Номер 6.102, страница 187 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.102. 1) $\frac{a - 2}{4a^2 + 16a + 16} : \left( \frac{a}{2a - 4} - \frac{a^2 + 4}{2a^2 - 8} - \frac{2}{a^2 + 2a} \right)$;

2) $\left( \frac{a - x}{a^2 + ax + x^2} - \frac{1}{a - x} \right) \left( \frac{2x + a}{a} + \frac{2a + x}{x} \right)$.

1) $\frac{a-2}{4a^2+16a+16} : (\frac{a}{2a-4} - \frac{a^2+4}{2a^2-8} - \frac{2}{a^2+2a})$

Решим задачу по действиям. Сначала упростим выражение в скобках, а затем выполним деление.

Действие 1: Упрощение выражения в скобках.

$\frac{a}{2a-4} - \frac{a^2+4}{2a^2-8} - \frac{2}{a^2+2a}$

Разложим знаменатели на множители:

• $2a-4 = 2(a-2)$
• $2a^2-8 = 2(a^2-4) = 2(a-2)(a+2)$
• $a^2+2a = a(a+2)$

Общий знаменатель для дробей в скобках: $2a(a-2)(a+2)$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{a \cdot a(a+2)}{2a(a-2)(a+2)} - \frac{(a^2+4) \cdot a}{2a(a-2)(a+2)} - \frac{2 \cdot 2(a-2)}{2a(a-2)(a+2)}$

Объединим числители под общим знаменателем:

$\frac{a^2(a+2) - a(a^2+4) - 4(a-2)}{2a(a-2)(a+2)}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{a^3+2a^2 - a^3-4a - 4a+8}{2a(a-2)(a+2)} = \frac{2a^2 - 8a + 8}{2a(a-2)(a+2)}$

Вынесем общий множитель 2 в числителе и сократим:

$\frac{2(a^2 - 4a + 4)}{2a(a-2)(a+2)} = \frac{(a-2)^2}{a(a-2)(a+2)}$

Сократим на $(a-2)$:

$\frac{a-2}{a(a+2)}$

Действие 2: Деление.

Теперь выполним деление. Упростим знаменатель первой дроби: $4a^2+16a+16 = 4(a^2+4a+4) = 4(a+2)^2$.

Исходное выражение принимает вид:

$\frac{a-2}{4(a+2)^2} : \frac{a-2}{a(a+2)}$

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:

$\frac{a-2}{4(a+2)^2} \cdot \frac{a(a+2)}{a-2}$

Сократим общие множители $(a-2)$ и $(a+2)$:

$\frac{1}{4(a+2)} \cdot \frac{a}{1} = \frac{a}{4(a+2)}$

Ответ: $\frac{a}{4(a+2)}$

2) $(\frac{a-x}{a^2+ax+x^2} - \frac{1}{a-x}) \cdot (\frac{2x+a}{a} + \frac{2a+x}{x})$

Решим задачу по действиям, упрощая выражения в каждой из скобок по отдельности.

Действие 1: Упрощение первой скобки.

$\frac{a-x}{a^2+ax+x^2} - \frac{1}{a-x}$

Общий знаменатель: $(a^2+ax+x^2)(a-x)$, что является формулой разности кубов $a^3-x^3$.

$\frac{(a-x)(a-x) - 1(a^2+ax+x^2)}{(a-x)(a^2+ax+x^2)} = \frac{(a-x)^2 - (a^2+ax+x^2)}{a^3-x^3}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{a^2-2ax+x^2 - a^2-ax-x^2}{a^3-x^3} = \frac{-3ax}{a^3-x^3}$

Действие 2: Упрощение второй скобки.

$\frac{2x+a}{a} + \frac{2a+x}{x}$

Общий знаменатель: $ax$.

$\frac{x(2x+a) + a(2a+x)}{ax} = \frac{2x^2+ax + 2a^2+ax}{ax} = \frac{2a^2+2ax+2x^2}{ax}$

Вынесем общий множитель 2 в числителе:

$\frac{2(a^2+ax+x^2)}{ax}$

Действие 3: Умножение результатов.

Перемножим результаты первого и второго действий:

$(\frac{-3ax}{a^3-x^3}) \cdot (\frac{2(a^2+ax+x^2)}{ax})$

Заменим $a^3-x^3$ на $(a-x)(a^2+ax+x^2)$:

$\frac{-3ax}{(a-x)(a^2+ax+x^2)} \cdot \frac{2(a^2+ax+x^2)}{ax}$

Сократим общие множители $ax$ и $(a^2+ax+x^2)$:

$\frac{-3}{a-x} \cdot \frac{2}{1} = \frac{-6}{a-x}$

Результат можно также записать в виде $\frac{6}{x-a}$.

Ответ: $\frac{-6}{a-x}$