Номер 6.98, страница 187 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.98. 1) $\frac{4xy}{y^2 - x^2} : \left( \frac{1}{y^2 - x^2} + \frac{1}{x^2 + 2xy + y^2} \right)$;

2) $\left( \frac{x - 2y}{x^2 - 2xy} - \frac{1}{x^2 - 4y^2} : \frac{x + 2y}{(2y - x)^2} \right) \cdot \frac{(x + 2y)^2}{4y^2}$.

1)

Упростим выражение по действиям. Сначала выполним действие в скобках — сложение дробей.

1. Для начала упростим знаменатели дробей в скобках, используя формулы сокращенного умножения: разность квадратов $y^2 - x^2 = (y - x)(y + x)$ и квадрат суммы $x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2$.

Выражение в скобках примет вид:

$\frac{1}{(y - x)(y + x)} + \frac{1}{(x + y)^2}$

2. Приведем дроби к общему знаменателю $(y - x)(y + x)^2$:

$\frac{1 \cdot (y+x)}{(y-x)(y+x)^2} + \frac{1 \cdot (y-x)}{(y-x)(y+x)^2} = \frac{y+x+y-x}{(y-x)(y+x)^2} = \frac{2y}{(y-x)(y+x)^2}$

3. Теперь выполним деление. Заменим знак деления на умножение и перевернем вторую дробь:

$\frac{4xy}{y^2 - x^2} : \frac{2y}{(y-x)(y+x)^2} = \frac{4xy}{(y-x)(y+x)} \cdot \frac{(y-x)(y+x)^2}{2y}$

4. Сократим общие множители в числителе и знаменателе:

$\frac{\cancel{4}^2 x \cancel{y}}{\cancel{(y-x)}\cancel{(y+x)}} \cdot \frac{\cancel{(y-x)}(y+x)^{\cancel{2}}}{\cancel{2}\cancel{y}} = 2x(y+x)$

Результат можно также записать как $2x(x+y)$.

Ответ: $2x(x+y)$

2)

Решим данное выражение по действиям, соблюдая их порядок: сначала деление в скобках, затем вычитание и, наконец, умножение.

1. Выполним деление в скобках: $\frac{1}{x^2 - 4y^2} : \frac{x + 2y}{(2y - x)^2}$.

Разложим знаменатель первой дроби по формуле разности квадратов: $x^2 - 4y^2 = (x - 2y)(x + 2y)$.

Также учтем, что $(2y - x)^2 = (-(x - 2y))^2 = (x - 2y)^2$.

Заменяем деление умножением на обратную дробь и сокращаем:

$\frac{1}{(x-2y)(x+2y)} \cdot \frac{(x-2y)^2}{x+2y} = \frac{(x-2y)^{\cancel{2}}}{\cancel{(x-2y)}(x+2y)(x+2y)} = \frac{x-2y}{(x+2y)^2}$

2. Теперь выполним вычитание в скобках:

$\frac{x-2y}{x^2-2xy} - \frac{x-2y}{(x+2y)^2}$

Упростим первую дробь, вынеся общий множитель $x$ в знаменателе:

$\frac{x-2y}{x(x-2y)} = \frac{1}{x}$

Теперь вычитание выглядит так:

$\frac{1}{x} - \frac{x-2y}{(x+2y)^2}$

Приведем дроби к общему знаменателю $x(x+2y)^2$:

$\frac{1 \cdot (x+2y)^2}{x(x+2y)^2} - \frac{x \cdot (x-2y)}{x(x+2y)^2} = \frac{(x^2+4xy+4y^2) - (x^2-2xy)}{x(x+2y)^2} = \frac{x^2+4xy+4y^2-x^2+2xy}{x(x+2y)^2} = \frac{6xy+4y^2}{x(x+2y)^2}$

Вынесем общий множитель $2y$ в числителе: $\frac{2y(3x+2y)}{x(x+2y)^2}$.

3. Выполним последнее действие — умножение:

$\frac{2y(3x+2y)}{x(x+2y)^2} \cdot \frac{(x+2y)^2}{4y^2}$

Сократим общие множители $(x+2y)^2$ и $2y$:

$\frac{\cancel{2y}(3x+2y)}{x \cancel{(x+2y)^2}} \cdot \frac{\cancel{(x+2y)^2}}{\cancel{4y^2}^{2y}} = \frac{3x+2y}{x \cdot 2y} = \frac{3x+2y}{2xy}$

Ответ: $\frac{3x+2y}{2xy}$