Страница 175 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.31. 1) $\frac{a+b}{x+a} + \frac{a-b}{x+a}$;

2) $\frac{b+4}{a-2} + \frac{b+3}{a-2}$;

3) $\frac{1-x}{m-n} - \frac{1-3x}{m-n}$;

4) $\frac{3a+1}{a+b} - \frac{2a+3}{a+b}$.

1) Для сложения двух алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями необходимо сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений. В данном случае общий знаменатель равен $x+a$.

$\frac{a+b}{x+a} + \frac{a-b}{x+a} = \frac{(a+b) + (a-b)}{x+a}$

Сложим выражения в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{a+b+a-b}{x+a} = \frac{2a}{x+a}$

Ответ: $\frac{2a}{x+a}$

2) В этом примере знаменатели также одинаковы и равны $a-2$. Выполним сложение числителей.

$\frac{b+4}{a-2} + \frac{b+3}{a-2} = \frac{(b+4) + (b+3)}{a-2}$

Раскроем скобки в числителе и упростим полученное выражение:

$\frac{b+4+b+3}{a-2} = \frac{2b+7}{a-2}$

Ответ: $\frac{2b+7}{a-2}$

3) Для вычитания двух алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями необходимо из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить прежним. Общий знаменатель равен $m-n$.

$\frac{1-x}{m-n} - \frac{1-3x}{m-n} = \frac{(1-x) - (1-3x)}{m-n}$

Раскроем скобки в числителе. Важно помнить, что знак "минус" перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри нее на противоположные.

$\frac{1-x-1+3x}{m-n} = \frac{(1-1) + (-x+3x)}{m-n} = \frac{2x}{m-n}$

Ответ: $\frac{2x}{m-n}$

4) Аналогично предыдущему примеру, вычтем числители, оставив общий знаменатель $a+b$ без изменений.

$\frac{3a+1}{a+b} - \frac{2a+3}{a+b} = \frac{(3a+1) - (2a+3)}{a+b}$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{3a+1-2a-3}{a+b} = \frac{(3a-2a) + (1-3)}{a+b} = \frac{a-2}{a+b}$

Ответ: $\frac{a-2}{a+b}$

6.32. 1) $\frac{a-x}{m} + \frac{b+x}{m};$

2) $\frac{a-3b}{n} + \frac{4b-a}{n};$

3) $\frac{x-bp}{p} - \frac{x+bp}{p};$

4) $\frac{c+qy}{q} - \frac{c-2qy}{q}.$

1)

Для сложения дробей с одинаковыми знаменателями необходимо сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений. В данном случае знаменатель равен $m$.

$\frac{a-x}{m} + \frac{b+x}{m} = \frac{(a-x) + (b+x)}{m}$

Теперь упростим выражение в числителе, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:

$\frac{a-x+b+x}{m} = \frac{a+b+(-x+x)}{m} = \frac{a+b}{m}$

Ответ: $\frac{a+b}{m}$

2)

Так как знаменатели дробей одинаковы ($n$), складываем их числители.

$\frac{a-3b}{n} + \frac{4b-a}{n} = \frac{(a-3b) + (4b-a)}{n}$

Упростим числитель, сгруппировав и сложив подобные члены:

$\frac{a-3b+4b-a}{n} = \frac{(a-a) + (-3b+4b)}{n} = \frac{0+b}{n} = \frac{b}{n}$

Ответ: $\frac{b}{n}$

3)

Для вычитания дробей с одинаковыми знаменателями необходимо из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить тот же. В данном случае знаменатель равен $p$.

$\frac{x-bp}{p} - \frac{x+bp}{p} = \frac{(x-bp) - (x+bp)}{p}$

Раскроем скобки в числителе. Так как перед второй скобкой стоит знак минус, знаки всех членов внутри нее меняются на противоположные:

$\frac{x-bp-x-bp}{p} = \frac{(x-x) + (-bp-bp)}{p} = \frac{-2bp}{p}$

Сократим полученную дробь на общий множитель $p$:

$\frac{-2bp}{p} = -2b$

Ответ: $-2b$

4)

Действуем аналогично предыдущему примеру. Знаменатели дробей одинаковы и равны $q$. Вычитаем числители.

