Страница 177 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.46. Найдите значение выражения:

1) $ \frac{a^2 + 1}{a - 3} - \frac{10}{a - 3} $ при $ a=97; $

2) $ \frac{x + 7}{x^2 - 25} - \frac{2x + 2}{x^2 - 25} $ при $ x=-5,1. $

1) Найдем значение выражения $\frac{a^2+1}{a-3} - \frac{10}{a-3}$ при $a=97$.

Сначала упростим данное выражение. Так как знаменатели у обеих дробей одинаковы, мы можем объединить их, выполнив вычитание числителей:

$\frac{a^2+1}{a-3} - \frac{10}{a-3} = \frac{(a^2+1) - 10}{a-3} = \frac{a^2-9}{a-3}$

Теперь заметим, что числитель $a^2-9$ представляет собой разность квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$:

$a^2-9 = a^2 - 3^2 = (a-3)(a+3)$

Подставим разложенный числитель обратно в дробь:

$\frac{(a-3)(a+3)}{a-3}$

Сократим дробь на общий множитель $(a-3)$, так как $a=97 \neq 3$:

$a+3$

Теперь подставим значение $a=97$ в полученное упрощенное выражение:

$97 + 3 = 100$

Ответ: 100

2) Найдем значение выражения $\frac{x+7}{x^2-25} - \frac{2x+2}{x^2-25}$ при $x=-5,1$.

Упростим выражение. Знаменатели дробей одинаковы, поэтому выполним вычитание числителей:

$\frac{x+7}{x^2-25} - \frac{2x+2}{x^2-25} = \frac{(x+7)-(2x+2)}{x^2-25}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{x+7-2x-2}{x^2-25} = \frac{-x+5}{x^2-25}$

Разложим знаменатель на множители по формуле разности квадратов:

$x^2-25 = (x-5)(x+5)$

Вынесем в числителе $-1$ за скобки:

$-x+5 = -(x-5)$

Подставим разложенные выражения обратно в дробь:

$\frac{-(x-5)}{(x-5)(x+5)}$

Сократим дробь на общий множитель $(x-5)$, так как $x=-5,1 \neq 5$:

$\frac{-1}{x+5}$

Теперь подставим значение $x=-5,1$ в упрощенное выражение:

$\frac{-1}{-5,1+5} = \frac{-1}{-0,1} = 10$

Ответ: 10

В упражнениях 6.47–6.56 выполните указанные действия.

6.47. 1) $\frac{3}{x+y} - \frac{5}{x}$;

2) $\frac{4}{a-b} + \frac{1}{a}$;

3) $\frac{6}{m-1} - \frac{2}{m}$;

4) $\frac{1}{b+2} - \frac{3}{b}$.

1)

Чтобы выполнить вычитание дробей $ \frac{3}{x+y} - \frac{5}{x} $, необходимо привести их к общему знаменателю. Общим знаменателем для данных дробей является произведение их знаменателей, так как они не имеют общих множителей: $x(x+y)$.

Найдем дополнительные множители для каждой дроби. Для первой дроби $ \frac{3}{x+y} $ дополнительный множитель равен $x$. Для второй дроби $ \frac{5}{x} $ дополнительный множитель равен $x+y$.

Умножим числитель каждой дроби на ее дополнительный множитель:

$ \frac{3 \cdot x}{x(x+y)} - \frac{5 \cdot (x+y)}{x(x+y)} = \frac{3x}{x(x+y)} - \frac{5x+5y}{x(x+y)} $

Теперь выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, вычитая их числители:

$ \frac{3x - (5x+5y)}{x(x+y)} = \frac{3x - 5x - 5y}{x(x+y)} = \frac{-2x - 5y}{x(x+y)} $

Можно вынести знак минус за дробь:

$ -\frac{2x + 5y}{x(x+y)} $

Ответ: $ \frac{-2x - 5y}{x(x+y)} $.

