Страница 183 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.78. 1) $(a + \frac{a-b}{a+b} - b) : (\frac{2a+1}{a^2-b^2} + 1);$

2) $(x - \frac{x+y}{x-y} + y) : (1 - \frac{2y+1}{x^2-y^2});$

3) $\frac{x-1}{x} \cdot \frac{x+1}{x} \cdot \frac{x^2+1}{x^2} \cdot \frac{x^4}{x^4-1};$

4) $((\frac{1-a}{a} : \frac{a}{1+a}) : \frac{a^2}{1+a^2}) : \frac{a^4-1}{a^4}.$

1)

Решим по действиям. Сначала упростим выражения в каждой из скобок.

1. Упростим выражение в первой скобке: $a + \frac{a-b}{a+b} - b$. Сгруппируем $a$ и $-b$ и приведем к общему знаменателю $(a+b)$.

$ (a-b) + \frac{a-b}{a+b} = \frac{(a-b)(a+b)}{a+b} + \frac{a-b}{a+b} = \frac{(a-b)(a+b) + (a-b)}{a+b} = \frac{(a-b)(a+b+1)}{a+b} $

2. Упростим выражение во второй скобке: $\frac{2a+1}{a^2-b^2} + 1$. Приведем к общему знаменателю $(a^2-b^2)$.

$ \frac{2a+1}{a^2-b^2} + \frac{a^2-b^2}{a^2-b^2} = \frac{a^2+2a+1-b^2}{a^2-b^2} $

В числителе видим формулы сокращенного умножения: $a^2+2a+1 = (a+1)^2$. Тогда числитель принимает вид $(a+1)^2 - b^2$, что является разностью квадратов.

$ \frac{(a+1)^2 - b^2}{(a-b)(a+b)} = \frac{(a+1-b)(a+1+b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{(a-b+1)(a+b+1)}{(a-b)(a+b)} $

3. Теперь выполним деление полученных выражений. Деление дробей заменяется умножением на обратную (перевернутую) дробь.

$ \frac{(a-b)(a+b+1)}{a+b} : \frac{(a-b+1)(a+b+1)}{(a-b)(a+b)} = \frac{(a-b)(a+b+1)}{a+b} \cdot \frac{(a-b)(a+b)}{(a-b+1)(a+b+1)} $

Сокращаем одинаковые множители $(a+b)$ и $(a+b+1)$ в числителе и знаменателе:

$ \frac{(a-b)\cancel{(a+b+1)}}{\cancel{a+b}} \cdot \frac{(a-b)\cancel{(a+b)}}{(a-b+1)\cancel{(a+b+1)}} = \frac{(a-b)(a-b)}{a-b+1} = \frac{(a-b)^2}{a-b+1} $

Ответ: $\frac{(a-b)^2}{a-b+1}$

2)

Решим по действиям, аналогично предыдущему примеру.

1. Упростим выражение в первой скобке: $x - \frac{x+y}{x-y} + y$. Сгруппируем $x$ и $y$ и приведем к общему знаменателю $(x-y)$.

$ (x+y) - \frac{x+y}{x-y} = \frac{(x+y)(x-y)}{x-y} - \frac{x+y}{x-y} = \frac{(x+y)(x-y) - (x+y)}{x-y} = \frac{(x+y)(x-y-1)}{x-y} $

2. Упростим выражение во второй скобке: $1 - \frac{2y+1}{x^2-y^2}$. Приведем к общему знаменателю $(x^2-y^2)$.

$ \frac{x^2-y^2}{x^2-y^2} - \frac{2y+1}{x^2-y^2} = \frac{x^2-y^2-2y-1}{x^2-y^2} = \frac{x^2-(y^2+2y+1)}{x^2-y^2} $

Выражение в скобках в числителе является полным квадратом: $y^2+2y+1 = (y+1)^2$. Получаем разность квадратов:

$ \frac{x^2-(y+1)^2}{(x-y)(x+y)} = \frac{(x-(y+1))(x+(y+1))}{(x-y)(x+y)} = \frac{(x-y-1)(x+y+1)}{(x-y)(x+y)} $

3. Выполним деление результатов:

$ \frac{(x+y)(x-y-1)}{x-y} : \frac{(x-y-1)(x+y+1)}{(x-y)(x+y)} = \frac{(x+y)(x-y-1)}{x-y} \cdot \frac{(x-y)(x+y)}{(x-y-1)(x+y+1)} $

