Страница 181 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 6.65–6.78 выполните указанные действия.

6.65. 1) $\frac{18}{35} \cdot \frac{5}{6}$;

2) $\frac{5}{6} : \frac{2}{3}$;

3) $\frac{a}{b} : \frac{m}{n}$;

4) $\frac{x}{y} \cdot \frac{p}{q}$;

5) $\frac{1}{a} : b$;

6) $c : \frac{1}{x}$;

7) $\frac{1}{m} \cdot n$;

8) $2 \cdot \frac{1}{a}$.

1) Чтобы умножить две дроби, необходимо перемножить их числители и знаменатели: $ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} $.
$ \frac{18}{35} \cdot \frac{5}{6} = \frac{18 \cdot 5}{35 \cdot 6} $.
Перед умножением выполним сокращение. Сократим $ 18 $ и $ 6 $ на $ 6 $ (в числителе останется $ 3 $, в знаменателе $ 1 $). Сократим $ 5 $ и $ 35 $ на $ 5 $ (в числителе останется $ 1 $, в знаменателе $ 7 $).
$ \frac{18 \cdot 5}{35 \cdot 6} = \frac{3 \cdot 1}{7 \cdot 1} = \frac{3}{7} $.
Ответ: $ \frac{3}{7} $

2) Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернутую): $ \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} $.
$ \frac{5}{6} : \frac{2}{3} = \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{2} = \frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 2} $.
Сократим $ 3 $ и $ 6 $ на $ 3 $ (в числителе останется $ 1 $, в знаменателе $ 2 $).
$ \frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 2} = \frac{5 \cdot 1}{2 \cdot 2} = \frac{5}{4} $.
Ответ: $ \frac{5}{4} $

3) Деление алгебраических дробей выполняется по тому же правилу, что и деление обыкновенных дробей. Нужно делимое умножить на дробь, обратную делителю.
$ \frac{a}{b} : \frac{m}{n} = \frac{a}{b} \cdot \frac{n}{m} = \frac{a \cdot n}{b \cdot m} = \frac{an}{bm} $.
Ответ: $ \frac{an}{bm} $

4) Чтобы умножить две алгебраические дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели.
$ \frac{x}{y} \cdot \frac{p}{q} = \frac{x \cdot p}{y \cdot q} = \frac{xp}{yq} $.
Ответ: $ \frac{xp}{yq} $

5) Чтобы разделить дробь на переменную (или число), можно представить эту переменную в виде дроби со знаменателем 1 и выполнить деление дробей.
$ \frac{1}{a} : b = \frac{1}{a} : \frac{b}{1} = \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b} = \frac{1 \cdot 1}{a \cdot b} = \frac{1}{ab} $.
Ответ: $ \frac{1}{ab} $

6) Чтобы разделить переменную (или число) на дробь, можно представить эту переменную в виде дроби со знаменателем 1 и выполнить деление дробей.
$ c : \frac{1}{x} = \frac{c}{1} : \frac{1}{x} = \frac{c}{1} \cdot \frac{x}{1} = \frac{c \cdot x}{1 \cdot 1} = cx $.
Ответ: $ cx $

7) Чтобы умножить дробь на переменную (или число), можно представить эту переменную в виде дроби со знаменателем 1 и выполнить умножение дробей.
$ \frac{1}{m} \cdot n = \frac{1}{m} \cdot \frac{n}{1} = \frac{1 \cdot n}{m \cdot 1} = \frac{n}{m} $.
Ответ: $ \frac{n}{m} $

8) Чтобы умножить число на дробь, можно представить это число в виде дроби со знаменателем 1 и выполнить умножение дробей.
$ 2 \cdot \frac{1}{a} = \frac{2}{1} \cdot \frac{1}{a} = \frac{2 \cdot 1}{1 \cdot a} = \frac{2}{a} $.
Ответ: $ \frac{2}{a} $

6.66. 1) $\frac{9a}{16b} \cdot \frac{2}{3}$;

2) $3m \cdot \frac{n}{12m}$;

3) $\frac{8c}{21d^2} : \frac{6c^2}{7d}$;

4) $5a : \frac{15a}{b}$;

5) $\frac{x^4}{y^3} \cdot \frac{y^2}{x^3}$;

6) $\frac{3mn}{4ab} \cdot \frac{10a^2b^2}{21m^2n}$;

7) $\frac{12ab}{25c} : 8a^2$;

8) $\frac{5c}{28a^2} \cdot 21ac$.