2)

Чтобы выполнить сложение дробей $ \frac{4}{a-b} + \frac{1}{a} $, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель равен $a(a-b)$.

Дополнительный множитель для первой дроби — $a$, для второй — $a-b$.

Умножим числители на соответствующие дополнительные множители и сложим их:

$ \frac{4 \cdot a}{a(a-b)} + \frac{1 \cdot (a-b)}{a(a-b)} = \frac{4a + a - b}{a(a-b)} $

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{5a - b}{a(a-b)} $

Ответ: $ \frac{5a - b}{a(a-b)} $.

3)

Для вычитания дробей $ \frac{6}{m-1} - \frac{2}{m} $ найдем общий знаменатель, который равен $m(m-1)$.

Дополнительный множитель для первой дроби — $m$, для второй — $m-1$.

Выполним преобразования:

$ \frac{6 \cdot m}{m(m-1)} - \frac{2 \cdot (m-1)}{m(m-1)} = \frac{6m - (2m-2)}{m(m-1)} $

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$ \frac{6m - 2m + 2}{m(m-1)} = \frac{4m + 2}{m(m-1)} $

Можно вынести общий множитель 2 в числителе:

$ \frac{2(2m+1)}{m(m-1)} $

Ответ: $ \frac{4m+2}{m(m-1)} $.

4)

Чтобы вычесть дроби $ \frac{1}{b+2} - \frac{3}{b} $, приведем их к общему знаменателю $b(b+2)$.

Дополнительный множитель для первой дроби — $b$, для второй — $b+2$.

Умножим числители на их дополнительные множители и выполним вычитание:

$ \frac{1 \cdot b}{b(b+2)} - \frac{3 \cdot (b+2)}{b(b+2)} = \frac{b - (3b+6)}{b(b+2)} $

Раскроем скобки и упростим числитель:

$ \frac{b - 3b - 6}{b(b+2)} = \frac{-2b - 6}{b(b+2)} $

Вынесем общий множитель -2 в числителе:

$ \frac{-2(b+3)}{b(b+2)} $

Ответ: $ \frac{-2b-6}{b(b+2)} $.

6.48. 1) $\frac{7x}{2(x-1)} + \frac{5x}{x-1}$;

2) $\frac{9a}{4(a+2)} - \frac{1}{a+2}$;

3) $\frac{2a^2}{3(a+1)} + \frac{5a^2}{4(a+1)}$;

4) $\frac{4x}{5(x-3)} - \frac{3x}{2(x-3)}$.

1) Чтобы сложить дроби $\frac{7x}{2(x-1)}$ и $\frac{5x}{x-1}$, их необходимо привести к общему знаменателю. Знаменатели дробей — это $2(x-1)$ и $x-1$. Наименьший общий знаменатель для них — $2(x-1)$.

Дополнительный множитель для второй дроби равен 2. Домножим числитель и знаменатель второй дроби на 2:

$\frac{5x}{x-1} = \frac{5x \cdot 2}{(x-1) \cdot 2} = \frac{10x}{2(x-1)}$

Теперь выполним сложение дробей с одинаковыми знаменателями:

$\frac{7x}{2(x-1)} + \frac{10x}{2(x-1)} = \frac{7x+10x}{2(x-1)} = \frac{17x}{2(x-1)}$

Ответ: $\frac{17x}{2(x-1)}$

2) Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{9a}{4(a+2)}$ и $\frac{1}{a+2}$, найдем общий знаменатель. Знаменатели — $4(a+2)$ и $a+2$. Наименьший общий знаменатель — $4(a+2)$.

Дополнительный множитель для второй дроби равен 4. Умножим ее числитель и знаменатель на 4:

$\frac{1}{a+2} = \frac{1 \cdot 4}{(a+2) \cdot 4} = \frac{4}{4(a+2)}$

Теперь выполним вычитание дробей:

$\frac{9a}{4(a+2)} - \frac{4}{4(a+2)} = \frac{9a - 4}{4(a+2)}$

Ответ: $\frac{9a-4}{4(a+2)}$

3) Для сложения дробей $\frac{2a^2}{3(a+1)}$ и $\frac{5a^2}{4(a+1)}$ найдем общий знаменатель. Он состоит из наименьшего общего кратного числовых коэффициентов 3 и 4 (это 12) и общего множителя $(a+1)$. Таким образом, общий знаменатель равен $12(a+1)$.

