Страница 188 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.105. Докажите, что значение выражения $\frac{y}{3-y} + \frac{y^2+3y}{2y+3} \left( \frac{y+3}{y^2-3y} - \frac{y}{y^2-9} \right)$ не зависит от значений переменной $y$.

Для того чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной $y$, необходимо упростить это выражение. Мы будем выполнять действия по порядку, сначала в скобках, затем умножение и в конце сложение.

Исходное выражение:

$\frac{y}{3-y} + \frac{y^2+3y}{2y+3} \left( \frac{y+3}{y^2-3y} - \frac{y}{y^2-9} \right)$

1. Упростим выражение в скобках: $\frac{y+3}{y^2-3y} - \frac{y}{y^2-9}$. Для этого разложим знаменатели на множители и приведем дроби к общему знаменателю.

$y^2 - 3y = y(y-3)$

$y^2 - 9 = (y-3)(y+3)$

Общий знаменатель: $y(y-3)(y+3)$.

$\frac{y+3}{y(y-3)} - \frac{y}{(y-3)(y+3)} = \frac{(y+3)(y+3)}{y(y-3)(y+3)} - \frac{y \cdot y}{y(y-3)(y+3)} = \frac{(y+3)^2 - y^2}{y(y-3)(y+3)}$

Упростим числитель, раскрыв квадрат суммы:

$(y+3)^2 - y^2 = (y^2 + 6y + 9) - y^2 = 6y + 9 = 3(2y+3)$

Таким образом, выражение в скобках равно:

$\frac{3(2y+3)}{y(y-3)(y+3)}$

2. Теперь выполним умножение. Подставим упрощенное выражение из скобок в исходное:

$\frac{y^2+3y}{2y+3} \cdot \frac{3(2y+3)}{y(y-3)(y+3)}$

Разложим числитель первой дроби на множители: $y^2+3y = y(y+3)$.

$\frac{y(y+3)}{2y+3} \cdot \frac{3(2y+3)}{y(y-3)(y+3)}$

Сократим общие множители $y$, $(y+3)$ и $(2y+3)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{\cancel{y}(\cancel{y+3})}{\cancel{2y+3}} \cdot \frac{3(\cancel{2y+3})}{\cancel{y}(y-3)(\cancel{y+3})} = \frac{3}{y-3}$

3. Наконец, выполним сложение:

$\frac{y}{3-y} + \frac{3}{y-3}$

Заметим, что $3-y = -(y-3)$. Преобразуем первую дробь:

$\frac{y}{-(y-3)} + \frac{3}{y-3} = -\frac{y}{y-3} + \frac{3}{y-3}$

Сложим дроби с одинаковым знаменателем:

$\frac{-y+3}{y-3} = \frac{3-y}{y-3} = \frac{-(y-3)}{y-3} = -1$

В результате упрощения мы получили константу -1. Это означает, что значение выражения не зависит от переменной $y$ для всех допустимых ее значений.

Ответ: Так как в результате упрощения выражения получилось число -1, его значение не зависит от переменной $y$.

6.106. Упростите выражение:

1) $ \frac{\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{x}{ab}\right)(a + b + x)}{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{2}{ab} - \frac{x^2}{a^2b^2}} $;

2) $ \frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}{\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ac}} $.

1) Исходное выражение: $ \frac{(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{x}{ab})(a+b+x)}{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{2}{ab} - \frac{x^2}{a^2b^2}} $.
Для упрощения этого выражения преобразуем его знаменатель. Сгруппируем первые три слагаемых в знаменателе, чтобы выделить полный квадрат, а затем применим формулу разности квадратов $ A^2 - B^2 = (A-B)(A+B) $.
Знаменатель: $ \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{2}{ab} - \frac{x^2}{a^2b^2} = (\frac{1}{a^2} + \frac{2}{ab} + \frac{1}{b^2}) - \frac{x^2}{a^2b^2} = (\frac{1}{a} + \frac{1}{b})^2 - (\frac{x}{ab})^2 $
Применяя формулу разности квадратов, получаем: $ (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{x}{ab})(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{x}{ab}) $
Теперь подставим преобразованный знаменатель обратно в исходное выражение: $ \frac{(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{x}{ab})(a+b+x)}{(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{x}{ab})(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{x}{ab})} $
Сократим общий множитель $ (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{x}{ab}) $ в числителе и знаменателе. Получим: $ \frac{a+b+x}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{x}{ab}} $
Теперь упростим знаменатель полученной дроби, приведя слагаемые к общему знаменателю $ ab $: $ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{x}{ab} = \frac{b}{ab} + \frac{a}{ab} + \frac{x}{ab} = \frac{a+b+x}{ab} $
Подставим это в наше выражение: $ \frac{a+b+x}{\frac{a+b+x}{ab}} $
Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь: $ (a+b+x) \cdot \frac{ab}{a+b+x} = ab $
Ответ: $ab$.

