Номер 6.35, страница 175 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.35. 1) $\frac{a}{x^2-1} - \frac{b}{1-x^2}$;

2) $\frac{c+d}{c^2-b^2} + \frac{c-d}{b^2-c^2}$;

3) $\frac{a}{x-y} - \frac{b}{y-x} + \frac{c}{x-y}$;

4) $\frac{x+1}{a-b} - \frac{x+2}{b-a} - \frac{x-1}{a-b}$.

1) $\frac{a}{x^2-1} - \frac{b}{1-x^2}$

Для того чтобы выполнить вычитание дробей, их необходимо привести к общему знаменателю. Заметим, что знаменатели отличаются только знаком: $1-x^2 = -(x^2-1)$.

Воспользуемся этим свойством, чтобы преобразовать вторую дробь. Вынесем знак минус из знаменателя второй дроби и поставим его перед дробью:

$\frac{a}{x^2-1} - \frac{b}{-(x^2-1)} = \frac{a}{x^2-1} + \frac{b}{x^2-1}$

Теперь, когда у дробей одинаковые знаменатели, мы можем сложить их числители:

$\frac{a+b}{x^2-1}$

Ответ: $\frac{a+b}{x^2-1}$

2) $\frac{c+d}{c^2-b^2} + \frac{c-d}{b^2-c^2}$

Знаменатели дробей $c^2-b^2$ и $b^2-c^2$ противоположны по знаку: $b^2-c^2 = -(c^2-b^2)$. Приведем дроби к общему знаменателю $c^2-b^2$.

$\frac{c+d}{c^2-b^2} + \frac{c-d}{-(c^2-b^2)} = \frac{c+d}{c^2-b^2} - \frac{c-d}{c^2-b^2}$

Теперь выполним вычитание дробей с одинаковым знаменателем, вычитая их числители:

$\frac{(c+d)-(c-d)}{c^2-b^2} = \frac{c+d-c+d}{c^2-b^2} = \frac{2d}{c^2-b^2}$

Ответ: $\frac{2d}{c^2-b^2}$

3) $\frac{a}{x-y} - \frac{b}{y-x} + \frac{c}{x-y}$

Приведем все дроби к общему знаменателю $x-y$. Знаменатель второй дроби $y-x$ можно представить как $-(x-y)$.

$\frac{a}{x-y} - \frac{b}{-(x-y)} + \frac{c}{x-y} = \frac{a}{x-y} + \frac{b}{x-y} + \frac{c}{x-y}$

Сложим дроби с одинаковыми знаменателями:

$\frac{a+b+c}{x-y}$

Ответ: $\frac{a+b+c}{x-y}$

4) $\frac{x+1}{a-b} - \frac{x+2}{b-a} - \frac{x-1}{a-b}$

Общий знаменатель для первой и третьей дроби уже есть: $a-b$. Преобразуем вторую дробь, используя тождество $b-a = -(a-b)$.

$\frac{x+1}{a-b} - \frac{x+2}{-(a-b)} - \frac{x-1}{a-b} = \frac{x+1}{a-b} + \frac{x+2}{a-b} - \frac{x-1}{a-b}$

Теперь, когда у всех дробей одинаковый знаменатель, объединим их числители в один:

$\frac{(x+1) + (x+2) - (x-1)}{a-b}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{x+1+x+2-x+1}{a-b} = \frac{(x+x-x) + (1+2+1)}{a-b} = \frac{x+4}{a-b}$

Ответ: $\frac{x+4}{a-b}$