Дополнительный множитель для первой дроби — 4, а для второй — 3. Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{2a^2 \cdot 4}{3(a+1) \cdot 4} + \frac{5a^2 \cdot 3}{4(a+1) \cdot 3} = \frac{8a^2}{12(a+1)} + \frac{15a^2}{12(a+1)}$

Теперь сложим числители:

$\frac{8a^2 + 15a^2}{12(a+1)} = \frac{23a^2}{12(a+1)}$

Ответ: $\frac{23a^2}{12(a+1)}$

4) Для вычитания дробей $\frac{4x}{5(x-3)}$ и $\frac{3x}{2(x-3)}$ найдем общий знаменатель. Он равен наименьшему общему кратному коэффициентов 5 и 2 (это 10), умноженному на общий множитель $(x-3)$. Общий знаменатель — $10(x-3)$.

Дополнительный множитель для первой дроби — 2, для второй — 5. Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{4x \cdot 2}{5(x-3) \cdot 2} - \frac{3x \cdot 5}{2(x-3) \cdot 5} = \frac{8x}{10(x-3)} - \frac{15x}{10(x-3)}$

Выполним вычитание числителей:

$\frac{8x - 15x}{10(x-3)} = \frac{-7x}{10(x-3)} = -\frac{7x}{10(x-3)}$

Ответ: $-\frac{7x}{10(x-3)}$

6.49. 1) $\frac{1}{2a-b} - \frac{1}{2a+b}$;

2) $\frac{1}{3m-n} + \frac{1}{3m+n}$;

3) $\frac{5}{x-y} - \frac{3}{x+y}$;

4) $\frac{4}{p+q} + \frac{2}{p-q}$.

1) $\frac{1}{2a-b} - \frac{1}{2a+b}$

Чтобы выполнить вычитание дробей с разными знаменателями, их необходимо привести к общему знаменателю. В данном случае общий знаменатель — это произведение знаменателей $(2a-b)$ и $(2a+b)$.

Домножим первую дробь на дополнительный множитель $(2a+b)$, а вторую — на $(2a-b)$:

$\frac{1}{2a-b} - \frac{1}{2a+b} = \frac{1 \cdot (2a+b)}{(2a-b)(2a+b)} - \frac{1 \cdot (2a-b)}{(2a+b)(2a-b)}$

Теперь, когда знаменатели одинаковы, выполним вычитание числителей:

$\frac{(2a+b) - (2a-b)}{(2a-b)(2a+b)} = \frac{2a+b-2a+b}{(2a-b)(2a+b)} = \frac{2b}{(2a-b)(2a+b)}$

Знаменатель можно упростить, применив формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$:

$(2a-b)(2a+b) = (2a)^2 - b^2 = 4a^2-b^2$

Таким образом, окончательное выражение выглядит так:

Ответ: $\frac{2b}{4a^2-b^2}$

2) $\frac{1}{3m-n} + \frac{1}{3m+n}$

Для сложения этих дробей найдем общий знаменатель, который равен произведению их знаменателей: $(3m-n)(3m+n)$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{1 \cdot (3m+n)}{(3m-n)(3m+n)} + \frac{1 \cdot (3m-n)}{(3m+n)(3m-n)}$

Сложим числители, оставив общий знаменатель без изменений:

$\frac{(3m+n) + (3m-n)}{(3m-n)(3m+n)} = \frac{3m+n+3m-n}{(3m-n)(3m+n)} = \frac{6m}{(3m-n)(3m+n)}$

Используем формулу разности квадратов для упрощения знаменателя:

$(3m-n)(3m+n) = (3m)^2 - n^2 = 9m^2-n^2$

Получаем итоговый результат:

Ответ: $\frac{6m}{9m^2-n^2}$

3) $\frac{5}{x-y} - \frac{3}{x+y}$

Общим знаменателем для данных дробей является выражение $(x-y)(x+y)$.

