Номер 6.106, страница 188 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.106. Упростите выражение:

1) $ \frac{\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{x}{ab}\right)(a + b + x)}{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{2}{ab} - \frac{x^2}{a^2b^2}} $;

2) $ \frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}{\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ac}} $.

1) Исходное выражение: $ \frac{(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{x}{ab})(a+b+x)}{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{2}{ab} - \frac{x^2}{a^2b^2}} $.
Для упрощения этого выражения преобразуем его знаменатель. Сгруппируем первые три слагаемых в знаменателе, чтобы выделить полный квадрат, а затем применим формулу разности квадратов $ A^2 - B^2 = (A-B)(A+B) $.
Знаменатель: $ \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{2}{ab} - \frac{x^2}{a^2b^2} = (\frac{1}{a^2} + \frac{2}{ab} + \frac{1}{b^2}) - \frac{x^2}{a^2b^2} = (\frac{1}{a} + \frac{1}{b})^2 - (\frac{x}{ab})^2 $
Применяя формулу разности квадратов, получаем: $ (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{x}{ab})(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{x}{ab}) $
Теперь подставим преобразованный знаменатель обратно в исходное выражение: $ \frac{(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{x}{ab})(a+b+x)}{(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{x}{ab})(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{x}{ab})} $
Сократим общий множитель $ (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{x}{ab}) $ в числителе и знаменателе. Получим: $ \frac{a+b+x}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{x}{ab}} $
Теперь упростим знаменатель полученной дроби, приведя слагаемые к общему знаменателю $ ab $: $ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{x}{ab} = \frac{b}{ab} + \frac{a}{ab} + \frac{x}{ab} = \frac{a+b+x}{ab} $
Подставим это в наше выражение: $ \frac{a+b+x}{\frac{a+b+x}{ab}} $
Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь: $ (a+b+x) \cdot \frac{ab}{a+b+x} = ab $
Ответ: $ab$.

2) Исходное выражение: $ \frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}{\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ac}} $.
Для упрощения данной многоэтажной дроби умножим ее числитель и знаменатель на общий знаменатель всех входящих в нее дробей. Общий знаменатель для дробей $ \frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}, \frac{1}{ab}, \frac{1}{bc}, \frac{1}{ac} $ это $ abc $.
$ \frac{(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) \cdot abc}{(\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ac}) \cdot abc} $
Теперь раскроем скобки в числителе и знаменателе.
В числителе: $ (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) \cdot abc = \frac{1}{a} \cdot abc + \frac{1}{b} \cdot abc + \frac{1}{c} \cdot abc = bc + ac + ab $
В знаменателе: $ (\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ac}) \cdot abc = \frac{1}{ab} \cdot abc + \frac{1}{bc} \cdot abc + \frac{1}{ac} \cdot abc = c + a + b $
Таким образом, исходное выражение равно: $ \frac{ab+ac+bc}{a+b+c} $
Ответ: $\frac{ab+bc+ac}{a+b+c}$.