1) Чтобы умножить две дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели: $\frac{9a}{16b} \cdot \frac{2}{3} = \frac{9a \cdot 2}{16b \cdot 3}$. Теперь сократим числитель и знаменатель. 9 и 3 можно сократить на 3, а 2 и 16 можно сократить на 2. $\frac{\cancel{9}^3 a \cdot \cancel{2}^1}{\cancel{16}^8 b \cdot \cancel{3}^1} = \frac{3a \cdot 1}{8b \cdot 1} = \frac{3a}{8b}$.
Ответ: $\frac{3a}{8b}$

2) Представим выражение $3m$ в виде дроби со знаменателем 1: $3m = \frac{3m}{1}$. $3m \cdot \frac{n}{12m} = \frac{3m}{1} \cdot \frac{n}{12m} = \frac{3m \cdot n}{1 \cdot 12m} = \frac{3mn}{12m}$. Сократим дробь. Переменную $m$ в числителе и знаменателе можно сократить. Коэффициенты 3 и 12 сокращаются на 3. $\frac{\cancel{3}^1 \cancel{m} n}{\cancel{12}^4 \cancel{m}} = \frac{n}{4}$.
Ответ: $\frac{n}{4}$

3) Деление на дробь равносильно умножению на обратную (перевернутую) дробь. $\frac{8c}{21d^2} : \frac{6c^2}{7d} = \frac{8c}{21d^2} \cdot \frac{7d}{6c^2} = \frac{8c \cdot 7d}{21d^2 \cdot 6c^2}$. Теперь сократим дробь. 8 и 6 сокращаем на 2. 7 и 21 сокращаем на 7. $c$ и $c^2$ сокращаем на $c$. $d$ и $d^2$ сокращаем на $d$. $\frac{\cancel{8}^4 \cancel{c} \cdot \cancel{7}^1 \cancel{d}}{\cancel{21}^3 \cancel{d^2}^d \cdot \cancel{6}^3 \cancel{c^2}^c} = \frac{4 \cdot 1}{3d \cdot 3c} = \frac{4}{9cd}$.
Ответ: $\frac{4}{9cd}$

4) Представим $5a$ как дробь $\frac{5a}{1}$ и заменим деление на умножение на обратную дробь. $5a : \frac{15a}{b} = \frac{5a}{1} \cdot \frac{b}{15a} = \frac{5a \cdot b}{1 \cdot 15a} = \frac{5ab}{15a}$. Сократим $a$ в числителе и знаменателе. Коэффициенты 5 и 15 сократим на 5. $\frac{\cancel{5}^1 \cancel{a} b}{\cancel{15}^3 \cancel{a}} = \frac{b}{3}$.
Ответ: $\frac{b}{3}$

5) Перемножим числители и знаменатели дробей. $\frac{x^4}{y^3} \cdot \frac{y^2}{x^3} = \frac{x^4 \cdot y^2}{y^3 \cdot x^3} = \frac{x^4 y^2}{x^3 y^3}$. Сократим дробь, используя свойства степеней: $\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$. $\frac{x^4}{x^3} = x^{4-3} = x^1 = x$. $\frac{y^2}{y^3} = y^{2-3} = y^{-1} = \frac{1}{y}$. В результате получаем: $\frac{x}{y}$.
Ответ: $\frac{x}{y}$

6) Перемножим числители и знаменатели дробей. $\frac{3mn}{4ab} \cdot \frac{10a^2b^2}{21m^2n} = \frac{3mn \cdot 10a^2b^2}{4ab \cdot 21m^2n}$. Сократим числовые коэффициенты: 3 и 21 на 3; 10 и 4 на 2. $\frac{\cancel{3}^1 mn \cdot \cancel{10}^5 a^2b^2}{\cancel{4}^2 ab \cdot \cancel{21}^7 m^2n} = \frac{5mna^2b^2}{14abm^2n}$. Теперь сократим переменные: $\frac{m}{m^2} = \frac{1}{m}$, $\frac{n}{n} = 1$, $\frac{a^2}{a} = a$, $\frac{b^2}{b} = b$. $\frac{5 \cancel{m} \cancel{n} \cancel{a^2}^a \cancel{b^2}^b}{14 \cancel{a} \cancel{b} \cancel{m^2}^m \cancel{n}} = \frac{5ab}{14m}$.
Ответ: $\frac{5ab}{14m}$