Сокращаем общие множители $(x-y)$ и $(x-y-1)$:

$ \frac{(x+y)\cancel{(x-y-1)}}{\cancel{x-y}} \cdot \frac{\cancel{(x-y)}(x+y)}{\cancel{(x-y-1)}(x+y+1)} = \frac{(x+y)(x+y)}{x+y+1} = \frac{(x+y)^2}{x+y+1} $

Ответ: $\frac{(x+y)^2}{x+y+1}$

3)

Для упрощения данного выражения перемножим последовательно дроби, используя формулу разности квадратов: $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.

$ \frac{x-1}{x} \cdot \frac{x+1}{x} \cdot \frac{x^2+1}{x^2} \cdot \frac{x^4}{x^4-1} $

1. Перемножим первые две дроби:

$ \frac{x-1}{x} \cdot \frac{x+1}{x} = \frac{(x-1)(x+1)}{x^2} = \frac{x^2-1}{x^2} $

2. Результат умножим на третью дробь:

$ \frac{x^2-1}{x^2} \cdot \frac{x^2+1}{x^2} = \frac{(x^2-1)(x^2+1)}{x^4} = \frac{(x^2)^2-1^2}{x^4} = \frac{x^4-1}{x^4} $

3. Результат умножим на последнюю дробь:

$ \frac{x^4-1}{x^4} \cdot \frac{x^4}{x^4-1} $

Сокращаем одинаковые множители в числителе и знаменателе:

$ \frac{\cancel{x^4-1}}{\cancel{x^4}} \cdot \frac{\cancel{x^4}}{\cancel{x^4-1}} = 1 $

Ответ: $1$

4)

В данном выражении действия деления выполняются последовательно слева направо.

1. Выполним первое деление: $\frac{1-a}{a} : \frac{a}{1+a}$

$ \frac{1-a}{a} \cdot \frac{1+a}{a} = \frac{(1-a)(1+a)}{a^2} = \frac{1-a^2}{a^2} $

2. Результат разделим на следующую дробь: $(\frac{1-a^2}{a^2}) : \frac{a^2}{1+a^2}$

$ \frac{1-a^2}{a^2} \cdot \frac{1+a^2}{a^2} = \frac{(1-a^2)(1+a^2)}{a^4} = \frac{1-(a^2)^2}{a^4} = \frac{1-a^4}{a^4} $

3. И, наконец, разделим полученное выражение на последнюю дробь: $(\frac{1-a^4}{a^4}) : \frac{a^4-1}{a^4}$

$ \frac{1-a^4}{a^4} \cdot \frac{a^4}{a^4-1} $

Заметим, что числитель первой дроби и знаменатель второй связаны соотношением $1-a^4 = -(a^4-1)$. Подставим это в выражение:

$ \frac{-(a^4-1)}{a^4} \cdot \frac{a^4}{a^4-1} = \frac{-\cancel{(a^4-1)}}{\cancel{a^4}} \cdot \frac{\cancel{a^4}}{\cancel{a^4-1}} = -1 $

Ответ: $-1$

6.79. Докажите, что при $x \neq y, x \neq 0, y \neq 0$ выражение $\frac{2}{xy} : \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{y}\right)^2 - \frac{x^2 + y^2}{(x - y)^2}$ не зависит от значения переменных.

Для того чтобы доказать, что значение данного выражения не зависит от переменных, необходимо его упростить. Проведем преобразования по действиям.

Исходное выражение: $ \frac{2}{xy} : \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{y} \right)^2 - \frac{x^2 + y^2}{(x-y)^2} $

1. Выполним вычитание в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $xy$:

$ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{y}{xy} - \frac{x}{xy} = \frac{y - x}{xy} $

2. Возведем результат в квадрат. Используем свойство $ (a-b)^2 = (b-a)^2 $:

$ \left( \frac{y - x}{xy} \right)^2 = \frac{(y-x)^2}{(xy)^2} = \frac{(x-y)^2}{x^2y^2} $

3. Выполним деление. Деление на дробь заменяется умножением на обратную (перевернутую) дробь:

$ \frac{2}{xy} : \frac{(x-y)^2}{x^2y^2} = \frac{2}{xy} \cdot \frac{x^2y^2}{(x-y)^2} $

