Номер 6.84, страница 183 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.84. 1) $\frac{a^2 - 1}{n^2 + an} \cdot \left(\frac{1}{1 - \frac{1}{n}} - 1\right) \cdot \frac{a - an^3 - n^4 + n}{1 - a^2}$,

2) $\frac{2a^2 (a+c)^{2n} - 0.5}{an^2 - a^3 - 2a^2 - a} : \frac{2a(a+c)^n - 1}{a^2c - a(nc - c)}$

1)

Упростим данное выражение по частям.

Первый множитель: разложим числитель и знаменатель на множители.

$\frac{a^2-1}{n^2+an} = \frac{(a-1)(a+1)}{n(n+a)}$

Второй множитель (выражение в скобках): приведем к общему знаменателю.

$\frac{1}{1-\frac{1}{n}}-1 = \frac{1}{\frac{n-1}{n}}-1 = \frac{n}{n-1}-1 = \frac{n-(n-1)}{n-1} = \frac{n-n+1}{n-1} = \frac{1}{n-1}$

Третий множитель: разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: $a-an^3-n^4+n = (a+n) - (an^3+n^4) = (a+n) - n^3(a+n) = (a+n)(1-n^3)$.

Используя формулу разности кубов $1-n^3 = (1-n)(1+n+n^2)$, получаем:
$(a+n)(1-n)(1+n+n^2)$.

Знаменатель: $1-a^2 = (1-a)(1+a)$.

Таким образом, третий множитель равен: $\frac{(a+n)(1-n)(1+n+n^2)}{(1-a)(1+a)}$.

Теперь перемножим все упрощенные части:

$\frac{(a-1)(a+1)}{n(n+a)} \cdot \frac{1}{n-1} \cdot \frac{(a+n)(1-n)(1+n+n^2)}{(1-a)(1+a)}$

Заметим, что $a-1 = -(1-a)$ и $1-n = -(n-1)$. Подставим это в выражение для удобства сокращения:

$\frac{-(1-a)(a+1)}{n(n+a)} \cdot \frac{1}{n-1} \cdot \frac{(a+n)(-(n-1))(1+n+n^2)}{(1-a)(1+a)}$

Сокращаем одинаковые множители в числителях и знаменателях:

• $(a+1)$
• $(n+a)$
• $(1-a)$
• $(n-1)$

После сокращения остается:

$\frac{-1}{n} \cdot 1 \cdot \frac{-1 \cdot (1+n+n^2)}{1} = \frac{(-1) \cdot (-1) \cdot (n^2+n+1)}{n} = \frac{n^2+n+1}{n}$

Ответ: $\frac{n^2+n+1}{n}$

2)

Данное выражение представляет собой деление двух дробей. Упростим каждую дробь по отдельности.

Первая дробь (делимое): $\frac{2a^2(a+c)^{2n}-0,5}{an^2-a^3-2a^2-a}$

Упростим числитель, используя формулу разности квадратов:

$2a^2(a+c)^{2n}-0,5 = 2a^2((a+c)^n)^2 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}(4a^2((a+c)^n)^2 - 1) = \frac{1}{2}((2a(a+c)^n)^2 - 1^2) = \frac{1}{2}(2a(a+c)^n-1)(2a(a+c)^n+1)$

Упростим знаменатель, вынося общий множитель и используя формулу разности квадратов:

$an^2-a^3-2a^2-a = a(n^2 - a^2 - 2a - 1) = a(n^2 - (a^2+2a+1)) = a(n^2 - (a+1)^2) = a(n-(a+1))(n+(a+1)) = a(n-a-1)(n+a+1)$

Итак, первая дробь: $\frac{\frac{1}{2}(2a(a+c)^n-1)(2a(a+c)^n+1)}{a(n-a-1)(n+a+1)}$

Вторая дробь (делитель): $\frac{2a(a+c)^n-1}{a^2c-a(nc-c)}$

Числитель $2a(a+c)^n-1$ оставляем без изменений.

Упростим знаменатель:

$a^2c-a(nc-c) = a(ac - (nc-c)) = a(ac-nc+c) = ac(a-n+1)$

Итак, вторая дробь: $\frac{2a(a+c)^n-1}{ac(a-n+1)}$

Теперь выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь:

$\frac{\frac{1}{2}(2a(a+c)^n-1)(2a(a+c)^n+1)}{a(n-a-1)(n+a+1)} \cdot \frac{ac(a-n+1)}{2a(a+c)^n-1}$

Сократим одинаковые множители. Заметим, что $a-n+1 = -(n-a-1)$.

• Сокращаем $(2a(a+c)^n-1)$.
• Сокращаем $a$.
• Сокращаем $(n-a-1)$ и $(a-n+1)$, остается множитель $-1$.

$\frac{\frac{1}{2}(2a(a+c)^n+1)}{(n-a-1)(n+a+1)} \cdot \frac{c(-(n-a-1))}{1} = \frac{\frac{1}{2}(2a(a+c)^n+1)}{n+a+1} \cdot (-c)$

Получаем окончательное выражение:

$\frac{-c(2a(a+c)^n+1)}{2(n+a+1)}$

Ответ: $-\frac{c(2a(a+c)^n+1)}{2(n+a+1)}$