7) Представим $8a^2$ как дробь $\frac{8a^2}{1}$ и заменим деление умножением на обратную дробь. $\frac{12ab}{25c} : 8a^2 = \frac{12ab}{25c} \cdot \frac{1}{8a^2} = \frac{12ab}{25c \cdot 8a^2}$. Сократим числовые коэффициенты 12 и 8 на 4. $\frac{\cancel{12}^3 ab}{25c \cdot \cancel{8}^2 a^2} = \frac{3ab}{25c \cdot 2a^2} = \frac{3ab}{50a^2c}$. Сократим переменные: $\frac{a}{a^2} = \frac{1}{a}$. $\frac{3\cancel{a}b}{50\cancel{a^2}^a c} = \frac{3b}{50ac}$.
Ответ: $\frac{3b}{50ac}$

8) Представим выражение $21ac$ в виде дроби со знаменателем 1: $21ac = \frac{21ac}{1}$. $\frac{5c}{28a^2} \cdot 21ac = \frac{5c}{28a^2} \cdot \frac{21ac}{1} = \frac{5c \cdot 21ac}{28a^2}$. Сократим числовые коэффициенты 21 и 28 на 7. $\frac{5c \cdot \cancel{21}^3 ac}{\cancel{28}^4 a^2} = \frac{5c \cdot 3ac}{4a^2} = \frac{15ac^2}{4a^2}$. Сократим переменные: $\frac{a}{a^2} = \frac{1}{a}$. $\frac{15\cancel{a}c^2}{4\cancel{a^2}^a} = \frac{15c^2}{4a}$.
Ответ: $\frac{15c^2}{4a}$

6.67. 1) $\frac{5}{4x} \cdot \frac{2x}{3};$

2) $\frac{a^2}{8} \cdot \frac{4}{a};$

3) $\frac{6b}{7y} \cdot \frac{14}{3b};$

4) $\frac{p^2}{18} \cdot \frac{36}{p};$

5) $\frac{9}{2m} \cdot \frac{5m}{3};$

6) $\frac{12}{7p} \cdot \frac{p^3}{12q}.$

1) Чтобы умножить две дроби, необходимо перемножить их числители и знаменатели. Затем, если возможно, сократить полученную дробь.
$\frac{5}{4x} \cdot \frac{2x}{3} = \frac{5 \cdot 2x}{4x \cdot 3}$
Запишем числитель и знаменатель в виде произведения множителей для удобства сокращения.
$\frac{5 \cdot 2 \cdot x}{4 \cdot 3 \cdot x} = \frac{5 \cdot 2 \cdot x}{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot x}$
Сокращаем общие множители $2$ и $x$ (при условии, что $x \neq 0$):
$\frac{5}{2 \cdot 3} = \frac{5}{6}$
Ответ: $\frac{5}{6}$

2) Перемножим числители и знаменатели данных дробей.
$\frac{a^2}{8} \cdot \frac{4}{a} = \frac{a^2 \cdot 4}{8 \cdot a}$
Сократим полученную дробь. Разложим $a^2$ как $a \cdot a$ и $8$ как $4 \cdot 2$.
$\frac{a \cdot a \cdot 4}{4 \cdot 2 \cdot a}$
Сокращаем общие множители $a$ и $4$ (при условии, что $a \neq 0$).
$\frac{a}{2}$
Ответ: $\frac{a}{2}$

3) Выполним умножение дробей, перемножив их числители и знаменатели.
$\frac{6b}{7y} \cdot \frac{14}{3b} = \frac{6b \cdot 14}{7y \cdot 3b}$
Представим числа в виде множителей для сокращения: $6 = 2 \cdot 3$, $14 = 2 \cdot 7$.
$\frac{(2 \cdot 3) \cdot b \cdot (2 \cdot 7)}{7 \cdot y \cdot 3 \cdot b}$
Сокращаем общие множители $3$, $7$ и $b$ (при условии, что $b \neq 0, y \neq 0$).
$\frac{2 \cdot 2}{y} = \frac{4}{y}$
Ответ: $\frac{4}{y}$

