Страница 179 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.59. Зная, что $\frac{x+y}{y}=2$, найдите значение выражения:

1) $\frac{x}{y}$;

2) $\frac{y}{x+y}$;

3) $\frac{x-y}{x}$;

4) $\frac{y}{x}$.

Для решения всех пунктов задачи, сначала преобразуем исходное равенство: $ \frac{x+y}{y} = 2 $

Поскольку в знаменателе находится $y$, то $y \neq 0$. Разделим числитель почленно на знаменатель: $ \frac{x}{y} + \frac{y}{y} = 2 $

$ \frac{x}{y} + 1 = 2 $

Отсюда находим отношение $ \frac{x}{y} $: $ \frac{x}{y} = 2 - 1 = 1 $

Из полученного соотношения следует, что $x = y$. Теперь мы можем найти значения каждого выражения.

1) $ \frac{x}{y} $

Как мы уже выяснили из преобразования исходного условия, значение этого выражения равно 1.

Ответ: 1

2) $ \frac{y}{x+y} $

Данное выражение является обратным (перевернутым) к выражению $ \frac{x+y}{y} $, значение которого дано в условии. Следовательно: $ \frac{y}{x+y} = \frac{1}{\frac{x+y}{y}} = \frac{1}{2} $

Альтернативный способ — подставить $x=y$ в выражение: $ \frac{y}{x+y} = \frac{y}{y+y} = \frac{y}{2y} = \frac{1}{2} $

Ответ: $ \frac{1}{2} $

3) $ \frac{x-y}{x} $

Подставим в выражение соотношение $x=y$. Так как $y \neq 0$, то и $x \neq 0$. $ \frac{x-y}{x} = \frac{y-y}{y} = \frac{0}{y} = 0 $

Также можно разделить числитель почленно на знаменатель: $ \frac{x-y}{x} = \frac{x}{x} - \frac{y}{x} = 1 - \frac{y}{x} $. Мы знаем, что $ \frac{x}{y} = 1 $, значит, обратное отношение $ \frac{y}{x} $ также равно 1. $ 1 - \frac{y}{x} = 1 - 1 = 0 $

Ответ: 0

4) $ \frac{y}{x} $

Это выражение является обратным к выражению $ \frac{x}{y} $. Поскольку мы нашли, что $ \frac{x}{y} = 1 $, то: $ \frac{y}{x} = \frac{1}{\frac{x}{y}} = \frac{1}{1} = 1 $

Ответ: 1

6.60. Учитывая, что $a \neq 0, b \neq 0, a \neq b$ и $\frac{a^2-2b}{a(1-2b)} = \frac{b^2-2a}{b(1-2a)}$, докажите справедливость равенства $a + b + 1,5 = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$.

Для доказательства справедливости равенства начнем с преобразования исходного тождества, данного в условии.

Исходное равенство: $ \frac{a^2 - 2b}{a(1 - 2b)} = \frac{b^2 - 2a}{b(1 - 2a)} $

Условия, при которых равенство рассматривается: $ a \neq 0 $, $ b \neq 0 $, $ a \neq b $. Также из вида знаменателей следует, что $ 1 - 2b \neq 0 $ и $ 1 - 2a \neq 0 $.

Применим правило пропорции (умножим уравнение крест-накрест):

$ b(1 - 2a)(a^2 - 2b) = a(1 - 2b)(b^2 - 2a) $

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$ (b - 2ab)(a^2 - 2b) = (a - 2ab)(b^2 - 2a) $

$ a^2b - 2b^2 - 2a^3b + 4ab^2 = ab^2 - 2a^2 - 2ab^3 + 4a^2b $

Перенесем все члены уравнения в левую часть и сгруппируем их для дальнейшего упрощения:

$ 2a^2 - 2b^2 + 4ab^2 - ab^2 + a^2b - 4a^2b + 2ab^3 - 2a^3b = 0 $

$ 2(a^2 - b^2) + 3ab^2 - 3a^2b - 2a^3b + 2ab^3 = 0 $

Вынесем общие множители:

$ 2(a^2 - b^2) - 3ab(a - b) - 2ab(a^2 - b^2) = 0 $

Разложим $ (a^2 - b^2) $ как $ (a - b)(a + b) $:

$ 2(a - b)(a + b) - 3ab(a - b) - 2ab(a - b)(a + b) = 0 $

Вынесем общий множитель $ (a - b) $ за скобки:

$ (a - b)[2(a + b) - 3ab - 2ab(a + b)] = 0 $

Поскольку по условию $ a \neq b $, то множитель $ (a - b) $ не равен нулю. Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $ (a - b) $:

$ 2(a + b) - 3ab - 2ab(a + b) = 0 $

Перегруппируем слагаемые:

$ 2(a + b) - 2ab(a + b) = 3ab $

Разделим обе части полученного равенства на $ 2ab $. Это действие является корректным, так как по условию $ a \neq 0 $ и $ b \neq 0 $.