Сократим полученное выражение на $xy$:

$ \frac{2 \cdot x^2y^2}{xy \cdot (x-y)^2} = \frac{2xy}{(x-y)^2} $

4. Подставим полученный результат в исходное выражение и выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$ \frac{2xy}{(x-y)^2} - \frac{x^2 + y^2}{(x-y)^2} = \frac{2xy - (x^2 + y^2)}{(x-y)^2} = \frac{2xy - x^2 - y^2}{(x-y)^2} $

5. Преобразуем числитель, вынеся минус за скобку, чтобы получить формулу квадрата разности:

$ 2xy - x^2 - y^2 = -(x^2 - 2xy + y^2) = -(x-y)^2 $

6. Подставим преобразованный числитель обратно в дробь и сократим ее:

$ \frac{-(x-y)^2}{(x-y)^2} = -1 $

Сокращение возможно, так как по условию $x \neq y$, следовательно, $(x-y)^2 \neq 0$.

В результате упрощения мы получили число -1. Это константа, которая не зависит от значений переменных $x$ и $y$, что и требовалось доказать.

Ответ: значение выражения равно -1 и не зависит от переменных.

6.80. Докажите тождество:

1) $\left(a - \frac{a^2 + x^2}{a + x}\right)\left(\frac{2a}{x} + \frac{4a}{a - x}\right) = 2a$

2) $\frac{am^2 - an^2}{m^2 + 2mn + n^2} : \frac{am^2 - 2amn + an^2}{3m + 3n} = \frac{3}{m - n}$

1)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть, выполнив действия по шагам.

Шаг 1: Упростим выражение в первой скобке, приведя его к общему знаменателю.

$a - \frac{a^2 + x^2}{a+x} = \frac{a(a+x)}{a+x} - \frac{a^2+x^2}{a+x} = \frac{a^2 + ax - (a^2+x^2)}{a+x} = \frac{a^2 + ax - a^2 - x^2}{a+x} = \frac{ax - x^2}{a+x} = \frac{x(a-x)}{a+x}$

Шаг 2: Упростим выражение во второй скобке, также приведя его к общему знаменателю.

$\frac{2a}{x} + \frac{4a}{a-x} = \frac{2a(a-x)}{x(a-x)} + \frac{4ax}{x(a-x)} = \frac{2a^2 - 2ax + 4ax}{x(a-x)} = \frac{2a^2 + 2ax}{x(a-x)} = \frac{2a(a+x)}{x(a-x)}$

Шаг 3: Перемножим результаты, полученные на шагах 1 и 2.

$\left(\frac{x(a-x)}{a+x}\right) \cdot \left(\frac{2a(a+x)}{x(a-x)}\right) = \frac{x(a-x) \cdot 2a(a+x)}{(a+x) \cdot x(a-x)}$

Сократим общие множители в числителе и знаменателе: $x$, $(a-x)$ и $(a+x)$. В результате получаем:

$2a$

Левая часть выражения равна $2a$, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

2)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Сначала заменим операцию деления на умножение на обратную дробь.

$\frac{am^2 - an^2}{m^2 + 2mn + n^2} : \frac{am^2 - 2amn + an^2}{3m + 3n} = \frac{am^2 - an^2}{m^2 + 2mn + n^2} \cdot \frac{3m + 3n}{am^2 - 2amn + an^2}$

Далее, разложим на множители числители и знаменатели обеих дробей, используя формулы сокращенного умножения и вынесение общего множителя за скобки.

Числитель первой дроби: $am^2 - an^2 = a(m^2 - n^2) = a(m-n)(m+n)$.

Знаменатель первой дроби: $m^2 + 2mn + n^2 = (m+n)^2$.

Числитель второй дроби (в перевернутом виде): $3m + 3n = 3(m+n)$.

Знаменатель второй дроби (в перевернутом виде): $am^2 - 2amn + an^2 = a(m^2 - 2mn + n^2) = a(m-n)^2$.

