y}{x} = 1 - \frac{y}{x} $. Мы знаем, что $ \frac{x}{y} = 1 $, значит, обратное отношение $ \frac{y}{x} $ также равно 1. $ 1 - \frac{y}{x} = 1 - 1 = 0 $

Ответ: 0

4) $ \frac{y}{x} $

Это выражение является обратным к выражению $ \frac{x}{y} $. Поскольку мы нашли, что $ \frac{x}{y} = 1 $, то: $ \frac{y}{x} = \frac{1}{\frac{x}{y}} = \frac{1}{1} = 1 $

Ответ: 1