$\frac{c+qy}{q} - \frac{c-2qy}{q} = \frac{(c+qy) - (c-2qy)}{q}$

Раскрываем скобки в числителе, не забывая изменить знаки у вычитаемого выражения:

$\frac{c+qy-c+2qy}{q} = \frac{(c-c) + (qy+2qy)}{q} = \frac{3qy}{q}$

Сократим дробь на общий множитель $q$:

$\frac{3qy}{q} = 3y$

Ответ: $3y$

6.33. 1) $\frac{ax-y}{a+b} + \frac{y+bx}{a+b};$

2) $\frac{n+mx}{m+3} - \frac{n-3x}{m+3};$

3) $\frac{px-3q}{x-y} + \frac{py-3q}{y-x}.$

4) $\frac{2cx+b}{2c-3} + \frac{3x+b}{3-2c}.$

1) Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним.
$\frac{ax-y}{a+b} + \frac{y+bx}{a+b} = \frac{(ax-y) + (y+bx)}{a+b}$
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$\frac{ax-y+y+bx}{a+b} = \frac{ax+bx}{a+b}$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки в числителе:
$\frac{x(a+b)}{a+b}$
Сократим дробь на общий множитель $(a+b)$:
$\frac{x(a+b)}{a+b} = x$
Ответ: $x$

2) Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить прежним.
$\frac{n+mx}{m+3} - \frac{n-3x}{m+3} = \frac{(n+mx) - (n-3x)}{m+3}$
Раскроем скобки в числителе, учитывая знак минус перед второй скобкой:
$\frac{n+mx-n+3x}{m+3} = \frac{mx+3x}{m+3}$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки в числителе:
$\frac{x(m+3)}{m+3}$
Сократим дробь на общий множитель $(m+3)$:
$\frac{x(m+3)}{m+3} = x$
Ответ: $x$

3) Знаменатели дробей $x-y$ и $y-x$ являются противоположными выражениями, так как $y-x = -(x-y)$. Приведем вторую дробь к знаменателю $x-y$, изменив знак перед дробью на противоположный.
$\frac{px-3q}{x-y} + \frac{py-3q}{y-x} = \frac{px-3q}{x-y} - \frac{py-3q}{x-y}$
Теперь, когда знаменатели одинаковы, выполним вычитание числителей:
$\frac{(px-3q) - (py-3q)}{x-y} = \frac{px-3q-py+3q}{x-y}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{px-py}{x-y}$
Вынесем общий множитель $p$ за скобки в числителе:
$\frac{p(x-y)}{x-y}$
Сократим дробь на общий множитель $(x-y)$:
$\frac{p(x-y)}{x-y} = p$
Ответ: $p$

4) Знаменатели дробей $2c-3$ и $3-2c$ являются противоположными выражениями, так как $3-2c = -(2c-3)$. Приведем вторую дробь к знаменателю $2c-3$, изменив знак перед дробью на противоположный.
$\frac{2cx+b}{2c-3} + \frac{3x+b}{3-2c} = \frac{2cx+b}{2c-3} - \frac{3x+b}{2c-3}$
Теперь, когда знаменатели одинаковы, выполним вычитание числителей:
$\frac{(2cx+b) - (3x+b)}{2c-3} = \frac{2cx+b-3x-b}{2c-3}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{2cx-3x}{2c-3}$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки в числителе:
$\frac{x(2c-3)}{2c-3}$
Сократим дробь на общий множитель $(2c-3)$:
$\frac{x(2c-3)}{2c-3} = x$
Ответ: $x$

6.34. 1) $\frac{a}{x-1} + \frac{b}{1-x}$;

2) $\frac{2x}{a-b} - \frac{x}{b-a}$;

3) $\frac{x}{2m-n} + \frac{y}{n-2m}$;

4) $\frac{5b^2}{x-2} - \frac{2b^2}{2-x}$;

1) Чтобы выполнить сложение дробей $\frac{a}{x-1} + \frac{b}{1-x}$, необходимо привести их к общему знаменателю. Знаменатели дробей отличаются только знаком: $1-x = -(x-1)$.
Преобразуем вторую дробь, вынеся знак минус из знаменателя перед дробью:
$\frac{a}{x-1} + \frac{b}{1-x} = \frac{a}{x-1} + \frac{b}{-(x-1)} = \frac{a}{x-1} - \frac{b}{x-1}$
Теперь, когда у дробей одинаковый знаменатель, выполним вычитание их числителей:
$\frac{a-b}{x-1}$
Ответ: $\frac{a-b}{x-1}$.

2) Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{2x}{a-b} - \frac{x}{b-a}$, приведем их к общему знаменателю. Заметим, что знаменатели $a-b$ и $b-a$ являются противоположными выражениями, то есть $b-a = -(a-b)$.
Преобразуем вторую дробь:
$\frac{2x}{a-b} - \frac{x}{b-a} = \frac{2x}{a-b} - \frac{x}{-(a-b)}$
Вынесение минуса из знаменателя меняет знак перед дробью на противоположный:
$\frac{2x}{a-b} + \frac{x}{a-b}$
Теперь сложим числители дробей с одинаковым знаменателем:
$\frac{2x+x}{a-b} = \frac{3x}{a-b}$
Ответ: $\frac{3x}{a-b}$.

3) Чтобы сложить дроби $\frac{x}{2m-n} + \frac{y}{n-2m}$, приведем их к общему знаменателю. Знаменатель второй дроби $n-2m$ можно записать как $-(2m-n)$.
Преобразуем выражение:
$\frac{x}{2m-n} + \frac{y}{n-2m} = \frac{x}{2m-n} + \frac{y}{-(2m-n)} = \frac{x}{2m-n} - \frac{y}{2m-n}$
Выполним вычитание дробей с одинаковым знаменателем:
$\frac{x-y}{2m-n}$
Ответ: $\frac{x-y}{2m-n}$.

4) Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{5b^2}{x-2} - \frac{2b^2}{2-x}$, приведем их к общему знаменателю. Знаменатель второй дроби $2-x$ равен $-(x-2)$.
Преобразуем вторую дробь, изменив знак в знаменателе и знак перед дробью:
$\frac{5b^2}{x-2} - \frac{2b^2}{2-x} = \frac{5b^2}{x-2} - \frac{2b^2}{-(x-2)} = \frac{5b^2}{x-2} + \frac{2b^2}{x-2}$
Теперь сложим числители, так как знаменатели одинаковы:
$\frac{5b^2+2b^2}{x-2} = \frac{7b^2}{x-2}$
Ответ: $\frac{7b^2}{x-2}$.

6.35. 1) $\frac{a}{x^2-1} - \frac{b}{1-x^2}$;

2) $\frac{c+d}{c^2-b^2} + \frac{c-d}{b^2-c^2}$;

3) $\frac{a}{x-y} - \frac{b}{y-x} + \frac{c}{x-y}$;

4) $\frac{x+1}{a-b} - \frac{x+2}{b-a} - \frac{x-1}{a-b}$.

1) $\frac{a}{x^2-1} - \frac{b}{1-x^2}$

Для того чтобы выполнить вычитание дробей, их необходимо привести к общему знаменателю. Заметим, что знаменатели отличаются только знаком: $1-x^2 = -(x^2-1)$.

Воспользуемся этим свойством, чтобы преобразовать вторую дробь. Вынесем знак минус из знаменателя второй дроби и поставим его перед дробью:

$\frac{a}{x^2-1} - \frac{b}{-(x^2-1)} = \frac{a}{x^2-1} + \frac{b}{x^2-1}$

Теперь, когда у дробей одинаковые знаменатели, мы можем сложить их числители:

$\frac{a+b}{x^2-1}$

Ответ: $\frac{a+b}{x^2-1}$

2) $\frac{c+d}{c^2-b^2} + \frac{c-d}{b^2-c^2}$

Знаменатели дробей $c^2-b^2$ и $b^2-c^2$ противоположны по знаку: $b^2-c^2 = -(c^2-b^2)$. Приведем дроби к общему знаменателю $c^2-b^2$.