Подставим разложенные выражения в произведение:

$\frac{a(m-n)(m+n)}{(m+n)^2} \cdot \frac{3(m+n)}{a(m-n)^2}$

Объединим дроби и сгруппируем множители:

$\frac{3a(m-n)(m+n)(m+n)}{a(m-n)^2(m+n)^2} = \frac{3a(m-n)(m+n)^2}{a(m-n)^2(m+n)^2}$

Сократим общие множители $a$, $(m-n)$ и $(m+n)^2$:

$\frac{3 \cdot \cancel{a} \cdot (m-n) \cdot \cancel{(m+n)^2}}{\cancel{a} \cdot (m-n)^2 \cdot \cancel{(m+n)^2}} = \frac{3(m-n)}{(m-n)^2} = \frac{3}{m-n}$

Левая часть выражения равна $\frac{3}{m-n}$, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

В упражнениях 6.81–6.84 упростите выражения.

6.81. 1) $\frac{3a^2 + 3ab + 3b^2}{4a + 4b} \cdot \frac{2a^2 - 2b^2}{9a^3 - 9b^3}$;

2) $\frac{5x^2 - 10xy + 5y^2}{2x^2 - 2xy + 2y^2} : \frac{8x - 8y}{10x^3 + 10y^3}$;

3) $\frac{a^2 - 5a + 6}{a^2 + 7a + 12} \cdot \frac{a^2 + 3a}{a^2 - 4a + 4}$;

4) $\frac{x^2 + 2x - 3}{x^2 + 3x - 10} : \frac{x^2 + 7x + 12}{x^2 - 9x + 14}$.

1)

Исходное выражение: $ \frac{3a^2 + 3ab + 3b^2}{4a + 4b} \cdot \frac{2a^2 - 2b^2}{9a^3 - 9b^3} $.

Разложим на множители числители и знаменатели дробей.

Числитель первой дроби: $3a^2 + 3ab + 3b^2 = 3(a^2 + ab + b^2)$.

Знаменатель первой дроби: $4a + 4b = 4(a + b)$.

Числитель второй дроби: $2a^2 - 2b^2 = 2(a^2 - b^2) = 2(a - b)(a + b)$ (используя формулу разности квадратов).

Знаменатель второй дроби: $9a^3 - 9b^3 = 9(a^3 - b^3) = 9(a - b)(a^2 + ab + b^2)$ (используя формулу разности кубов).

Подставим разложенные выражения обратно в произведение:

$ \frac{3(a^2 + ab + b^2)}{4(a + b)} \cdot \frac{2(a - b)(a + b)}{9(a - b)(a^2 + ab + b^2)} $.

Сократим общие множители: $(a^2 + ab + b^2)$, $(a + b)$ и $(a - b)$.

$ \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{9} = \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 9} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} $.

Ответ: $ \frac{1}{6} $.

2)

Исходное выражение: $ \frac{5x^2 - 10xy + 5y^2}{2x^2 - 2xy + 2y^2} : \frac{8x - 8y}{10x^3 + 10y^3} $.

Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$ \frac{5x^2 - 10xy + 5y^2}{2x^2 - 2xy + 2y^2} \cdot \frac{10x^3 + 10y^3}{8x - 8y} $.

Разложим на множители числители и знаменатели дробей.

Числитель первой дроби: $5x^2 - 10xy + 5y^2 = 5(x^2 - 2xy + y^2) = 5(x-y)^2$ (формула квадрата разности).

Знаменатель первой дроби: $2x^2 - 2xy + 2y^2 = 2(x^2 - xy + y^2)$.

Числитель второй дроби: $10x^3 + 10y^3 = 10(x^3 + y^3) = 10(x+y)(x^2 - xy + y^2)$ (формула суммы кубов).

Знаменатель второй дроби: $8x - 8y = 8(x-y)$.

Подставим разложенные выражения:

$ \frac{5(x-y)^2}{2(x^2 - xy + y^2)} \cdot \frac{10(x+y)(x^2 - xy + y^2)}{8(x-y)} $.

Сократим общие множители: $(x^2 - xy + y^2)$ и один множитель $(x-y)$.

$ \frac{5(x-y)}{2} \cdot \frac{10(x+y)}{8} = \frac{5(x-y) \cdot 10(x+y)}{2 \cdot 8} = \frac{50(x-y)(x+y)}{16} $.

Сократим числовой коэффициент и применим формулу разности квадратов:

$ \frac{25(x^2-y^2)}{8} $.

Ответ: $ \frac{25(x^2 - y^2)}{8} $.

