Номер 6.43, страница 176 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.43. Упростите выражение:

1) $ \frac{2a - 3b}{a^2b} - \frac{4a - 5b}{ab^2}; $

2) $ \frac{5x^2 - 3y}{x^2y} + \frac{6x - 2y^2}{x^2y^2}; $

3) $ \frac{5(2a - b)}{8} - \frac{3(a - 4b)}{2} + \frac{7(a - b)}{6}; $

4) $ \frac{(x + y)^2}{6} + \frac{(x - y)^2}{12} - \frac{x^2 - y^2}{4}. $

1) Чтобы упростить выражение, приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для $a^2b$ и $ab^2$ — это $a^2b^2$. Дополнительный множитель для первой дроби — $b$, а для второй — $a$.
$ \frac{2a-3b}{a^2b} - \frac{4a-5b}{ab^2} = \frac{b(2a-3b)}{a^2b^2} - \frac{a(4a-5b)}{a^2b^2} = \frac{b(2a-3b) - a(4a-5b)}{a^2b^2} $
Теперь раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$ \frac{2ab - 3b^2 - (4a^2 - 5ab)}{a^2b^2} = \frac{2ab - 3b^2 - 4a^2 + 5ab}{a^2b^2} = \frac{(2ab+5ab) - 4a^2 - 3b^2}{a^2b^2} = \frac{7ab - 4a^2 - 3b^2}{a^2b^2} $
Ответ: $ \frac{7ab - 4a^2 - 3b^2}{a^2b^2} $

2) Для сложения дробей приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для $x^2y$ и $x^2y^2$ — это $x^2y^2$. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $y$.
$ \frac{5x^2-3y}{x^2y} + \frac{6x-2y^2}{x^2y^2} = \frac{y(5x^2-3y)}{x^2y^2} + \frac{6x-2y^2}{x^2y^2} = \frac{y(5x^2-3y) + 6x - 2y^2}{x^2y^2} $
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$ \frac{5x^2y - 3y^2 + 6x - 2y^2}{x^2y^2} = \frac{5x^2y + 6x - 5y^2}{x^2y^2} $
Ответ: $ \frac{5x^2y + 6x - 5y^2}{x^2y^2} $

3) Найдем общий знаменатель для чисел 8, 2 и 6. Наименьшее общее кратное (НОК) для этих чисел равно 24. Домножим каждую дробь на соответствующий дополнительный множитель: первую на $24/8=3$, вторую на $24/2=12$, третью на $24/6=4$.
$ \frac{5(2a-b)}{8} - \frac{3(a-4b)}{2} + \frac{7(a-b)}{6} = \frac{3 \cdot 5(2a-b)}{24} - \frac{12 \cdot 3(a-4b)}{24} + \frac{4 \cdot 7(a-b)}{24} $
$ = \frac{15(2a-b) - 36(a-4b) + 28(a-b)}{24} $
Раскроем скобки в числителе:
$ \frac{30a - 15b - (36a - 144b) + 28a - 28b}{24} = \frac{30a - 15b - 36a + 144b + 28a - 28b}{24} $
Приведем подобные слагаемые для $a$ и $b$:
$ \frac{(30a - 36a + 28a) + (-15b + 144b - 28b)}{24} = \frac{22a + 101b}{24} $
Ответ: $ \frac{22a + 101b}{24} $

4) Найдем общий знаменатель для чисел 6, 12 и 4. НОК(6, 12, 4) = 12. Домножим первую дробь на $12/6=2$, вторую на $12/12=1$, третью на $12/4=3$.
$ \frac{(x+y)^2}{6} + \frac{(x-y)^2}{12} - \frac{x^2-y^2}{4} = \frac{2(x+y)^2}{12} + \frac{1 \cdot (x-y)^2}{12} - \frac{3(x^2-y^2)}{12} $
Объединим числители под общим знаменателем:
$ \frac{2(x+y)^2 + (x-y)^2 - 3(x^2-y^2)}{12} $
Используем формулы сокращенного умножения для раскрытия скобок: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ и $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.
$ \frac{2(x^2+2xy+y^2) + (x^2-2xy+y^2) - 3(x^2-y^2)}{12} $
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$ \frac{2x^2+4xy+2y^2 + x^2-2xy+y^2 - 3x^2+3y^2}{12} = \frac{(2x^2+x^2-3x^2) + (4xy-2xy) + (2y^2+y^2+3y^2)}{12} $
$ = \frac{0 \cdot x^2 + 2xy + 6y^2}{12} = \frac{2xy+6y^2}{12} $
Вынесем общий множитель $2y$ в числителе и сократим дробь:
$ \frac{2y(x+3y)}{12} = \frac{y(x+3y)}{6} $
Ответ: $ \frac{y(x+3y)}{6} $