Номер 6.105, страница 188 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.105. Докажите, что значение выражения $\frac{y}{3-y} + \frac{y^2+3y}{2y+3} \left( \frac{y+3}{y^2-3y} - \frac{y}{y^2-9} \right)$ не зависит от значений переменной $y$.

Для того чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной $y$, необходимо упростить это выражение. Мы будем выполнять действия по порядку, сначала в скобках, затем умножение и в конце сложение.

Исходное выражение:

$\frac{y}{3-y} + \frac{y^2+3y}{2y+3} \left( \frac{y+3}{y^2-3y} - \frac{y}{y^2-9} \right)$

1. Упростим выражение в скобках: $\frac{y+3}{y^2-3y} - \frac{y}{y^2-9}$. Для этого разложим знаменатели на множители и приведем дроби к общему знаменателю.

$y^2 - 3y = y(y-3)$

$y^2 - 9 = (y-3)(y+3)$

Общий знаменатель: $y(y-3)(y+3)$.

$\frac{y+3}{y(y-3)} - \frac{y}{(y-3)(y+3)} = \frac{(y+3)(y+3)}{y(y-3)(y+3)} - \frac{y \cdot y}{y(y-3)(y+3)} = \frac{(y+3)^2 - y^2}{y(y-3)(y+3)}$

Упростим числитель, раскрыв квадрат суммы:

$(y+3)^2 - y^2 = (y^2 + 6y + 9) - y^2 = 6y + 9 = 3(2y+3)$

Таким образом, выражение в скобках равно:

$\frac{3(2y+3)}{y(y-3)(y+3)}$

2. Теперь выполним умножение. Подставим упрощенное выражение из скобок в исходное:

$\frac{y^2+3y}{2y+3} \cdot \frac{3(2y+3)}{y(y-3)(y+3)}$

Разложим числитель первой дроби на множители: $y^2+3y = y(y+3)$.

$\frac{y(y+3)}{2y+3} \cdot \frac{3(2y+3)}{y(y-3)(y+3)}$

Сократим общие множители $y$, $(y+3)$ и $(2y+3)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{\cancel{y}(\cancel{y+3})}{\cancel{2y+3}} \cdot \frac{3(\cancel{2y+3})}{\cancel{y}(y-3)(\cancel{y+3})} = \frac{3}{y-3}$

3. Наконец, выполним сложение:

$\frac{y}{3-y} + \frac{3}{y-3}$

Заметим, что $3-y = -(y-3)$. Преобразуем первую дробь:

$\frac{y}{-(y-3)} + \frac{3}{y-3} = -\frac{y}{y-3} + \frac{3}{y-3}$

Сложим дроби с одинаковым знаменателем:

$\frac{-y+3}{y-3} = \frac{3-y}{y-3} = \frac{-(y-3)}{y-3} = -1$

В результате упрощения мы получили константу -1. Это означает, что значение выражения не зависит от переменной $y$ для всех допустимых ее значений.

Ответ: Так как в результате упрощения выражения получилось число -1, его значение не зависит от переменной $y$.