Номер 6.36, страница 175 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.36. 1) $ \frac{1}{4x} + \frac{1}{2y} $;

2) $ \frac{5}{3a} - \frac{2}{9b} $;

3) $ \frac{a}{6m} + \frac{b}{8n} $;

4) $ \frac{x}{12a} - \frac{y}{18b} $.

1) Чтобы сложить дроби $\frac{1}{4x}$ и $\frac{1}{2y}$, их нужно привести к общему знаменателю. Знаменатели $4x$ и $2y$ не имеют общих переменных. Наименьшее общее кратное (НОК) для коэффициентов 4 и 2 равно 4. Таким образом, наименьший общий знаменатель (НОЗ) для дробей будет $4xy$.

Найдем дополнительные множители для каждой дроби:

• Для первой дроби $\frac{1}{4x}$: $\frac{4xy}{4x} = y$.
• Для второй дроби $\frac{1}{2y}$: $\frac{4xy}{2y} = 2x$.

Теперь умножим числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель и выполним сложение:

$\frac{1}{4x} + \frac{1}{2y} = \frac{1 \cdot y}{4x \cdot y} + \frac{1 \cdot 2x}{2y \cdot 2x} = \frac{y}{4xy} + \frac{2x}{4xy} = \frac{y + 2x}{4xy}$.

Для стандартной записи расположим слагаемые в числителе в алфавитном порядке.

Ответ: $\frac{2x+y}{4xy}$

2) Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{5}{3a} - \frac{2}{9b}$, приведем их к общему знаменателю. НОК для коэффициентов 3 и 9 равно 9. Общий знаменатель для переменных $a$ и $b$ будет $ab$. Таким образом, НОЗ равен $9ab$.

Найдем дополнительные множители:

• Для первой дроби $\frac{5}{3a}$: $\frac{9ab}{3a} = 3b$.
• Для второй дроби $\frac{2}{9b}$: $\frac{9ab}{9b} = a$.

Умножим числители на соответствующие множители и выполним вычитание:

$\frac{5}{3a} - \frac{2}{9b} = \frac{5 \cdot 3b}{3a \cdot 3b} - \frac{2 \cdot a}{9b \cdot a} = \frac{15b}{9ab} - \frac{2a}{9ab} = \frac{15b - 2a}{9ab}$.

Ответ: $\frac{15b-2a}{9ab}$

3) Для сложения дробей $\frac{a}{6m} + \frac{b}{8n}$ необходимо найти их общий знаменатель. Найдем НОК для коэффициентов 6 и 8. Разложим их на простые множители: $6 = 2 \cdot 3$, $8 = 2^3$. НОК(6, 8) = $2^3 \cdot 3 = 24$. Общий знаменатель для переменных $m$ и $n$ будет $mn$. Таким образом, НОЗ равен $24mn$.

Найдем дополнительные множители:

• Для первой дроби $\frac{a}{6m}$: $\frac{24mn}{6m} = 4n$.
• Для второй дроби $\frac{b}{8n}$: $\frac{24mn}{8n} = 3m$.

Приведем дроби к общему знаменателю и сложим их:

$\frac{a}{6m} + \frac{b}{8n} = \frac{a \cdot 4n}{6m \cdot 4n} + \frac{b \cdot 3m}{8n \cdot 3m} = \frac{4an}{24mn} + \frac{3bm}{24mn} = \frac{4an + 3bm}{24mn}$.

Ответ: $\frac{4an+3bm}{24mn}$

4) Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{x}{12a} - \frac{y}{18b}$, найдем их общий знаменатель. Найдем НОК для коэффициентов 12 и 18. Разложим их на простые множители: $12 = 2^2 \cdot 3$, $18 = 2 \cdot 3^2$. НОК(12, 18) = $2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$. Общий знаменатель для переменных $a$ и $b$ будет $ab$. Таким образом, НОЗ равен $36ab$.

Найдем дополнительные множители:

• Для первой дроби $\frac{x}{12a}$: $\frac{36ab}{12a} = 3b$.
• Для второй дроби $\frac{y}{18b}$: $\frac{36ab}{18b} = 2a$.

Приведем дроби к общему знаменателю и выполним вычитание:

$\frac{x}{12a} - \frac{y}{18b} = \frac{x \cdot 3b}{12a \cdot 3b} - \frac{y \cdot 2a}{18b \cdot 2a} = \frac{3xb}{36ab} - \frac{2ya}{36ab} = \frac{3xb - 2ya}{36ab}$.

Для стандартной записи расположим переменные в одночленах в алфавитном порядке.

Ответ: $\frac{3bx-2ay}{36ab}$