$ \frac{2(a + b)}{2ab} - \frac{2ab(a + b)}{2ab} = \frac{3ab}{2ab} $

После сокращения получим:

$ \frac{a + b}{ab} - (a + b) = \frac{3}{2} $

Представим дробь $ \frac{a + b}{ab} $ в виде суммы двух дробей, а $ \frac{3}{2} $ в виде десятичной дроби 1,5:

$ \frac{a}{ab} + \frac{b}{ab} - (a + b) = 1,5 $

$ \frac{1}{b} + \frac{1}{a} - (a + b) = 1,5 $

Наконец, перенесем $ (a + b) $ в правую часть равенства:

$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = a + b + 1,5 $

Таким образом, мы доказали требуемое равенство.

Ответ: Равенство $ a + b + 1,5 = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} $ доказано.

6.61. Найдите отношение суммы кубов трех последовательных натуральных чисел, минус утроенное произведение этих чисел к среднему арифметическому данных чисел.

Обозначим три последовательных натуральных числа как $n-1$, $n$ и $n+1$, где $n$ — натуральное число, большее или равное 2 (чтобы все числа были натуральными).

Найдем числитель искомого отношения: "сумма кубов трех последовательных натуральных чисел, минус утроенное произведение этих чисел".
Сначала вычислим сумму кубов этих чисел:
$S_{кубов} = (n-1)^3 + n^3 + (n+1)^3$
Используем формулы сокращенного умножения для куба разности и куба суммы:
$(n-1)^3 = n^3 - 3n^2 + 3n - 1$
$(n+1)^3 = n^3 + 3n^2 + 3n + 1$
Сложим три куба:
$S_{кубов} = (n^3 - 3n^2 + 3n - 1) + n^3 + (n^3 + 3n^2 + 3n + 1) = 3n^3 + 6n$.

Теперь вычислим утроенное произведение этих чисел. Произведение равно:
$P = (n-1) \cdot n \cdot (n+1) = n(n^2 - 1) = n^3 - n$.
Утроенное произведение равно:
$3P = 3(n^3 - n) = 3n^3 - 3n$.

Теперь найдем значение всего выражения в числителе, вычитая утроенное произведение из суммы кубов:
$Числитель = S_{кубов} - 3P = (3n^3 + 6n) - (3n^3 - 3n) = 3n^3 + 6n - 3n^3 + 3n = 9n$.

Далее найдем знаменатель искомого отношения: "среднее арифметическое данных чисел".
Сумма чисел: $(n-1) + n + (n+1) = 3n$.
Количество чисел: 3.
Среднее арифметическое равно:
$Знаменатель = \frac{(n-1) + n + (n+1)}{3} = \frac{3n}{3} = n$.

Наконец, найдем искомое отношение, разделив числитель на знаменатель:
$Отношение = \frac{Числитель}{Знаменатель} = \frac{9n}{n} = 9$.

Результат не зависит от выбора конкретных последовательных натуральных чисел.

Ответ: 9

6.62. Постройте график функции, заданной формулой:

1) $y = 2x + 1$;

2) $y = \frac{1}{2}x^2$;

3) $y = -\frac{1}{3}x^3$.

1) $y = 2x + 1$;

Данная функция является линейной, ее общий вид $y = kx + b$. Графиком такой функции является прямая линия.

Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых ее точек. Составим таблицу значений:

1. Найдем точку пересечения с осью OY. Для этого подставим $x = 0$ в уравнение функции:
$y = 2 \cdot 0 + 1 = 1$
Получили точку A с координатами $(0; 1)$.

2. Найдем еще одну точку. Возьмем, например, $x = 2$:
$y = 2 \cdot 2 + 1 = 5$
Получили точку B с координатами $(2; 5)$.

Теперь отметим точки A(0; 1) и B(2; 5) на координатной плоскости и проведем через них прямую линию. Это и будет график функции $y = 2x + 1$.

Ответ: Графиком функции является прямая, проходящая через точки $(0; 1)$ и $(2; 5)$.

2) $y = \frac{1}{2}x^2$;

Данная функция является квадратичной, ее график — парабола. Общий вид функции $y = ax^2$. В нашем случае $a = \frac{1}{2}$.

Основные свойства графика:

• Вершина параболы находится в начале координат, в точке $(0; 0)$.
• Поскольку коэффициент $a = \frac{1}{2} > 0$, ветви параболы направлены вверх.
• Функция является четной ($y(-x) = y(x)$), поэтому ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY).

Для более точного построения найдем координаты нескольких точек, принадлежащих графику. Составим таблицу значений для $x \ge 0$, а затем отразим их симметрично относительно оси OY.

При $x = 0, y = \frac{1}{2} \cdot 0^2 = 0$. Точка $(0; 0)$.
При $x = 1, y = \frac{1}{2} \cdot 1^2 = 0.5$. Точка $(1; 0.5)$.
При $x = 2, y = \frac{1}{2} \cdot 2^2 = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$. Точка $(2; 2)$.
При $x = 4, y = \frac{1}{2} \cdot 4^2 = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$. Точка $(4; 8)$.

В силу симметрии, также получаем точки $(-1; 0.5)$, $(-2; 2)$, $(-4; 8)$.