Приведем дроби к общему знаменателю, домножив числитель и знаменатель первой дроби на $(x+y)$, а второй — на $(x-y)$:

$\frac{5(x+y)}{(x-y)(x+y)} - \frac{3(x-y)}{(x+y)(x-y)}$

Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$\frac{5(x+y) - 3(x-y)}{(x-y)(x+y)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{5x+5y - 3x+3y}{(x-y)(x+y)} = \frac{2x+8y}{(x-y)(x+y)}$

Упростим знаменатель по формуле разности квадратов:

$(x-y)(x+y) = x^2-y^2$

Окончательный вид выражения:

Ответ: $\frac{2x+8y}{x^2-y^2}$

4) $\frac{4}{p+q} + \frac{2}{p-q}$

Найдем общий знаменатель, который равен $(p+q)(p-q)$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{4(p-q)}{(p+q)(p-q)} + \frac{2(p+q)}{(p-q)(p+q)}$

Сложим числители полученных дробей:

$\frac{4(p-q) + 2(p+q)}{(p+q)(p-q)}$

Раскроем скобки и упростим выражение в числителе:

$\frac{4p-4q+2p+2q}{(p+q)(p-q)} = \frac{6p-2q}{(p+q)(p-q)}$

Знаменатель преобразуем по формуле разности квадратов:

$(p+q)(p-q) = p^2-q^2$

Итоговое выражение:

Ответ: $\frac{6p-2q}{p^2-q^2}$

6.50. 1) $\frac{2m}{5m+5n} + \frac{3n}{5m-5n}$;

2) $\frac{7x}{3x+3y} - \frac{2x}{3x-3y}$;

3) $\frac{5b}{ax+ay} - \frac{2a}{bx+by}$;

4) $\frac{3x}{4x+4y} - \frac{6x}{8x+8y}$.

1) Чтобы сложить дроби $\frac{2m}{5m+5n} + \frac{3n}{5m-5n}$, нужно привести их к общему знаменателю.
Сначала разложим знаменатели на множители:
$5m+5n = 5(m+n)$
$5m-5n = 5(m-n)$
Общий знаменатель для этих дробей будет $5(m+n)(m-n) = 5(m^2-n^2)$.
Найдем дополнительные множители для каждой дроби. Для первой дроби это $(m-n)$, для второй — $(m+n)$.
Выполним сложение:
$\frac{2m}{5(m+n)} + \frac{3n}{5(m-n)} = \frac{2m(m-n)}{5(m+n)(m-n)} + \frac{3n(m+n)}{5(m+n)(m-n)} = \frac{2m(m-n) + 3n(m+n)}{5(m^2-n^2)}$
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{2m^2 - 2mn + 3mn + 3n^2}{5(m^2-n^2)} = \frac{2m^2 + mn + 3n^2}{5(m^2-n^2)}$
Ответ: $\frac{2m^2+mn+3n^2}{5(m^2-n^2)}$

2) Чтобы вычесть дроби $\frac{7x}{3x+3y} - \frac{2x}{3x-3y}$, приведем их к общему знаменателю.
Разложим знаменатели на множители:
$3x+3y = 3(x+y)$
$3x-3y = 3(x-y)$
Общий знаменатель: $3(x+y)(x-y) = 3(x^2-y^2)$.
Дополнительный множитель для первой дроби — $(x-y)$, для второй — $(x+y)$.
Выполним вычитание:
$\frac{7x(x-y)}{3(x+y)(x-y)} - \frac{2x(x+y)}{3(x+y)(x-y)} = \frac{7x(x-y) - 2x(x+y)}{3(x^2-y^2)}$
Раскроем скобки и упростим числитель:
$\frac{7x^2 - 7xy - 2x^2 - 2xy}{3(x^2-y^2)} = \frac{5x^2 - 9xy}{3(x^2-y^2)}$
Можно вынести $x$ за скобки в числителе: $\frac{x(5x - 9y)}{3(x^2-y^2)}$
Ответ: $\frac{5x^2-9xy}{3(x^2-y^2)}$