$\frac{c+d}{c^2-b^2} + \frac{c-d}{-(c^2-b^2)} = \frac{c+d}{c^2-b^2} - \frac{c-d}{c^2-b^2}$

Теперь выполним вычитание дробей с одинаковым знаменателем, вычитая их числители:

$\frac{(c+d)-(c-d)}{c^2-b^2} = \frac{c+d-c+d}{c^2-b^2} = \frac{2d}{c^2-b^2}$

Ответ: $\frac{2d}{c^2-b^2}$

3) $\frac{a}{x-y} - \frac{b}{y-x} + \frac{c}{x-y}$

Приведем все дроби к общему знаменателю $x-y$. Знаменатель второй дроби $y-x$ можно представить как $-(x-y)$.

$\frac{a}{x-y} - \frac{b}{-(x-y)} + \frac{c}{x-y} = \frac{a}{x-y} + \frac{b}{x-y} + \frac{c}{x-y}$

Сложим дроби с одинаковыми знаменателями:

$\frac{a+b+c}{x-y}$

Ответ: $\frac{a+b+c}{x-y}$

4) $\frac{x+1}{a-b} - \frac{x+2}{b-a} - \frac{x-1}{a-b}$

Общий знаменатель для первой и третьей дроби уже есть: $a-b$. Преобразуем вторую дробь, используя тождество $b-a = -(a-b)$.

$\frac{x+1}{a-b} - \frac{x+2}{-(a-b)} - \frac{x-1}{a-b} = \frac{x+1}{a-b} + \frac{x+2}{a-b} - \frac{x-1}{a-b}$

Теперь, когда у всех дробей одинаковый знаменатель, объединим их числители в один:

$\frac{(x+1) + (x+2) - (x-1)}{a-b}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{x+1+x+2-x+1}{a-b} = \frac{(x+x-x) + (1+2+1)}{a-b} = \frac{x+4}{a-b}$

Ответ: $\frac{x+4}{a-b}$

6.36. 1) $ \frac{1}{4x} + \frac{1}{2y} $;

2) $ \frac{5}{3a} - \frac{2}{9b} $;

3) $ \frac{a}{6m} + \frac{b}{8n} $;

4) $ \frac{x}{12a} - \frac{y}{18b} $.

1) Чтобы сложить дроби $\frac{1}{4x}$ и $\frac{1}{2y}$, их нужно привести к общему знаменателю. Знаменатели $4x$ и $2y$ не имеют общих переменных. Наименьшее общее кратное (НОК) для коэффициентов 4 и 2 равно 4. Таким образом, наименьший общий знаменатель (НОЗ) для дробей будет $4xy$.

Найдем дополнительные множители для каждой дроби:

• Для первой дроби $\frac{1}{4x}$: $\frac{4xy}{4x} = y$.
• Для второй дроби $\frac{1}{2y}$: $\frac{4xy}{2y} = 2x$.

Теперь умножим числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель и выполним сложение:

$\frac{1}{4x} + \frac{1}{2y} = \frac{1 \cdot y}{4x \cdot y} + \frac{1 \cdot 2x}{2y \cdot 2x} = \frac{y}{4xy} + \frac{2x}{4xy} = \frac{y + 2x}{4xy}$.

Для стандартной записи расположим слагаемые в числителе в алфавитном порядке.

Ответ: $\frac{2x+y}{4xy}$

2) Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{5}{3a} - \frac{2}{9b}$, приведем их к общему знаменателю. НОК для коэффициентов 3 и 9 равно 9. Общий знаменатель для переменных $a$ и $b$ будет $ab$. Таким образом, НОЗ равен $9ab$.

Найдем дополнительные множители:

• Для первой дроби $\frac{5}{3a}$: $\frac{9ab}{3a} = 3b$.
• Для второй дроби $\frac{2}{9b}$: $\frac{9ab}{9b} = a$.

Умножим числители на соответствующие множители и выполним вычитание:

$\frac{5}{3a} - \frac{2}{9b} = \frac{5 \cdot 3b}{3a \cdot 3b} - \frac{2 \cdot a}{9b \cdot a} = \frac{15b}{9ab} - \frac{2a}{9ab} = \frac{15b - 2a}{9ab}$.

Ответ: $\frac{15b-2a}{9ab}$

3) Для сложения дробей $\frac{a}{6m} + \frac{b}{8n}$ необходимо найти их общий знаменатель. Найдем НОК для коэффициентов 6 и 8. Разложим их на простые множители: $6 = 2 \cdot 3$, $8 = 2^3$. НОК(6, 8) = $2^3 \cdot 3 = 24$. Общий знаменатель для переменных $m$ и $n$ будет $mn$. Таким образом, НОЗ равен $24mn$.

