Номер 6.87, страница 184 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.87. Многочлен $x^8-16$ представьте в виде произведения многочленов второй степени.

Для того чтобы представить многочлен $x^8-16$ в виде произведения многочленов второй степени, мы будем последовательно применять формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$, а также метод выделения полного квадрата.

1. Сначала представим исходный многочлен в виде разности квадратов: $x^8-16 = (x^4)^2 - 4^2$. Применив формулу, получаем:
$x^8 - 16 = (x^4 - 4)(x^4 + 4)$.

2. Теперь разложим на множители первый сомножитель $(x^4 - 4)$. Это также разность квадратов: $(x^2)^2 - 2^2$.
$x^4 - 4 = (x^2 - 2)(x^2 + 2)$.
Многочлены $(x^2 - 2)$ и $(x^2 + 2)$ являются многочленами второй степени.

3. Далее разложим на множители второй сомножитель $(x^4 + 4)$. Это сумма квадратов, для ее разложения воспользуемся приемом выделения полного квадрата. Прибавим и вычтем слагаемое $4x^2$:
$x^4 + 4 = x^4 + 4x^2 + 4 - 4x^2$.
Сгруппируем первые три слагаемых, которые образуют полный квадрат $(x^2+2)^2$:
$(x^4 + 4x^2 + 4) - 4x^2 = (x^2+2)^2 - (2x)^2$.
Мы снова получили разность квадратов, которую можно разложить на множители:
$(x^2+2)^2 - (2x)^2 = (x^2+2 - 2x)(x^2+2 + 2x) = (x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)$.

4. Теперь соберем все полученные множители вместе. Подставим разложения для $(x^4 - 4)$ и $(x^4 + 4)$ в выражение из первого шага:
$x^8 - 16 = (x^2 - 2)(x^2 + 2)(x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)$.
В результате мы представили исходный многочлен в виде произведения четырех многочленов второй степени.

Ответ: $(x^2 - 2)(x^2 + 2)(x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)$.