3) Чтобы вычесть дроби $\frac{5b}{ax+ay} - \frac{2a}{bx+by}$, найдем общий знаменатель.
Разложим знаменатели на множители:
$ax+ay = a(x+y)$
$bx+by = b(x+y)$
Общий знаменатель: $ab(x+y)$.
Дополнительный множитель для первой дроби — $b$, для второй — $a$.
Выполним вычитание:
$\frac{5b \cdot b}{ab(x+y)} - \frac{2a \cdot a}{ab(x+y)} = \frac{5b^2 - 2a^2}{ab(x+y)}$
Ответ: $\frac{5b^2-2a^2}{ab(x+y)}$

4) Чтобы вычесть дроби $\frac{3x}{4x+4y} - \frac{6x}{8x+8y}$, приведем их к общему знаменателю.
Разложим знаменатели на множители:
$4x+4y = 4(x+y)$
$8x+8y = 8(x+y)$
Общий знаменатель для $4(x+y)$ и $8(x+y)$ это $8(x+y)$.
Дополнительный множитель для первой дроби — $2$, для второй — $1$.
Выполним вычитание:
$\frac{3x \cdot 2}{8(x+y)} - \frac{6x}{8(x+y)} = \frac{6x-6x}{8(x+y)} = \frac{0}{8(x+y)} = 0$
Альтернативный способ: можно заметить, что вторую дробь можно сократить:
$\frac{6x}{8x+8y} = \frac{6x}{8(x+y)} = \frac{3x}{4(x+y)}$
Тогда выражение принимает вид:
$\frac{3x}{4(x+y)} - \frac{3x}{4(x+y)} = 0$
Ответ: $0$

6.51. 1) $ \frac{7a}{x^2-9} + \frac{5a}{x-3} + \frac{a}{x+3} $

2) $ \frac{4}{x+2} + \frac{3}{x-2} - \frac{x+2}{x^2-4} $

3) $ \frac{a}{1-b} - \frac{a}{1+b} + \frac{a}{1-b^2} $

4) $ \frac{1}{a+2} + \frac{1}{a-2} - \frac{4}{a^2-4} $

1) Дано выражение: $\frac{7a}{x^2 - 9} + \frac{5a}{x - 3} + \frac{a}{x + 3}$.
Чтобы сложить дроби, их нужно привести к общему знаменателю. Сначала разложим знаменатель первой дроби на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$.
Таким образом, общий знаменатель для всех трех дробей будет $(x-3)(x+3)$.
Приведем дроби к этому знаменателю. Дополнительный множитель для второй дроби - $(x+3)$, для третьей - $(x-3)$. Первая дробь уже имеет нужный знаменатель.
$\frac{7a}{(x-3)(x+3)} + \frac{5a(x+3)}{(x-3)(x+3)} + \frac{a(x-3)}{(x-3)(x+3)}$
Теперь сложим числители, оставив знаменатель без изменений:
$\frac{7a + 5a(x+3) + a(x-3)}{(x-3)(x+3)}$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{7a + 5ax + 15a + ax - 3a}{(x-3)(x+3)} = \frac{(5ax+ax) + (7a+15a-3a)}{(x-3)(x+3)} = \frac{6ax + 19a}{(x-3)(x+3)}$
Вынесем общий множитель $a$ за скобки в числителе:
$\frac{a(6x+19)}{(x-3)(x+3)}$
Знаменатель можно свернуть обратно в $x^2-9$.
Ответ: $\frac{a(6x+19)}{x^2 - 9}$