3)

Исходное выражение: $ \frac{a^2 - 5a + 6}{a^2 + 7a + 12} \cdot \frac{a^2 + 3a}{a^2 - 4a + 4} $.

Разложим на множители квадратные трехчлены.

Числитель первой дроби: $a^2 - 5a + 6$. Корни уравнения $a^2 - 5a + 6 = 0$ равны $a_1=2, a_2=3$. Таким образом, $a^2 - 5a + 6 = (a-2)(a-3)$.

Знаменатель первой дроби: $a^2 + 7a + 12$. Корни уравнения $a^2 + 7a + 12 = 0$ равны $a_1=-3, a_2=-4$. Таким образом, $a^2 + 7a + 12 = (a+3)(a+4)$.

Числитель второй дроби: $a^2 + 3a = a(a+3)$.

Знаменатель второй дроби: $a^2 - 4a + 4 = (a-2)^2$ (формула квадрата разности).

Подставим разложенные выражения:

$ \frac{(a-2)(a-3)}{(a+3)(a+4)} \cdot \frac{a(a+3)}{(a-2)^2} $.

Сократим общие множители: $(a+3)$ и один множитель $(a-2)$.

$ \frac{a-3}{a+4} \cdot \frac{a}{a-2} = \frac{a(a-3)}{(a+4)(a-2)} $.

Ответ: $ \frac{a(a-3)}{(a+4)(a-2)} $.

4)

Исходное выражение: $ \frac{x^2 + 2x - 3}{x^2 + 3x - 10} : \frac{x^2 + 7x + 12}{x^2 - 9x + 14} $.

Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$ \frac{x^2 + 2x - 3}{x^2 + 3x - 10} \cdot \frac{x^2 - 9x + 14}{x^2 + 7x + 12} $.

Разложим на множители квадратные трехчлены.

Числитель первой дроби: $x^2 + 2x - 3$. Корни: $x_1=1, x_2=-3$. Разложение: $(x-1)(x+3)$.

Знаменатель первой дроби: $x^2 + 3x - 10$. Корни: $x_1=2, x_2=-5$. Разложение: $(x-2)(x+5)$.

Числитель второй дроби: $x^2 - 9x + 14$. Корни: $x_1=2, x_2=7$. Разложение: $(x-2)(x-7)$.

Знаменатель второй дроби: $x^2 + 7x + 12$. Корни: $x_1=-3, x_2=-4$. Разложение: $(x+3)(x+4)$.

Подставим разложенные выражения:

$ \frac{(x-1)(x+3)}{(x-2)(x+5)} \cdot \frac{(x-2)(x-7)}{(x+3)(x+4)} $.

Сократим общие множители: $(x+3)$ и $(x-2)$.

$ \frac{x-1}{x+5} \cdot \frac{x-7}{x+4} = \frac{(x-1)(x-7)}{(x+5)(x+4)} $.

Ответ: $ \frac{(x-1)(x-7)}{(x+5)(x+4)} $.

6.82. 1) $\frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}{\frac{1}{x} - \frac{1}{y}}$

2) $\frac{\frac{a}{b} + \frac{b}{a}}{\frac{a}{b} - \frac{b}{a}}$

3) $\frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{2x}}{\frac{1}{x^2} - \frac{1}{2x^2}}$

4) $\frac{a - \frac{x^2}{a}}{x - \frac{a^2}{x}}$

1) Исходное выражение: $ \frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}{\frac{1}{x}-\frac{1}{y}} $.
Чтобы избавиться от многоэтажности дроби, умножим ее числитель и знаменатель на наименьший общий знаменатель внутренних дробей, который равен $xy$.
$ \frac{(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}) \cdot xy}{(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}) \cdot xy} = \frac{\frac{1}{x} \cdot xy + \frac{1}{y} \cdot xy}{\frac{1}{x} \cdot xy - \frac{1}{y} \cdot xy} = \frac{y + x}{y - x} $.
Ответ: $ \frac{y+x}{y-x} $

2) Исходное выражение: $ \frac{\frac{a}{b}+\frac{b}{a}}{\frac{a}{b}-\frac{b}{a}} $.
Умножим числитель и знаменатель дроби на наименьший общий знаменатель внутренних дробей, который равен $ab$.
$ \frac{(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}) \cdot ab}{(\frac{a}{b}-\frac{b}{a}) \cdot ab} = \frac{\frac{a}{b} \cdot ab + \frac{b}{a} \cdot ab}{\frac{a}{b} \cdot ab - \frac{b}{a} \cdot ab} = \frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2} $.
Ответ: $ \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} $