4) Умножим дроби, перемножив их числители между собой, а знаменатели между собой.
$\frac{p^2}{18} \cdot \frac{36}{p} = \frac{p^2 \cdot 36}{18 \cdot p}$
Сократим полученную дробь. Мы можем сократить $p^2$ и $p$ на $p$, а $36$ и $18$ на $18$.
$\frac{p^{2-1} \cdot (36 \div 18)}{(18 \div 18) \cdot (p \div p)} = \frac{p \cdot 2}{1} = 2p$
(при условии, что $p \neq 0$).
Ответ: $2p$

5) Перемножим числители и знаменатели дробей.
$\frac{9}{2m} \cdot \frac{5m}{3} = \frac{9 \cdot 5m}{2m \cdot 3}$
Сократим дробь. Сокращаем $m$ в числителе и знаменателе. Также сокращаем $9$ и $3$ на $3$.
$\frac{(9 \div 3) \cdot 5 \cdot (m \div m)}{2 \cdot (m \div m) \cdot (3 \div 3)} = \frac{3 \cdot 5}{2} = \frac{15}{2}$
(при условии, что $m \neq 0$).
Ответ: $\frac{15}{2}$

6) Выполним умножение дробей, перемножая числители и знаменатели.
$\frac{12}{7p} \cdot \frac{p^3}{12q} = \frac{12 \cdot p^3}{7p \cdot 12q}$
Сократим полученную дробь. Сокращаем общий множитель $12$. Сокращаем $p^3$ и $p$ на $p$.
$\frac{(12 \div 12) \cdot p^{3-1}}{7 \cdot (p \div p) \cdot (12 \div 12) \cdot q} = \frac{p^2}{7q}$
(при условии, что $p \neq 0, q \neq 0$).
Ответ: $\frac{p^2}{7q}$

6.68. 1) $\frac{48a^4}{49b^4} \cdot \frac{7b^2}{16a^2}$;

3) $\frac{25y^2}{16x} : \frac{y^3}{x^2}$;

2) $\frac{2n}{5m^3} \cdot 10m^5$;

4) $6xy^2 : \frac{3y^2}{4x}$.

1) Чтобы умножить две дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели: $ \frac{48a^4}{49b^4} \cdot \frac{7b^2}{16a^2} = \frac{48a^4 \cdot 7b^2}{49b^4 \cdot 16a^2} $.
Теперь сгруппируем числовые коэффициенты и переменные и сократим дробь.
Числовые коэффициенты: $48$ и $16$ сокращаются на $16$ (остается $3$ в числителе), $49$ и $7$ сокращаются на $7$ (остается $7$ в знаменателе).
Переменные: $a^4$ и $a^2$ сокращаются на $a^2$ (остается $a^{4-2} = a^2$ в числителе), $b^4$ и $b^2$ сокращаются на $b^2$ (остается $b^{4-2} = b^2$ в знаменателе).
$ \frac{48a^4 \cdot 7b^2}{49b^4 \cdot 16a^2} = \frac{(16 \cdot 3)a^4 \cdot 7b^2}{(7 \cdot 7)b^4 \cdot 16a^2} = \frac{3a^{4-2}}{7b^{4-2}} = \frac{3a^2}{7b^2} $.
Ответ: $ \frac{3a^2}{7b^2} $

2) Представим выражение $10m^5$ в виде дроби $\frac{10m^5}{1}$ и выполним умножение: $ \frac{2n}{5m^3} \cdot 10m^5 = \frac{2n}{5m^3} \cdot \frac{10m^5}{1} = \frac{2n \cdot 10m^5}{5m^3} $.
Сократим числовые коэффициенты: $10$ и $5$ сокращаются на $5$ (остается $2$ в числителе).
Сократим переменные: $m^5$ и $m^3$ сокращаются на $m^3$ (остается $m^{5-3} = m^2$ в числителе).
$ \frac{2n \cdot (5 \cdot 2)m^5}{5m^3} = 2n \cdot 2 \cdot m^{5-3} = 4nm^2 $.
Ответ: $ 4nm^2 $

3) Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернутую): $ \frac{25y^2}{16x} : \frac{y^3}{x^2} = \frac{25y^2}{16x} \cdot \frac{x^2}{y^3} = \frac{25y^2 \cdot x^2}{16x \cdot y^3} $.
Теперь сократим дробь.
Числовые коэффициенты $25$ и $16$ не имеют общих делителей.
Переменные: $x^2$ и $x$ сокращаются на $x$ (остается $x^{2-1} = x$ в числителе), $y^3$ и $y^2$ сокращаются на $y^2$ (остается $y^{3-2} = y$ в знаменателе).
$ \frac{25y^2 x^2}{16xy^3} = \frac{25x^{2-1}}{16y^{3-2}} = \frac{25x}{16y} $.
Ответ: $ \frac{25x}{16y} $

4) Представим выражение $6xy^2$ в виде дроби $\frac{6xy^2}{1}$. Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную (перевернутую) дробь: $ 6xy^2 : \frac{3y^2}{4x} = \frac{6xy^2}{1} \cdot \frac{4x}{3y^2} = \frac{6xy^2 \cdot 4x}{3y^2} $.
Сократим полученное выражение.
Числовые коэффициенты: $6$ и $3$ сокращаются на $3$ (остается $2$ в числителе).
Переменные: $y^2$ и $y^2$ сокращаются полностью.
$ \frac{(3 \cdot 2)xy^2 \cdot 4x}{3y^2} = 2x \cdot 4x = 8x^2 $.
Ответ: $ 8x^2 $

6.69. 1) $\frac{72a^4}{25b^5} \cdot \left(-\frac{5b^4}{27a^5}\right)$;

2) $-\frac{15m^4}{8n^6} \cdot \frac{16n^5}{25m^3}$;

3) $\frac{11a}{4b^2} : (22a^2)$;

4) $\frac{9p^2}{20q^3} : \frac{p^5}{16q}$.

1)

Чтобы умножить две алгебраические дроби, необходимо перемножить их числители и знаменатели. Знак произведения будет отрицательным, так как мы умножаем положительную дробь на отрицательную.

$ \frac{72a^4}{25b^5} \cdot \left(-\frac{5b^4}{27a^5}\right) = -\frac{72a^4 \cdot 5b^4}{25b^5 \cdot 27a^5} $

Теперь сократим числовые коэффициенты и переменные. Разложим числа на множители и применим свойства степеней ($ \frac{x^m}{x^n} = \frac{1}{x^{n-m}} $ при $ n>m $).

$ -\frac{(8 \cdot 9) \cdot 5 \cdot a^4 \cdot b^4}{(5 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 9) \cdot b^5 \cdot a^5} = -\frac{8 \cdot \cancel{9} \cdot \cancel{5}}{(5 \cdot \cancel{5}) \cdot 3 \cdot \cancel{9}} \cdot \frac{a^4}{a^5} \cdot \frac{b^4}{b^5} = -\frac{8}{15} \cdot \frac{1}{a^{5-4}} \cdot \frac{1}{b^{5-4}} = -\frac{8}{15ab} $

Ответ: $ -\frac{8}{15ab} $

2)

Умножаем числители и знаменатели, учитывая знак минус перед первой дробью.

$ -\frac{15m^4}{8n^6} \cdot \frac{16n^5}{25m^3} = -\frac{15m^4 \cdot 16n^5}{8n^6 \cdot 25m^3} $

Сократим числовые коэффициенты и переменные. Разложим числа на множители и применим свойства степеней ($ \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} $ при $ m>n $ и $ \frac{x^m}{x^n} = \frac{1}{x^{n-m}} $ при $ n>m $).

$ -\frac{(3 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 8) \cdot m^4 \cdot n^5}{8 \cdot (5 \cdot 5) \cdot n^6 \cdot m^3} = -\frac{3 \cdot \cancel{5} \cdot 2 \cdot \cancel{8}}{\cancel{8} \cdot 5 \cdot \cancel{5}} \cdot \frac{m^4}{m^3} \cdot \frac{n^5}{n^6} = -\frac{6}{5} \cdot m^{4-3} \cdot \frac{1}{n^{6-5}} = -\frac{6m}{5n} $

Ответ: $ -\frac{6m}{5n} $

3)

Деление на выражение эквивалентно умножению на обратное ему выражение. Представим $ 22a^2 $ как дробь $ \frac{22a^2}{1} $.