Найдем дополнительные множители:

• Для первой дроби $\frac{a}{6m}$: $\frac{24mn}{6m} = 4n$.
• Для второй дроби $\frac{b}{8n}$: $\frac{24mn}{8n} = 3m$.

Приведем дроби к общему знаменателю и сложим их:

$\frac{a}{6m} + \frac{b}{8n} = \frac{a \cdot 4n}{6m \cdot 4n} + \frac{b \cdot 3m}{8n \cdot 3m} = \frac{4an}{24mn} + \frac{3bm}{24mn} = \frac{4an + 3bm}{24mn}$.

Ответ: $\frac{4an+3bm}{24mn}$

4) Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{x}{12a} - \frac{y}{18b}$, найдем их общий знаменатель. Найдем НОК для коэффициентов 12 и 18. Разложим их на простые множители: $12 = 2^2 \cdot 3$, $18 = 2 \cdot 3^2$. НОК(12, 18) = $2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$. Общий знаменатель для переменных $a$ и $b$ будет $ab$. Таким образом, НОЗ равен $36ab$.

Найдем дополнительные множители:

• Для первой дроби $\frac{x}{12a}$: $\frac{36ab}{12a} = 3b$.
• Для второй дроби $\frac{y}{18b}$: $\frac{36ab}{18b} = 2a$.

Приведем дроби к общему знаменателю и выполним вычитание:

$\frac{x}{12a} - \frac{y}{18b} = \frac{x \cdot 3b}{12a \cdot 3b} - \frac{y \cdot 2a}{18b \cdot 2a} = \frac{3xb}{36ab} - \frac{2ya}{36ab} = \frac{3xb - 2ya}{36ab}$.

Для стандартной записи расположим переменные в одночленах в алфавитном порядке.

Ответ: $\frac{3bx-2ay}{36ab}$

6.37. 1) $\frac{x}{ab} + \frac{x}{ac}$;

2) $\frac{a}{xy} - \frac{b}{xz}$;

3) $\frac{2m}{ax} + \frac{3n}{bx}$;

4) $\frac{5a}{mn} - \frac{3b}{mp}$.

1) Для решения выражения $\frac{x}{ab} + \frac{x}{ac}$ необходимо привести дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для знаменателей $ab$ и $ac$ равен $abc$. Дополнительный множитель для первой дроби — $c$, а для второй — $b$. Умножаем числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель: $\frac{x \cdot c}{ab \cdot c} + \frac{x \cdot b}{ac \cdot b} = \frac{xc}{abc} + \frac{xb}{abc}$. Теперь, когда знаменатели одинаковы, складываем числители: $\frac{xc + xb}{abc}$. В числителе можно вынести общий множитель $x$ за скобки для упрощения вида: $\frac{x(c+b)}{abc}$. Ответ: $\frac{x(b+c)}{abc}$

2) Для решения выражения $\frac{a}{xy} - \frac{b}{xz}$ найдем наименьший общий знаменатель. НОЗ для знаменателей $xy$ и $xz$ равен $xyz$. Дополнительный множитель для первой дроби — $z$, а для второй — $y$. Приводим дроби к общему знаменателю: $\frac{a \cdot z}{xy \cdot z} - \frac{b \cdot y}{xz \cdot y} = \frac{az}{xyz} - \frac{by}{xyz}$. Выполняем вычитание числителей, так как знаменатели теперь одинаковы: $\frac{az - by}{xyz}$. Дальнейшее упрощение невозможно. Ответ: $\frac{az - by}{xyz}$

3) В выражении $\frac{2m}{ax} + \frac{3n}{bx}$ общим знаменателем для $ax$ и $bx$ является $abx$. Дополнительный множитель для первой дроби — $b$, а для второй — $a$. Умножаем числители на их дополнительные множители и приводим дроби к общему знаменателю: $\frac{2m \cdot b}{ax \cdot b} + \frac{3n \cdot a}{bx \cdot a} = \frac{2mb}{abx} + \frac{3na}{abx}$. Складываем числители полученных дробей: $\frac{2mb + 3na}{abx}$. Ответ: $\frac{2mb + 3na}{abx}$

