Номер 6.93, страница 186 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.93. 1) $(\frac{x}{y^2} - \frac{1}{x}) : (\frac{1}{y} + \frac{1}{x});$

3) $\frac{ab + b^2}{3} : \frac{b^3}{3a} + \frac{a+b}{b};$

2) $(\frac{a}{m^2} + \frac{a^2}{m^3}) : (\frac{m^2}{a^2} + \frac{m}{a});$

4) $\frac{x - y}{x} - \frac{5y}{x^2} \cdot \frac{x^2 - xy}{5y}.$

1) $(\frac{x}{y^2} - \frac{1}{x}) : (\frac{1}{y} + \frac{1}{x})$

Сначала упростим выражения в скобках, приведя дроби к общему знаменателю.

Первая скобка: общим знаменателем для $\frac{x}{y^2}$ и $\frac{1}{x}$ является $xy^2$.

$\frac{x}{y^2} - \frac{1}{x} = \frac{x \cdot x}{xy^2} - \frac{1 \cdot y^2}{xy^2} = \frac{x^2 - y^2}{xy^2}$

Вторая скобка: общим знаменателем для $\frac{1}{y}$ и $\frac{1}{x}$ является $xy$.

$\frac{1}{y} + \frac{1}{x} = \frac{1 \cdot x}{xy} + \frac{1 \cdot y}{xy} = \frac{x+y}{xy}$

Теперь выполним деление. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь.

$\frac{x^2 - y^2}{xy^2} : \frac{x+y}{xy} = \frac{x^2 - y^2}{xy^2} \cdot \frac{xy}{x+y}$

Разложим числитель $x^2 - y^2$ по формуле разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.

$\frac{(x-y)(x+y)}{xy^2} \cdot \frac{xy}{x+y}$

Сократим общие множители $(x+y)$, $x$ и $y$ в числителе и знаменателе.

$\frac{(x-y)\cancel{(x+y)}}{\cancel{x}y^{\cancel{2}}} \cdot \frac{\cancel{x}\cancel{y}}{\cancel{(x+y)}} = \frac{x-y}{y}$

Ответ: $\frac{x-y}{y}$

2) $(\frac{a}{m^2} + \frac{a^2}{m^3}) : (\frac{m^2}{a^2} + \frac{m}{a})$

Упростим выражения в каждой из скобок, приведя их к общему знаменателю.

Первая скобка: $\frac{a}{m^2} + \frac{a^2}{m^3} = \frac{a \cdot m}{m^3} + \frac{a^2}{m^3} = \frac{am+a^2}{m^3} = \frac{a(m+a)}{m^3}$

Вторая скобка: $\frac{m^2}{a^2} + \frac{m}{a} = \frac{m^2}{a^2} + \frac{m \cdot a}{a^2} = \frac{m^2+am}{a^2} = \frac{m(m+a)}{a^2}$

Теперь выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь.

$\frac{a(m+a)}{m^3} : \frac{m(m+a)}{a^2} = \frac{a(m+a)}{m^3} \cdot \frac{a^2}{m(m+a)}$

Сократим общий множитель $(m+a)$.

$\frac{a\cancel{(m+a)}}{m^3} \cdot \frac{a^2}{m\cancel{(m+a)}} = \frac{a \cdot a^2}{m^3 \cdot m} = \frac{a^3}{m^4}$

Ответ: $\frac{a^3}{m^4}$

3) $\frac{ab+b^2}{3} : \frac{b^3}{3a} + \frac{a+b}{b}$

В соответствии с порядком действий, сначала выполним деление.

$\frac{ab+b^2}{3} : \frac{b^3}{3a} = \frac{ab+b^2}{3} \cdot \frac{3a}{b^3}$

В числителе первой дроби вынесем за скобки общий множитель $b$: $ab+b^2 = b(a+b)$.

$\frac{b(a+b)}{3} \cdot \frac{3a}{b^3}$

Сократим общие множители $3$ и $b$.

$\frac{\cancel{b}(a+b)}{\cancel{3}} \cdot \frac{\cancel{3}a}{b^{\cancel{3}}b^2} = \frac{a(a+b)}{b^2}$

Теперь выполним сложение с оставшейся дробью.

$\frac{a(a+b)}{b^2} + \frac{a+b}{b}$

Приведем дроби к общему знаменателю $b^2$. Для этого вторую дробь домножим на $b$.

$\frac{a(a+b)}{b^2} + \frac{(a+b) \cdot b}{b \cdot b} = \frac{a(a+b)}{b^2} + \frac{b(a+b)}{b^2}$

Сложим числители дробей.

$\frac{a(a+b) + b(a+b)}{b^2}$

Вынесем в числителе общий множитель $(a+b)$ за скобки.

$\frac{(a+b)(a+b)}{b^2} = \frac{(a+b)^2}{b^2}$

Ответ: $\frac{(a+b)^2}{b^2}$

4) $\frac{x-y}{x} - \frac{5y}{x^2} \cdot \frac{x^2-xy}{5y}$

Первым действием выполним умножение дробей.

$\frac{5y}{x^2} \cdot \frac{x^2-xy}{5y}$

Разложим на множители числитель второй дроби: $x^2-xy = x(x-y)$.

$\frac{5y}{x^2} \cdot \frac{x(x-y)}{5y}$

Сократим общие множители $5y$ и $x$.

$\frac{\cancel{5y}}{x^{\cancel{2}}x} \cdot \frac{\cancel{x}(x-y)}{\cancel{5y}} = \frac{x-y}{x}$

Теперь выполним вычитание.

$\frac{x-y}{x} - \frac{x-y}{x}$

Так как мы вычитаем из выражения само это выражение, результат равен нулю.

$\frac{x-y}{x} - \frac{x-y}{x} = 0$

Ответ: $0$