3) Исходное выражение: $ \frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{2x}}{\frac{1}{x^2}-\frac{1}{2x^2}} $.
Сначала упростим числитель и знаменатель дроби по отдельности.
Числитель: $ \frac{1}{x}-\frac{1}{2x} = \frac{2}{2x}-\frac{1}{2x} = \frac{2-1}{2x} = \frac{1}{2x} $.
Знаменатель: $ \frac{1}{x^2}-\frac{1}{2x^2} = \frac{2}{2x^2}-\frac{1}{2x^2} = \frac{2-1}{2x^2} = \frac{1}{2x^2} $.
Теперь разделим упрощенный числитель на упрощенный знаменатель:
$ \frac{\frac{1}{2x}}{\frac{1}{2x^2}} = \frac{1}{2x} \cdot \frac{2x^2}{1} = \frac{2x^2}{2x} = x $.
Ответ: $ x $

4) Исходное выражение: $ \frac{a-\frac{x^2}{a}}{x-\frac{a^2}{x}} $.
Представим числитель и знаменатель в виде обыкновенных дробей.
Числитель: $ a-\frac{x^2}{a} = \frac{a \cdot a}{a} - \frac{x^2}{a} = \frac{a^2-x^2}{a} $.
Знаменатель: $ x-\frac{a^2}{x} = \frac{x \cdot x}{x} - \frac{a^2}{x} = \frac{x^2-a^2}{x} $.
Теперь выполним деление:
$ \frac{\frac{a^2-x^2}{a}}{\frac{x^2-a^2}{x}} = \frac{a^2-x^2}{a} \cdot \frac{x}{x^2-a^2} $.
Заметим, что $ a^2-x^2 = -(x^2-a^2) $. Подставим это в выражение и сократим:
$ \frac{-(x^2-a^2)}{a} \cdot \frac{x}{x^2-a^2} = \frac{- \cancel{(x^2-a^2)}}{a} \cdot \frac{x}{\cancel{x^2-a^2}} = -\frac{x}{a} $.
Ответ: $ -\frac{x}{a} $

6.83. 1) $ \frac{\frac{1}{1-a} + \frac{1}{1+a}}{\frac{1}{1-a} - \frac{1}{1+a}} $

2) $ \frac{\frac{x}{x-1} - \frac{x+1}{x}}{\frac{x}{x+1} - \frac{x-1}{x}} $

3) $ \frac{x - \frac{ay}{y-a}}{y - \frac{ax}{x-a}}. $

1)

Данное выражение является многоэтажной дробью. Для его упрощения сначала выполним действия в числителе и знаменателе основной дроби, а затем выполним деление.

1. Упростим числитель: $ \frac{1}{1-a} + \frac{1}{1+a} $.

Приведем дроби к общему знаменателю $ (1-a)(1+a) = 1-a^2 $:

$ \frac{1 \cdot (1+a)}{(1-a)(1+a)} + \frac{1 \cdot (1-a)}{(1+a)(1-a)} = \frac{1+a+1-a}{(1-a)(1+a)} = \frac{2}{1-a^2} $.

2. Упростим знаменатель: $ \frac{1}{1-a} - \frac{1}{1+a} $.

Общий знаменатель тот же, $ (1-a)(1+a) = 1-a^2 $:

$ \frac{1 \cdot (1+a)}{(1-a)(1+a)} - \frac{1 \cdot (1-a)}{(1+a)(1-a)} = \frac{(1+a)-(1-a)}{(1-a)(1+a)} = \frac{1+a-1+a}{1-a^2} = \frac{2a}{1-a^2} $.

3. Теперь разделим результат, полученный в числителе, на результат, полученный в знаменателе:

$ \frac{\frac{2}{1-a^2}}{\frac{2a}{1-a^2}} $

Деление дробей заменяем на умножение, "перевернув" вторую дробь:

$ \frac{2}{1-a^2} \cdot \frac{1-a^2}{2a} $

Сокращаем $ 2 $ и $ (1-a^2) $ в числителе и знаменателе:

$ \frac{1}{a} $.