4) В выражении $\frac{5a}{mn} - \frac{3b}{mp}$ общим знаменателем для $mn$ и $mp$ является $mnp$. Дополнительный множитель для первой дроби — $p$, а для второй — $n$. Умножаем числители на их дополнительные множители и приводим дроби к общему знаменателю: $\frac{5a \cdot p}{mn \cdot p} - \frac{3b \cdot n}{mp \cdot n} = \frac{5ap}{mnp} - \frac{3bn}{mnp}$. Выполняем вычитание числителей: $\frac{5ap - 3bn}{mnp}$. Ответ: $\frac{5ap - 3bn}{mnp}$

6.38. 1) $\frac{2x - 3y}{x} + \frac{4x^2 - 5y^2}{xy}$;

2) $\frac{5a^2 - b^2}{ab} - \frac{3a - 2b}{b}$;

3) $\frac{2b^2 + 3ax}{bx} - \frac{ab + 5bx}{ax}$;

4) $\frac{3p^2 + 5mn}{mp} + \frac{n^2 - 3mp}{np}$.

1) $\frac{2x - 3y}{x} + \frac{4x^2 - 5y^2}{xy}$

Чтобы сложить дроби, их нужно привести к общему знаменателю. Знаменатели дробей — $x$ и $xy$. Наименьший общий знаменатель для них — $xy$.

Домножим числитель и знаменатель первой дроби на дополнительный множитель $y$:

$\frac{(2x - 3y) \cdot y}{x \cdot y} + \frac{4x^2 - 5y^2}{xy} = \frac{2xy - 3y^2}{xy} + \frac{4x^2 - 5y^2}{xy}$

Теперь, когда знаменатели одинаковы, сложим числители:

$\frac{(2xy - 3y^2) + (4x^2 - 5y^2)}{xy} = \frac{2xy - 3y^2 + 4x^2 - 5y^2}{xy}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{4x^2 + 2xy - 8y^2}{xy}$

Ответ: $\frac{4x^2 + 2xy - 8y^2}{xy}$

2) $\frac{5a^2 - b^2}{ab} - \frac{3a - 2b}{b}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Знаменатели дробей — $ab$ и $b$. Наименьший общий знаменатель — $ab$.

Домножим числитель и знаменатель второй дроби на дополнительный множитель $a$:

$\frac{5a^2 - b^2}{ab} - \frac{(3a - 2b) \cdot a}{b \cdot a} = \frac{5a^2 - b^2}{ab} - \frac{3a^2 - 2ab}{ab}$

Вычтем из числителя первой дроби числитель второй. Важно учесть знак минус перед второй дробью, который изменит знаки в ее числителе:

$\frac{5a^2 - b^2 - (3a^2 - 2ab)}{ab} = \frac{5a^2 - b^2 - 3a^2 + 2ab}{ab}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{2a^2 + 2ab - b^2}{ab}$

Ответ: $\frac{2a^2 + 2ab - b^2}{ab}$

3) $\frac{2b^2 + 3ax}{bx} - \frac{ab + 5bx}{ax}$

Найдем общий знаменатель для дробей со знаменателями $bx$ и $ax$. Наименьший общий знаменатель — $abx$.

Дополнительный множитель для первой дроби — $a$, для второй — $b$. Домножим числители на соответствующие множители:

$\frac{(2b^2 + 3ax) \cdot a}{abx} - \frac{(ab + 5bx) \cdot b}{abx} = \frac{2ab^2 + 3a^2x}{abx} - \frac{ab^2 + 5b^2x}{abx}$

Произведем вычитание числителей:

$\frac{2ab^2 + 3a^2x - (ab^2 + 5b^2x)}{abx} = \frac{2ab^2 + 3a^2x - ab^2 - 5b^2x}{abx}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{ab^2 + 3a^2x - 5b^2x}{abx}$

Ответ: $\frac{ab^2 + 3a^2x - 5b^2x}{abx}$

4) $\frac{3p^2 + 5mn}{mp} + \frac{n^2 - 3mp}{np}$

Общий знаменатель для дробей со знаменателями $mp$ и $np$ — это $mnp$.

Дополнительный множитель для первой дроби — $n$, для второй — $m$.

