Номер 6.51, страница 177 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.51. 1) $ \frac{7a}{x^2-9} + \frac{5a}{x-3} + \frac{a}{x+3} $

2) $ \frac{4}{x+2} + \frac{3}{x-2} - \frac{x+2}{x^2-4} $

3) $ \frac{a}{1-b} - \frac{a}{1+b} + \frac{a}{1-b^2} $

4) $ \frac{1}{a+2} + \frac{1}{a-2} - \frac{4}{a^2-4} $

1) Дано выражение: $\frac{7a}{x^2 - 9} + \frac{5a}{x - 3} + \frac{a}{x + 3}$.
Чтобы сложить дроби, их нужно привести к общему знаменателю. Сначала разложим знаменатель первой дроби на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$.
Таким образом, общий знаменатель для всех трех дробей будет $(x-3)(x+3)$.
Приведем дроби к этому знаменателю. Дополнительный множитель для второй дроби - $(x+3)$, для третьей - $(x-3)$. Первая дробь уже имеет нужный знаменатель.
$\frac{7a}{(x-3)(x+3)} + \frac{5a(x+3)}{(x-3)(x+3)} + \frac{a(x-3)}{(x-3)(x+3)}$
Теперь сложим числители, оставив знаменатель без изменений:
$\frac{7a + 5a(x+3) + a(x-3)}{(x-3)(x+3)}$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{7a + 5ax + 15a + ax - 3a}{(x-3)(x+3)} = \frac{(5ax+ax) + (7a+15a-3a)}{(x-3)(x+3)} = \frac{6ax + 19a}{(x-3)(x+3)}$
Вынесем общий множитель $a$ за скобки в числителе:
$\frac{a(6x+19)}{(x-3)(x+3)}$
Знаменатель можно свернуть обратно в $x^2-9$.
Ответ: $\frac{a(6x+19)}{x^2 - 9}$

2) Дано выражение: $\frac{4}{x+2} + \frac{3}{x-2} - \frac{x+2}{x^2 - 4}$.
Разложим знаменатель последней дроби на множители по формуле разности квадратов:
$x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$.
Общий знаменатель для всех дробей - $(x-2)(x+2)$.
Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби - $(x-2)$, для второй - $(x+2)$.
$\frac{4(x-2)}{(x-2)(x+2)} + \frac{3(x+2)}{(x-2)(x+2)} - \frac{x+2}{(x-2)(x+2)}$
Выполним действия с числителями:
$\frac{4(x-2) + 3(x+2) - (x+2)}{(x-2)(x+2)}$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{4x - 8 + 3x + 6 - x - 2}{(x-2)(x+2)} = \frac{(4x+3x-x) + (-8+6-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{6x - 4}{(x-2)(x+2)}$
Вынесем общий множитель 2 за скобки в числителе:
$\frac{2(3x - 2)}{(x-2)(x+2)}$
Знаменатель можно свернуть обратно в $x^2-4$.
Ответ: $\frac{2(3x - 2)}{x^2 - 4}$

3) Дано выражение: $\frac{a}{1-b} - \frac{a}{1+b} + \frac{a}{1-b^2}$.
Разложим знаменатель последней дроби на множители по формуле разности квадратов:
$1 - b^2 = (1-b)(1+b)$.
Общий знаменатель - $(1-b)(1+b)$.
Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби - $(1+b)$, для второй - $(1-b)$.
$\frac{a(1+b)}{(1-b)(1+b)} - \frac{a(1-b)}{(1-b)(1+b)} + \frac{a}{(1-b)(1+b)}$
Выполним действия с числителями:
$\frac{a(1+b) - a(1-b) + a}{(1-b)(1+b)}$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{a + ab - a + ab + a}{(1-b)(1+b)} = \frac{(a-a+a) + (ab+ab)}{(1-b)(1+b)} = \frac{a + 2ab}{(1-b)(1+b)}$
Вынесем общий множитель $a$ за скобки в числителе:
$\frac{a(1 + 2b)}{(1-b)(1+b)}$
Знаменатель можно свернуть обратно в $1-b^2$.
Ответ: $\frac{a(1+2b)}{1 - b^2}$

4) Дано выражение: $\frac{1}{a+2} + \frac{1}{a-2} - \frac{4}{a^2 - 4}$.
Разложим знаменатель последней дроби на множители по формуле разности квадратов:
$a^2 - 4 = (a-2)(a+2)$.
Общий знаменатель - $(a-2)(a+2)$.
Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби - $(a-2)$, для второй - $(a+2)$.
$\frac{1(a-2)}{(a-2)(a+2)} + \frac{1(a+2)}{(a-2)(a+2)} - \frac{4}{(a-2)(a+2)}$
Выполним действия с числителями:
$\frac{a-2 + a+2 - 4}{(a-2)(a+2)}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{(a+a) + (-2+2-4)}{(a-2)(a+2)} = \frac{2a - 4}{(a-2)(a+2)}$
Вынесем общий множитель 2 за скобки в числителе:
$\frac{2(a-2)}{(a-2)(a+2)}$
Сократим дробь на общий множитель $(a-2)$:
$\frac{2}{a+2}$
Ответ: $\frac{2}{a+2}$