$ \frac{11a}{4b^2} : (22a^2) = \frac{11a}{4b^2} : \frac{22a^2}{1} = \frac{11a}{4b^2} \cdot \frac{1}{22a^2} $

Умножаем дроби и проводим сокращение.

$ \frac{11a \cdot 1}{4b^2 \cdot 22a^2} = \frac{11 \cdot a}{4 \cdot (2 \cdot 11) \cdot b^2 \cdot a^2} = \frac{\cancel{11} \cdot a}{8 \cdot \cancel{11} \cdot b^2 \cdot a^2} = \frac{a}{8b^2a^2} = \frac{1}{8ab^2} $

Ответ: $ \frac{1}{8ab^2} $

4)

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

$ \frac{9p^2}{20q^3} : \frac{p^5}{16q} = \frac{9p^2}{20q^3} \cdot \frac{16q}{p^5} = \frac{9p^2 \cdot 16q}{20q^3 \cdot p^5} $

Сократим числовые коэффициенты и переменные.

$ \frac{9 \cdot (4 \cdot 4) \cdot p^2 \cdot q}{(5 \cdot 4) \cdot q^3 \cdot p^5} = \frac{9 \cdot 4}{5} \cdot \frac{p^2}{p^5} \cdot \frac{q}{q^3} = \frac{36}{5} \cdot \frac{1}{p^{5-2}} \cdot \frac{1}{q^{3-1}} = \frac{36}{5p^3q^2} $

Ответ: $ \frac{36}{5p^3q^2} $

6.70. 1) $-\frac{18x^2y^2}{5abm} : \left(-\frac{9xy^3}{5a^2m^4}\right);$

3) $\frac{13a}{12xy^2} \cdot 4x^2y;$

5) $6ax^2 : \frac{3x^2}{4a};$

2) $35m^2n : \frac{7m^3}{24};$

4) $-\frac{18p^3}{11q^3} \cdot \frac{9p^2}{22q^4}.$

6) $\frac{x^2y^2}{11ab^2} : \left(-\frac{4xy^3}{33ab}\right).$

1) Чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй. При делении отрицательного выражения на отрицательное, результат будет положительным.
$-\frac{18x^2y^2}{5abm} : \left(-\frac{9xy^3}{5a^2m^4}\right) = \frac{18x^2y^2}{5abm} \cdot \frac{5a^2m^4}{9xy^3} = \frac{18 \cdot 5 \cdot a^2 m^4 x^2 y^2}{5 \cdot 9 \cdot a b m x y^3}$
Теперь сократим числовые коэффициенты и переменные в числителе и знаменателе.
Сокращаем числа: $\frac{18}{9} = 2$; $5$ и $5$ сокращаются.
Сокращаем переменные по правилу $\frac{k^n}{k^m} = k^{n-m}$:
$\frac{a^2}{a} = a^{2-1} = a$
$\frac{m^4}{m} = m^{4-1} = m^3$
$\frac{x^2}{x} = x^{2-1} = x$
$\frac{y^2}{y^3} = y^{2-3} = y^{-1} = \frac{1}{y}$
Переменная $b$ остается в знаменателе.
Собираем оставшиеся множители и получаем результат:
$\frac{2 \cdot a \cdot m^3 \cdot x}{b \cdot y} = \frac{2axm^3}{by}$
Ответ: $\frac{2axm^3}{by}$

2) Для выполнения деления представим выражение $35m^2n$ в виде дроби со знаменателем 1 и заменим деление на умножение на обратную дробь.
$35m^2n : \frac{7m^3}{24} = \frac{35m^2n}{1} \cdot \frac{24}{7m^3} = \frac{35 \cdot 24 \cdot m^2 n}{7m^3}$
Сокращаем числовые коэффициенты: $\frac{35}{7} = 5$.
Сокращаем переменные: $\frac{m^2}{m^3} = m^{2-3} = m^{-1} = \frac{1}{m}$.
Перемножаем оставшиеся множители:
$\frac{5 \cdot 24 \cdot n}{m} = \frac{120n}{m}$
Ответ: $\frac{120n}{m}$