Область допустимых значений: $ 1-a \neq 0 \Rightarrow a \neq 1 $; $ 1+a \neq 0 \Rightarrow a \neq -1 $; знаменатель $ \frac{2a}{1-a^2} \neq 0 \Rightarrow a \neq 0 $.

Ответ: $ \frac{1}{a} $

2)

Упростим данное выражение, выполнив поочередно действия в числителе и знаменателе основной дроби.

1. Упростим числитель: $ \frac{x}{x-1} - \frac{x+1}{x} $.

Общий знаменатель: $ x(x-1) $.

$ \frac{x \cdot x}{x(x-1)} - \frac{(x+1)(x-1)}{x(x-1)} = \frac{x^2 - (x^2 - 1^2)}{x(x-1)} = \frac{x^2 - x^2 + 1}{x(x-1)} = \frac{1}{x(x-1)} $.

2. Упростим знаменатель: $ \frac{x}{x+1} - \frac{x-1}{x} $.

Общий знаменатель: $ x(x+1) $.

$ \frac{x \cdot x}{x(x+1)} - \frac{(x-1)(x+1)}{x(x+1)} = \frac{x^2 - (x^2 - 1^2)}{x(x+1)} = \frac{x^2 - x^2 + 1}{x(x+1)} = \frac{1}{x(x+1)} $.

3. Разделим упрощенный числитель на упрощенный знаменатель:

$ \frac{\frac{1}{x(x-1)}}{\frac{1}{x(x+1)}} = \frac{1}{x(x-1)} \cdot \frac{x(x+1)}{1} $

Сокращаем $ x $:

$ \frac{x+1}{x-1} $.

Область допустимых значений: $ x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1 $; $ x \neq 0 $; $ x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1 $.

Ответ: $ \frac{x+1}{x-1} $

3)

Упростим выражение, выполнив вычитание в числителе и знаменателе, а затем деление.

1. Упростим числитель: $ x - \frac{ay}{y-a} $.

Приведем к общему знаменателю $ y-a $:

$ \frac{x(y-a)}{y-a} - \frac{ay}{y-a} = \frac{xy - ax - ay}{y-a} $.

2. Упростим знаменатель: $ y - \frac{ax}{x-a} $.

Приведем к общему знаменателю $ x-a $:

$ \frac{y(x-a)}{x-a} - \frac{ax}{x-a} = \frac{yx - ya - ax}{x-a} = \frac{xy - ay - ax}{x-a} $.

3. Выполним деление полученных дробей:

$ \frac{\frac{xy - ax - ay}{y-a}}{\frac{xy - ay - ax}{x-a}} $

Заменим деление на умножение:

$ \frac{xy - ax - ay}{y-a} \cdot \frac{x-a}{xy - ay - ax} $

Числитель первой дроби и знаменатель второй дроби одинаковы ($ xy - ax - ay $), поэтому их можно сократить (при условии, что они не равны нулю).

$ \frac{x-a}{y-a} $.

Область допустимых значений: $ y-a \neq 0 \Rightarrow y \neq a $; $ x-a \neq 0 \Rightarrow x \neq a $; знаменатель $ y - \frac{ax}{x-a} \neq 0 \Rightarrow xy - ay - ax \neq 0 $.

Ответ: $ \frac{x-a}{y-a} $

6.84. 1) $\frac{a^2 - 1}{n^2 + an} \cdot \left(\frac{1}{1 - \frac{1}{n}} - 1\right) \cdot \frac{a - an^3 - n^4 + n}{1 - a^2}$,

2) $\frac{2a^2 (a+c)^{2n} - 0.5}{an^2 - a^3 - 2a^2 - a} : \frac{2a(a+c)^n - 1}{a^2c - a(nc - c)}$

1)

Упростим данное выражение по частям.

Первый множитель: разложим числитель и знаменатель на множители.

$\frac{a^2-1}{n^2+an} = \frac{(a-1)(a+1)}{n(n+a)}$

Второй множитель (выражение в скобках): приведем к общему знаменателю.