$\frac{(3p^2 + 5mn) \cdot n}{mnp} + \frac{(n^2 - 3mp) \cdot m}{mnp} = \frac{3np^2 + 5mn^2}{mnp} + \frac{mn^2 - 3m^2p}{mnp}$

Сложим числители:

$\frac{3np^2 + 5mn^2 + mn^2 - 3m^2p}{mnp}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{3np^2 + 6mn^2 - 3m^2p}{mnp}$

Ответ: $\frac{3np^2 + 6mn^2 - 3m^2p}{mnp}$

6.39. 1) $\frac{2a}{x^2} - \frac{3}{x}$;2) $\frac{5x}{a^2} - \frac{2y}{a^3}$;3) $\frac{1}{m^4 n^3} + \frac{2}{m^3 n^4}$;4) $\frac{3}{x^3 y^3} - \frac{4}{x^4 y^2}$.

1) Чтобы выполнить вычитание дробей $ \frac{2a}{x^2} - \frac{3}{x} $, их нужно привести к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $x^2$ и $x$ это $x^2$.

Первая дробь $ \frac{2a}{x^2} $ уже имеет нужный знаменатель.

Для второй дроби $ \frac{3}{x} $ дополнительным множителем будет $x$. Умножим ее числитель и знаменатель на $x$:

$ \frac{3}{x} = \frac{3 \cdot x}{x \cdot x} = \frac{3x}{x^2} $

Теперь можно выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$ \frac{2a}{x^2} - \frac{3x}{x^2} = \frac{2a - 3x}{x^2} $

Ответ: $ \frac{2a - 3x}{x^2} $

2) Рассмотрим выражение $ \frac{5x}{a^2} - \frac{2y}{a^3} $. Чтобы выполнить вычитание, приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $a^2$ и $a^3$ это $a^3$.

Для первой дроби $ \frac{5x}{a^2} $ дополнительным множителем является $a$. Умножим ее числитель и знаменатель на $a$:

$ \frac{5x}{a^2} = \frac{5x \cdot a}{a^2 \cdot a} = \frac{5ax}{a^3} $

Вторая дробь $ \frac{2y}{a^3} $ уже имеет нужный знаменатель.

Выполним вычитание:

$ \frac{5ax}{a^3} - \frac{2y}{a^3} = \frac{5ax - 2y}{a^3} $

Ответ: $ \frac{5ax - 2y}{a^3} $

3) Рассмотрим сумму $ \frac{1}{m^4n^3} + \frac{2}{m^3n^4} $. Найдем наименьший общий знаменатель. Для этого берем каждую переменную в наивысшей степени, встречающейся в знаменателях. Общий знаменатель будет $m^4n^4$.

Дополнительный множитель для первой дроби $ \frac{1}{m^4n^3} $ это $n$.

$ \frac{1 \cdot n}{m^4n^3 \cdot n} = \frac{n}{m^4n^4} $

Дополнительный множитель для второй дроби $ \frac{2}{m^3n^4} $ это $m$.

$ \frac{2 \cdot m}{m^3n^4 \cdot m} = \frac{2m}{m^4n^4} $

Теперь сложим дроби:

$ \frac{n}{m^4n^4} + \frac{2m}{m^4n^4} = \frac{n + 2m}{m^4n^4} $

Ответ: $ \frac{2m + n}{m^4n^4} $

4) Рассмотрим разность $ \frac{3}{x^3y^3} - \frac{4}{x^4y^2} $. Найдем наименьший общий знаменатель. Берем каждую переменную в наивысшей степени: $x^4$ и $y^3$. Общий знаменатель — $x^4y^3$.

Дополнительный множитель для первой дроби $ \frac{3}{x^3y^3} $ это $x$.

$ \frac{3 \cdot x}{x^3y^3 \cdot x} = \frac{3x}{x^4y^3} $

Дополнительный множитель для второй дроби $ \frac{4}{x^4y^2} $ это $y$.

$ \frac{4 \cdot y}{x^4y^2 \cdot y} = \frac{4y}{x^4y^3} $

Теперь выполним вычитание:

$ \frac{3x}{x^4y^3} - \frac{4y}{x^4y^3} = \frac{3x - 4y}{x^4y^3} $

Ответ: $ \frac{3x - 4y}{x^4y^3} $