3) Для выполнения умножения представим выражение $4x^2y$ в виде дроби со знаменателем 1 и перемножим числители и знаменатели.
$\frac{13a}{12xy^2} \cdot 4x^2y = \frac{13a}{12xy^2} \cdot \frac{4x^2y}{1} = \frac{13a \cdot 4x^2y}{12xy^2}$
Сокращаем числовые коэффициенты: $\frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.
Сокращаем переменные:
$\frac{x^2}{x} = x^{2-1} = x$
$\frac{y}{y^2} = y^{1-2} = y^{-1} = \frac{1}{y}$
Собираем результат:
$\frac{13a \cdot x}{3y} = \frac{13ax}{3y}$
Ответ: $\frac{13ax}{3y}$

4) Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй. При делении отрицательного выражения на положительное, результат будет отрицательным.
$-\frac{18p^3}{11q^3} : \frac{9p^2}{22q^4} = -\left(\frac{18p^3}{11q^3} \cdot \frac{22q^4}{9p^2}\right) = -\frac{18 \cdot 22 \cdot p^3 q^4}{11 \cdot 9 \cdot q^3 p^2}$
Сокращаем числовые коэффициенты: $\frac{18}{9} = 2$; $\frac{22}{11} = 2$.
Сокращаем переменные:
$\frac{p^3}{p^2} = p^{3-2} = p$
$\frac{q^4}{q^3} = q^{4-3} = q$
Перемножаем оставшиеся множители, учитывая знак "минус":
$-(2 \cdot 2 \cdot p \cdot q) = -4pq$
Ответ: $-4pq$

5) Для выполнения деления представим выражение $6ax^2$ в виде дроби со знаменателем 1 и заменим деление на умножение на обратную дробь.
$6ax^2 : \frac{3x^2}{4a} = \frac{6ax^2}{1} \cdot \frac{4a}{3x^2} = \frac{6 \cdot 4 \cdot a \cdot a \cdot x^2}{3x^2}$
Сокращаем числовые коэффициенты: $\frac{6}{3} = 2$.
Сокращаем переменные: $\frac{x^2}{x^2} = 1$.
Перемножаем оставшиеся множители:
$2 \cdot 4 \cdot a^2 = 8a^2$
Ответ: $8a^2$

6) Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй. При делении положительного выражения на отрицательное, результат будет отрицательным.
$\frac{x^2y^2}{11ab^2} : \left(-\frac{4xy^3}{33ab}\right) = -\left(\frac{x^2y^2}{11ab^2} \cdot \frac{33ab}{4xy^3}\right) = -\frac{33 \cdot a b x^2 y^2}{11 \cdot 4 \cdot a b^2 x y^3}$
Сокращаем числовые коэффициенты: $\frac{33}{11} = 3$.
Сокращаем переменные:
$\frac{a}{a} = 1$
$\frac{b}{b^2} = b^{1-2} = b^{-1} = \frac{1}{b}$
$\frac{x^2}{x} = x^{2-1} = x$
$\frac{y^2}{y^3} = y^{2-3} = y^{-1} = \frac{1}{y}$
Собираем результат, учитывая знак "минус":
$-\frac{3 \cdot x}{4 \cdot b \cdot y} = -\frac{3x}{4by}$
Ответ: $-\frac{3x}{4by}$

6.71. 1) $8x^2y^4 \cdot \left(-\frac{3x}{4y^3}\right)$;

2) $-\frac{18x^2y^2}{5ab} : \frac{6xy^3}{5a^2b^2}$;

3) $16a^2b^3 : \left(-\frac{20a^5b^4}{3x^2y}\right)$;

4) $-\frac{25x^4y^3}{14m^2} \cdot \left(-\frac{21mn}{10x^3y^2}\right)$;

5) $\frac{a^2-ab}{b} \cdot \frac{b^2}{a}$;

6) $\frac{ab+b^2}{9} \cdot \frac{3a}{b^2}$.