$\frac{1}{1-\frac{1}{n}}-1 = \frac{1}{\frac{n-1}{n}}-1 = \frac{n}{n-1}-1 = \frac{n-(n-1)}{n-1} = \frac{n-n+1}{n-1} = \frac{1}{n-1}$

Третий множитель: разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: $a-an^3-n^4+n = (a+n) - (an^3+n^4) = (a+n) - n^3(a+n) = (a+n)(1-n^3)$.

Используя формулу разности кубов $1-n^3 = (1-n)(1+n+n^2)$, получаем:
$(a+n)(1-n)(1+n+n^2)$.

Знаменатель: $1-a^2 = (1-a)(1+a)$.

Таким образом, третий множитель равен: $\frac{(a+n)(1-n)(1+n+n^2)}{(1-a)(1+a)}$.

Теперь перемножим все упрощенные части:

$\frac{(a-1)(a+1)}{n(n+a)} \cdot \frac{1}{n-1} \cdot \frac{(a+n)(1-n)(1+n+n^2)}{(1-a)(1+a)}$

Заметим, что $a-1 = -(1-a)$ и $1-n = -(n-1)$. Подставим это в выражение для удобства сокращения:

$\frac{-(1-a)(a+1)}{n(n+a)} \cdot \frac{1}{n-1} \cdot \frac{(a+n)(-(n-1))(1+n+n^2)}{(1-a)(1+a)}$

Сокращаем одинаковые множители в числителях и знаменателях:

• $(a+1)$
• $(n+a)$
• $(1-a)$
• $(n-1)$

После сокращения остается:

$\frac{-1}{n} \cdot 1 \cdot \frac{-1 \cdot (1+n+n^2)}{1} = \frac{(-1) \cdot (-1) \cdot (n^2+n+1)}{n} = \frac{n^2+n+1}{n}$

Ответ: $\frac{n^2+n+1}{n}$

2)

Данное выражение представляет собой деление двух дробей. Упростим каждую дробь по отдельности.

Первая дробь (делимое): $\frac{2a^2(a+c)^{2n}-0,5}{an^2-a^3-2a^2-a}$

Упростим числитель, используя формулу разности квадратов:

$2a^2(a+c)^{2n}-0,5 = 2a^2((a+c)^n)^2 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}(4a^2((a+c)^n)^2 - 1) = \frac{1}{2}((2a(a+c)^n)^2 - 1^2) = \frac{1}{2}(2a(a+c)^n-1)(2a(a+c)^n+1)$

Упростим знаменатель, вынося общий множитель и используя формулу разности квадратов:

$an^2-a^3-2a^2-a = a(n^2 - a^2 - 2a - 1) = a(n^2 - (a^2+2a+1)) = a(n^2 - (a+1)^2) = a(n-(a+1))(n+(a+1)) = a(n-a-1)(n+a+1)$

Итак, первая дробь: $\frac{\frac{1}{2}(2a(a+c)^n-1)(2a(a+c)^n+1)}{a(n-a-1)(n+a+1)}$

Вторая дробь (делитель): $\frac{2a(a+c)^n-1}{a^2c-a(nc-c)}$

Числитель $2a(a+c)^n-1$ оставляем без изменений.

Упростим знаменатель:

$a^2c-a(nc-c) = a(ac - (nc-c)) = a(ac-nc+c) = ac(a-n+1)$

Итак, вторая дробь: $\frac{2a(a+c)^n-1}{ac(a-n+1)}$

Теперь выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь:

$\frac{\frac{1}{2}(2a(a+c)^n-1)(2a(a+c)^n+1)}{a(n-a-1)(n+a+1)} \cdot \frac{ac(a-n+1)}{2a(a+c)^n-1}$

Сократим одинаковые множители. Заметим, что $a-n+1 = -(n-a-1)$.

• Сокращаем $(2a(a+c)^n-1)$.
• Сокращаем $a$.
• Сокращаем $(n-a-1)$ и $(a-n+1)$, остается множитель $-1$.

$\frac{\frac{1}{2}(2a(a+c)^n+1)}{(n-a-1)(n+a+1)} \cdot \frac{c(-(n-a-1))}{1} = \frac{\frac{1}{2}(2a(a+c)^n+1)}{n+a+1} \cdot (-c)$

Получаем окончательное выражение:

$\frac{-c(2a(a+c)^n+1)}{2(n+a+1)}$

Ответ: $-\frac{c(2a(a+c)^n+1)}{2(n+a+1)}$