Номер 6.47, страница 177 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 6.47–6.56 выполните указанные действия.

6.47. 1) $\frac{3}{x+y} - \frac{5}{x}$;

2) $\frac{4}{a-b} + \frac{1}{a}$;

3) $\frac{6}{m-1} - \frac{2}{m}$;

4) $\frac{1}{b+2} - \frac{3}{b}$.

1)

Чтобы выполнить вычитание дробей $ \frac{3}{x+y} - \frac{5}{x} $, необходимо привести их к общему знаменателю. Общим знаменателем для данных дробей является произведение их знаменателей, так как они не имеют общих множителей: $x(x+y)$.

Найдем дополнительные множители для каждой дроби. Для первой дроби $ \frac{3}{x+y} $ дополнительный множитель равен $x$. Для второй дроби $ \frac{5}{x} $ дополнительный множитель равен $x+y$.

Умножим числитель каждой дроби на ее дополнительный множитель:

$ \frac{3 \cdot x}{x(x+y)} - \frac{5 \cdot (x+y)}{x(x+y)} = \frac{3x}{x(x+y)} - \frac{5x+5y}{x(x+y)} $

Теперь выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, вычитая их числители:

$ \frac{3x - (5x+5y)}{x(x+y)} = \frac{3x - 5x - 5y}{x(x+y)} = \frac{-2x - 5y}{x(x+y)} $

Можно вынести знак минус за дробь:

$ -\frac{2x + 5y}{x(x+y)} $

Ответ: $ \frac{-2x - 5y}{x(x+y)} $.

2)

Чтобы выполнить сложение дробей $ \frac{4}{a-b} + \frac{1}{a} $, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель равен $a(a-b)$.

Дополнительный множитель для первой дроби — $a$, для второй — $a-b$.

Умножим числители на соответствующие дополнительные множители и сложим их:

$ \frac{4 \cdot a}{a(a-b)} + \frac{1 \cdot (a-b)}{a(a-b)} = \frac{4a + a - b}{a(a-b)} $

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{5a - b}{a(a-b)} $

Ответ: $ \frac{5a - b}{a(a-b)} $.

3)

Для вычитания дробей $ \frac{6}{m-1} - \frac{2}{m} $ найдем общий знаменатель, который равен $m(m-1)$.

Дополнительный множитель для первой дроби — $m$, для второй — $m-1$.

Выполним преобразования:

$ \frac{6 \cdot m}{m(m-1)} - \frac{2 \cdot (m-1)}{m(m-1)} = \frac{6m - (2m-2)}{m(m-1)} $

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$ \frac{6m - 2m + 2}{m(m-1)} = \frac{4m + 2}{m(m-1)} $

Можно вынести общий множитель 2 в числителе:

$ \frac{2(2m+1)}{m(m-1)} $

Ответ: $ \frac{4m+2}{m(m-1)} $.

4)

Чтобы вычесть дроби $ \frac{1}{b+2} - \frac{3}{b} $, приведем их к общему знаменателю $b(b+2)$.

Дополнительный множитель для первой дроби — $b$, для второй — $b+2$.

Умножим числители на их дополнительные множители и выполним вычитание:

$ \frac{1 \cdot b}{b(b+2)} - \frac{3 \cdot (b+2)}{b(b+2)} = \frac{b - (3b+6)}{b(b+2)} $

Раскроем скобки и упростим числитель:

$ \frac{b - 3b - 6}{b(b+2)} = \frac{-2b - 6}{b(b+2)} $

Вынесем общий множитель -2 в числителе:

$ \frac{-2(b+3)}{b(b+2)} $

Ответ: $ \frac{-2b-6}{b(b+2)} $.