Номер 6.85, страница 184 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.85. Найдите значение выражения:

1) $ \frac{ax}{a+x} - \frac{bx}{b-x} $ при $ x = \frac{ab}{a-b} $;

2) $ \frac{x^2 y^2}{x^2 - y^2} $ при $ x = \frac{2ab}{a^2 - b^2} $; $ y = \frac{2ab}{a^2 + b^2} $.

1) Для того чтобы найти значение выражения $ \frac{ax}{a+x} - \frac{bx}{b-x} $ при $ x = \frac{ab}{a-b} $, удобнее сначала по отдельности упростить каждое слагаемое, подставив в него значение $ x $.
Найдем значение первого слагаемого $ \frac{ax}{a+x} $.
Сначала вычислим знаменатель:
$ a+x = a + \frac{ab}{a-b} = \frac{a(a-b) + ab}{a-b} = \frac{a^2 - ab + ab}{a-b} = \frac{a^2}{a-b} $.
Теперь вычислим числитель:
$ ax = a \cdot \frac{ab}{a-b} = \frac{a^2b}{a-b} $.
Таким образом, первое слагаемое равно:
$ \frac{ax}{a+x} = \frac{\frac{a^2b}{a-b}}{\frac{a^2}{a-b}} = \frac{a^2b}{a-b} \cdot \frac{a-b}{a^2} = b $.
Теперь найдем значение второго слагаемого $ \frac{bx}{b-x} $.
Вычислим знаменатель:
$ b-x = b - \frac{ab}{a-b} = \frac{b(a-b) - ab}{a-b} = \frac{ab - b^2 - ab}{a-b} = \frac{-b^2}{a-b} $.
Вычислим числитель:
$ bx = b \cdot \frac{ab}{a-b} = \frac{ab^2}{a-b} $.
Таким образом, второе слагаемое равно:
$ \frac{bx}{b-x} = \frac{\frac{ab^2}{a-b}}{\frac{-b^2}{a-b}} = \frac{ab^2}{a-b} \cdot \frac{a-b}{-b^2} = -a $.
Наконец, найдем разность полученных значений:
$ b - (-a) = a+b $.
Ответ: $ a+b $.

2) Найдем значение выражения $ \frac{x^2y^2}{x^2-y^2} $ при $ x = \frac{2ab}{a^2-b^2} $ и $ y = \frac{2ab}{a^2+b^2} $.
Для удобства преобразуем исходное выражение. Разделим числитель и знаменатель дроби на $ x^2y^2 $ (это возможно, так как из условий $ a \neq 0, b \neq 0, a \neq \pm b $ следует, что $ x \neq 0, y \neq 0 $):
$ \frac{x^2y^2}{x^2-y^2} = \frac{\frac{x^2y^2}{x^2y^2}}{\frac{x^2-y^2}{x^2y^2}} = \frac{1}{\frac{x^2}{x^2y^2} - \frac{y^2}{x^2y^2}} = \frac{1}{\frac{1}{y^2} - \frac{1}{x^2}} $.
Найдем значения $ \frac{1}{x} $ и $ \frac{1}{y} $:
$ \frac{1}{x} = \frac{a^2-b^2}{2ab} $
$ \frac{1}{y} = \frac{a^2+b^2}{2ab} $
Знаменатель $ \frac{1}{y^2} - \frac{1}{x^2} $ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители:
$ \frac{1}{y^2} - \frac{1}{x^2} = \left(\frac{1}{y} - \frac{1}{x}\right)\left(\frac{1}{y} + \frac{1}{x}\right) $.
Вычислим каждый множитель отдельно:
$ \frac{1}{y} - \frac{1}{x} = \frac{a^2+b^2}{2ab} - \frac{a^2-b^2}{2ab} = \frac{a^2+b^2 - (a^2-b^2)}{2ab} = \frac{a^2+b^2 - a^2+b^2}{2ab} = \frac{2b^2}{2ab} = \frac{b}{a} $.
$ \frac{1}{y} + \frac{1}{x} = \frac{a^2+b^2}{2ab} + \frac{a^2-b^2}{2ab} = \frac{a^2+b^2 + a^2-b^2}{2ab} = \frac{2a^2}{2ab} = \frac{a}{b} $.
Теперь перемножим полученные выражения:
$ \left(\frac{1}{y} - \frac{1}{x}\right)\left(\frac{1}{y} + \frac{1}{x}\right) = \frac{b}{a} \cdot \frac{a}{b} = 1 $.
Следовательно, знаменатель преобразованного выражения равен 1.
Тогда значение исходного выражения равно $ \frac{1}{1} = 1 $.
Ответ: $ 1 $.