2) Дано выражение: $\frac{4}{x+2} + \frac{3}{x-2} - \frac{x+2}{x^2 - 4}$.
Разложим знаменатель последней дроби на множители по формуле разности квадратов:
$x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$.
Общий знаменатель для всех дробей - $(x-2)(x+2)$.
Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби - $(x-2)$, для второй - $(x+2)$.
$\frac{4(x-2)}{(x-2)(x+2)} + \frac{3(x+2)}{(x-2)(x+2)} - \frac{x+2}{(x-2)(x+2)}$
Выполним действия с числителями:
$\frac{4(x-2) + 3(x+2) - (x+2)}{(x-2)(x+2)}$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{4x - 8 + 3x + 6 - x - 2}{(x-2)(x+2)} = \frac{(4x+3x-x) + (-8+6-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{6x - 4}{(x-2)(x+2)}$
Вынесем общий множитель 2 за скобки в числителе:
$\frac{2(3x - 2)}{(x-2)(x+2)}$
Знаменатель можно свернуть обратно в $x^2-4$.
Ответ: $\frac{2(3x - 2)}{x^2 - 4}$

3) Дано выражение: $\frac{a}{1-b} - \frac{a}{1+b} + \frac{a}{1-b^2}$.
Разложим знаменатель последней дроби на множители по формуле разности квадратов:
$1 - b^2 = (1-b)(1+b)$.
Общий знаменатель - $(1-b)(1+b)$.
Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби - $(1+b)$, для второй - $(1-b)$.
$\frac{a(1+b)}{(1-b)(1+b)} - \frac{a(1-b)}{(1-b)(1+b)} + \frac{a}{(1-b)(1+b)}$
Выполним действия с числителями:
$\frac{a(1+b) - a(1-b) + a}{(1-b)(1+b)}$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{a + ab - a + ab + a}{(1-b)(1+b)} = \frac{(a-a+a) + (ab+ab)}{(1-b)(1+b)} = \frac{a + 2ab}{(1-b)(1+b)}$
Вынесем общий множитель $a$ за скобки в числителе:
$\frac{a(1 + 2b)}{(1-b)(1+b)}$
Знаменатель можно свернуть обратно в $1-b^2$.
Ответ: $\frac{a(1+2b)}{1 - b^2}$

4) Дано выражение: $\frac{1}{a+2} + \frac{1}{a-2} - \frac{4}{a^2 - 4}$.
Разложим знаменатель последней дроби на множители по формуле разности квадратов:
$a^2 - 4 = (a-2)(a+2)$.
Общий знаменатель - $(a-2)(a+2)$.
Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби - $(a-2)$, для второй - $(a+2)$.
$\frac{1(a-2)}{(a-2)(a+2)} + \frac{1(a+2)}{(a-2)(a+2)} - \frac{4}{(a-2)(a+2)}$
Выполним действия с числителями:
$\frac{a-2 + a+2 - 4}{(a-2)(a+2)}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{(a+a) + (-2+2-4)}{(a-2)(a+2)} = \frac{2a - 4}{(a-2)(a+2)}$
Вынесем общий множитель 2 за скобки в числителе:
$\frac{2(a-2)}{(a-2)(a+2)}$
Сократим дробь на общий множитель $(a-2)$:
$\frac{2}{a+2}$
Ответ: $\frac{2}{a+2}$

6.52. 1) $\frac{3}{2m + 6} - \frac{m - 2}{m^2 + 6m + 9}$;

2) $\frac{5 - a}{a^2 - 8a + 16} + \frac{6}{5a - 20}$;

3) $\frac{1}{2x + 2} - \frac{x - 1}{3x^2 + 6x + 3}$;

4) $\frac{4}{3m - 3n} + \frac{3m - n}{2m^2 - 4mn + 2n^2}$.

1)

Исходное выражение: $\frac{3}{2m+6} - \frac{m-2}{m^2+6m+9}$.

Сначала разложим знаменатели на множители. Знаменатель первой дроби: $2m+6 = 2(m+3)$.