Отметим найденные точки на координатной плоскости и соединим их плавной кривой.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(0; 0)$ и ветвями, направленными вверх. Парабола проходит, например, через точки $(2; 2)$ и $(-2; 2)$.

3) $y = -\frac{1}{3}x^3$.

Данная функция является кубической, ее график — кубическая парабола. График проходит через начало координат, точку $(0; 0)$.

Основные свойства графика:

• Функция является нечетной, так как $y(-x) = -\frac{1}{3}(-x)^3 = -(-\frac{1}{3}x^3) = -y(x)$. Это означает, что график симметричен относительно начала координат.
• Так как коэффициент при $x^3$ отрицателен ($-\frac{1}{3} < 0$), график функции расположен во второй (для $x < 0$) и четвертой (для $x > 0$) координатных четвертях.

Для построения найдем координаты нескольких точек. Составим таблицу значений, используя свойство симметрии.

При $x = 0, y = -\frac{1}{3} \cdot 0^3 = 0$. Точка $(0; 0)$.
При $x = 1, y = -\frac{1}{3} \cdot 1^3 = -\frac{1}{3}$. Точка $(1; -1/3)$. Соответственно, есть симметричная точка $(-1; 1/3)$.
При $x = 2, y = -\frac{1}{3} \cdot 2^3 = -\frac{8}{3} \approx -2.67$. Точка $(2; -8/3)$. Соответственно, есть симметричная точка $(-2; 8/3)$.
При $x = 3, y = -\frac{1}{3} \cdot 3^3 = -\frac{27}{3} = -9$. Точка $(3; -9)$. Соответственно, есть симметричная точка $(-3; 9)$.

Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим их плавной кривой, характерной для кубической параболы.

Ответ: Графиком функции является кубическая парабола, симметричная относительно начала координат и расположенная во II и IV координатных четвертях. График проходит через точки $(0; 0)$, $(3; -9)$ и $(-3; 9)$.

6.63. Разложите на множители:

1) $a^2+b^2-2ab-c^2$;

2) $a^2-16+b^2-2ab$.

1) $a^2+b^2-2ab-c^2$

Для разложения на множители данного выражения сгруппируем первые три члена: $a^2$, $b^2$ и $-2ab$.

$(a^2 - 2ab + b^2) - c^2$

Выражение в скобках представляет собой формулу сокращенного умножения — квадрат разности: $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$.

Применив эту формулу, получим:

$(a-b)^2 - c^2$

Теперь мы имеем разность квадратов, которую можно разложить по формуле $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$. В нашем случае $x = (a-b)$, а $y = c$.

$(a-b)^2 - c^2 = ((a-b) - c)((a-b) + c)$

Раскроем внутренние скобки:

$(a-b-c)(a-b+c)$

Ответ: $(a-b-c)(a-b+c)$

2) $a^2-16+b^2-2ab$

Перегруппируем члены выражения, чтобы собрать вместе $a^2$, $b^2$ и $-2ab$.

$(a^2 - 2ab + b^2) - 16$

Выражение в скобках, как и в предыдущем примере, является квадратом разности $(a-b)^2$.

$(a-b)^2 - 16$

Представим число $16$ как квадрат числа $4$, то есть $16=4^2$.

$(a-b)^2 - 4^2$

Теперь мы снова можем применить формулу разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$, где $x=(a-b)$, а $y=4$.

$((a-b) - 4)((a-b) + 4)$

Раскроем внутренние скобки и получим окончательный результат:

$(a-b-4)(a-b+4)$

Ответ: $(a-b-4)(a-b+4)$

6.64. Решите уравнение:

$12x^2-5x+(1+3x)(1-3x)-3(x-2)(x+3)-6=21.$

6.64.

Для решения данного уравнения необходимо сначала упростить его, раскрыв все скобки и приведя подобные слагаемые.

Исходное уравнение:

$12x^2-5x+(1+3x)(1-3x)-3(x-2)(x+3)-6=21$

1. Раскроем скобки. Выражение $(1+3x)(1-3x)$ является формулой разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$:

$(1+3x)(1-3x) = 1^2-(3x)^2 = 1-9x^2$

2. Перемножим двучлены $(x-2)$ и $(x+3)$:

$(x-2)(x+3) = x^2+3x-2x-6 = x^2+x-6$

3. Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$12x^2-5x+(1-9x^2)-3(x^2+x-6)-6=21$

4. Теперь раскроем оставшиеся скобки, умножив многочлен в скобках на -3:

$12x^2-5x+1-9x^2-3x^2-3x+18-6=21$

5. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(12x^2-9x^2-3x^2) + (-5x-3x) + (1+18-6) = 21$

Вычисляем значения в скобках:

$0 \cdot x^2 - 8x + 13 = 21$

Квадратные члены сократились, и уравнение упрощается до линейного:

$-8x+13=21$

6. Решим полученное линейное уравнение. Перенесем свободный член 13 в правую часть уравнения, изменив его знак:

$-8x = 21-13$

$-8x = 8$

7. Найдем $x$, разделив обе части уравнения на -8:

$x = \frac{8}{-8}$

$x = -1$

Ответ: $-1$