1) Для того чтобы умножить одночлен на дробь, представим одночлен в виде дроби со знаменателем 1 и выполним умножение дробей:
$8x^2y^4 \cdot \left(-\frac{3x}{4y^3}\right) = \frac{8x^2y^4}{1} \cdot \left(-\frac{3x}{4y^3}\right) = -\frac{8x^2y^4 \cdot 3x}{4y^3}$
Сократим числовые коэффициенты (8 и 4 на 4) и переменные (используя свойство степеней $a^m/a^n = a^{m-n}$):
$-\frac{8 \cdot 3 \cdot x^2 \cdot x \cdot y^4}{4 \cdot y^3} = -2 \cdot 3 \cdot x^{2+1} \cdot y^{4-3} = -6x^3y^1 = -6x^3y$
Ответ: $-6x^3y$

2) Чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:
$-\frac{18x^2y^2}{5ab} \div \frac{6xy^3}{5a^2b^2} = -\frac{18x^2y^2}{5ab} \cdot \frac{5a^2b^2}{6xy^3} = -\frac{18x^2y^2 \cdot 5a^2b^2}{5ab \cdot 6xy^3}$
Сократим общие множители в числителе и знаменателе:
$-\frac{(18 \cdot 5) \cdot (x^2 \cdot a^2 \cdot y^2 \cdot b^2)}{(5 \cdot 6) \cdot (a \cdot x \cdot b \cdot y^3)} = -\frac{3 \cdot x^{2-1} \cdot a^{2-1} \cdot b^{2-1}}{y^{3-2}} = -\frac{3xab}{y}$
Ответ: $-\frac{3abx}{y}$

3) Для деления одночлена на дробь, представим одночлен в виде дроби и умножим на дробь, обратную делителю:
$16a^2b^3 \div \left(-\frac{20a^5b^4}{3x^2y}\right) = \frac{16a^2b^3}{1} \cdot \left(-\frac{3x^2y}{20a^5b^4}\right) = -\frac{16a^2b^3 \cdot 3x^2y}{20a^5b^4}$
Сократим числовые коэффициенты (16 и 20 на 4) и переменные:
$-\frac{16 \cdot 3 \cdot a^2b^3x^2y}{20 \cdot a^5b^4} = -\frac{4 \cdot 3 \cdot x^2y}{5 \cdot a^{5-2} \cdot b^{4-3}} = -\frac{12x^2y}{5a^3b}$
Ответ: $-\frac{12x^2y}{5a^3b}$

4) При умножении двух дробей перемножаем их числители и знаменатели. Произведение двух отрицательных выражений положительно.
$-\frac{25x^4y^3}{14m^2} \cdot \left(-\frac{21mn}{10x^3y^2}\right) = \frac{25x^4y^3 \cdot 21mn}{14m^2 \cdot 10x^3y^2}$
Сократим числовые коэффициенты (25 и 10 на 5; 21 и 14 на 7) и переменные:
$\frac{(5 \cdot 5)x^4y^3 \cdot (3 \cdot 7)mn}{(2 \cdot 7)m^2 \cdot (2 \cdot 5)x^3y^2} = \frac{5 \cdot 3 \cdot x^{4-3} \cdot y^{3-2} \cdot n}{2 \cdot 2 \cdot m^{2-1}} = \frac{15xyn}{4m}$
Ответ: $\frac{15xyn}{4m}$

5) Сначала вынесем общий множитель в числителе первой дроби:
$\frac{a^2-ab}{b} \cdot \frac{b^2}{a} = \frac{a(a-b)}{b} \cdot \frac{b^2}{a}$
Теперь выполним умножение и сократим общие множители $a$ и $b$:
$\frac{a(a-b)b^2}{ba} = \frac{(a-b)b}{1} = b(a-b)$
Ответ: $b(a-b)$

6) Вынесем общий множитель $b$ в числителе первой дроби:
$\frac{ab+b^2}{9} \cdot \frac{3a}{b^2} = \frac{b(a+b)}{9} \cdot \frac{3a}{b^2}$
Выполним умножение дробей и сократим:
$\frac{b(a+b) \cdot 3a}{9b^2} = \frac{3ab(a+b)}{9b^2}$
Сократим числовые коэффициенты (3 и 9 на 3) и переменную $b$:
$\frac{a(a+b)}{3b}$
Ответ: $\frac{a(a+b)}{3b}$