Знаменатель второй дроби является полным квадратом: $m^2+6m+9 = (m+3)^2$.

Выражение принимает вид: $\frac{3}{2(m+3)} - \frac{m-2}{(m+3)^2}$.

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для $2(m+3)$ и $(m+3)^2$ будет $2(m+3)^2$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби — $(m+3)$, для второй — $2$.

$\frac{3(m+3)}{2(m+3)^2} - \frac{2(m-2)}{2(m+3)^2} = \frac{3(m+3) - 2(m-2)}{2(m+3)^2}$.

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$\frac{3m+9 - (2m-4)}{2(m+3)^2} = \frac{3m+9 - 2m+4}{2(m+3)^2} = \frac{m+13}{2(m+3)^2}$.

Ответ: $\frac{m+13}{2(m+3)^2}$.

2)

Исходное выражение: $\frac{5-a}{a^2-8a+16} + \frac{6}{5a-20}$.

Разложим знаменатели на множители. Знаменатель первой дроби является полным квадратом: $a^2-8a+16 = (a-4)^2$.

Знаменатель второй дроби: $5a-20 = 5(a-4)$.

Выражение принимает вид: $\frac{5-a}{(a-4)^2} + \frac{6}{5(a-4)}$.

Наименьший общий знаменатель для $(a-4)^2$ и $5(a-4)$ будет $5(a-4)^2$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби — $5$, для второй — $(a-4)$.

$\frac{5(5-a)}{5(a-4)^2} + \frac{6(a-4)}{5(a-4)^2} = \frac{5(5-a) + 6(a-4)}{5(a-4)^2}$.

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$\frac{25-5a + 6a-24}{5(a-4)^2} = \frac{a+1}{5(a-4)^2}$.

Ответ: $\frac{a+1}{5(a-4)^2}$.

3)

Исходное выражение: $\frac{1}{2x+2} - \frac{x-1}{3x^2+6x+3}$.

Разложим знаменатели на множители. Знаменатель первой дроби: $2x+2 = 2(x+1)$.

Знаменатель второй дроби: $3x^2+6x+3 = 3(x^2+2x+1) = 3(x+1)^2$.

Выражение принимает вид: $\frac{1}{2(x+1)} - \frac{x-1}{3(x+1)^2}$.

Наименьший общий знаменатель для $2(x+1)$ и $3(x+1)^2$ будет $6(x+1)^2$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби — $3(x+1)$, для второй — $2$.

$\frac{1 \cdot 3(x+1)}{6(x+1)^2} - \frac{2(x-1)}{6(x+1)^2} = \frac{3(x+1) - 2(x-1)}{6(x+1)^2}$.

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$\frac{3x+3 - (2x-2)}{6(x+1)^2} = \frac{3x+3-2x+2}{6(x+1)^2} = \frac{x+5}{6(x+1)^2}$.

Ответ: $\frac{x+5}{6(x+1)^2}$.

4)

Исходное выражение: $\frac{4}{3m-3n} + \frac{3m-n}{2m^2-4mn+2n^2}$.

Разложим знаменатели на множители. Знаменатель первой дроби: $3m-3n = 3(m-n)$.

Знаменатель второй дроби: $2m^2-4mn+2n^2 = 2(m^2-2mn+n^2) = 2(m-n)^2$.

Выражение принимает вид: $\frac{4}{3(m-n)} + \frac{3m-n}{2(m-n)^2}$.

Наименьший общий знаменатель для $3(m-n)$ и $2(m-n)^2$ будет $6(m-n)^2$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби — $2(m-n)$, для второй — $3$.

$\frac{4 \cdot 2(m-n)}{6(m-n)^2} + \frac{3(3m-n)}{6(m-n)^2} = \frac{8(m-n) + 3(3m-n)}{6(m-n)^2}$.

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$\frac{8m-8n + 9m-3n}{6(m-n)^2} = \frac{17m-11n}{6(m-n)^2}$.

Ответ: $\frac{17m-11n}{6(m-n)^2}$.