2) Исходное выражение: $ \frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}{\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ac}} $.
Для упрощения данной многоэтажной дроби умножим ее числитель и знаменатель на общий знаменатель всех входящих в нее дробей. Общий знаменатель для дробей $ \frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}, \frac{1}{ab}, \frac{1}{bc}, \frac{1}{ac} $ это $ abc $.
$ \frac{(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) \cdot abc}{(\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ac}) \cdot abc} $
Теперь раскроем скобки в числителе и знаменателе.
В числителе: $ (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) \cdot abc = \frac{1}{a} \cdot abc + \frac{1}{b} \cdot abc + \frac{1}{c} \cdot abc = bc + ac + ab $
В знаменателе: $ (\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ac}) \cdot abc = \frac{1}{ab} \cdot abc + \frac{1}{bc} \cdot abc + \frac{1}{ac} \cdot abc = c + a + b $
Таким образом, исходное выражение равно: $ \frac{ab+ac+bc}{a+b+c} $
Ответ: $\frac{ab+bc+ac}{a+b+c}$.

6.107. Упростите выражение:

1) $\frac{a+b}{ax+by} + \frac{a-b}{ax-by} + \frac{2(a^2x+b^2y)}{a^2x^2+b^2y^2} - \frac{4(a^4x^3-b^4y^3)}{a^4x^4-b^4y^4}$;

2) $(\frac{a^2+b^2}{ab}-2) : (\frac{2a^2+2ab}{a^2+2ab+b^2}-1) \cdot (\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b}).$

Упростим выражение по частям. Сначала сложим первые две дроби, приведя их к общему знаменателю $(ax+by)(ax-by) = a^2x^2 - b^2y^2$.

$ \frac{a+b}{ax+by} + \frac{a-b}{ax-by} = \frac{(a+b)(ax-by) + (a-b)(ax+by)}{(ax+by)(ax-by)} = \frac{(a^2x-aby+abx-b^2y) + (a^2x+aby-abx-b^2y)}{a^2x^2 - b^2y^2} = \frac{2a^2x - 2b^2y}{a^2x^2 - b^2y^2} = \frac{2(a^2x - b^2y)}{a^2x^2 - b^2y^2} $

Теперь выражение имеет вид:

$ \frac{2(a^2x - b^2y)}{a^2x^2 - b^2y^2} + \frac{2(a^2x+b^2y)}{a^2x^2+b^2y^2} - \frac{4(a^4x^3-b^4y^3)}{a^4x^4-b^4y^4} $

Сложим первые две дроби получившегося выражения. Общий знаменатель будет $(a^2x^2-b^2y^2)(a^2x^2+b^2y^2) = a^4x^4 - b^4y^4$.

$ \frac{2(a^2x - b^2y)}{a^2x^2 - b^2y^2} + \frac{2(a^2x+b^2y)}{a^2x^2+b^2y^2} = \frac{2(a^2x - b^2y)(a^2x^2+b^2y^2) + 2(a^2x+b^2y)(a^2x^2-b^2y^2)}{a^4x^4 - b^4y^4} $

Раскроем скобки в числителе:

$ 2(a^4x^3 + a^2b^2xy^2 - a^2b^2x^2y - b^4y^3) + 2(a^4x^3 - a^2b^2xy^2 + a^2b^2x^2y - b^4y^3) = 2(2a^4x^3 - 2b^4y^3) = 4(a^4x^3 - b^4y^3) $

Таким образом, сумма первых трех исходных дробей равна:

$ \frac{4(a^4x^3 - b^4y^3)}{a^4x^4 - b^4y^4} $

Теперь вычтем последнюю дробь из полученного результата:

$ \frac{4(a^4x^3-b^4y^3)}{a^4x^4-b^4y^4} - \frac{4(a^4x^3-b^4y^3)}{a^4x^4-b^4y^4} = 0 $

Ответ: $0$.

Упростим выражение по действиям, предварительно преобразовав каждое выражение в скобках.

1. Первое выражение в скобках:

$ \frac{a^2+b^2}{ab} - 2 = \frac{a^2+b^2-2ab}{ab} = \frac{(a-b)^2}{ab} $

2. Второе выражение в скобках:

$ \frac{2a^2+2ab}{a^2+2ab+b^2} - 1 = \frac{2a(a+b)}{(a+b)^2} - 1 = \frac{2a}{a+b} - 1 = \frac{2a-(a+b)}{a+b} = \frac{a-b}{a+b} $

3. Третье выражение в скобках:

$ \frac{1}{a+b} + \frac{1}{a-b} = \frac{a-b+a+b}{(a+b)(a-b)} = \frac{2a}{a^2-b^2} $

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в исходное:

$ \left( \frac{(a-b)^2}{ab} \right) : \left( \frac{a-b}{a+b} \right) \cdot \left( \frac{2a}{a^2-b^2} \right) $

Выполним деление (заменив его умножением на обратную дробь) и умножение, а также разложим знаменатель последней дроби по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$ \frac{(a-b)^2}{ab} \cdot \frac{a+b}{a-b} \cdot \frac{2a}{(a-b)(a+b)} = \frac{2a(a-b)^2(a+b)}{ab(a-b)(a-b)(a+b)} = \frac{2a(a-b)^2(a+b)}{ab(a-b)^2(a+b)} $

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе ($a$, $(a-b)^2$ и $(a+b)$):

$ \frac{2}{b} $

Ответ: $ \frac{2}{b} $.

6.108. Докажите тождество:

1) $\frac{b-c}{(a-b)(a-c)} + \frac{c-a}{(b-c)(b-a)} + \frac{a-b}{(c-a)(c-b)} = \frac{2}{a-b} + \frac{2}{b-c} + \frac{2}{c-a}$;

2) $\frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)} + \frac{(x-c)(x-a)}{(b-c)(b-a)} + \frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)} = 1$.

1)

Для доказательства тождества преобразуем обе его части к общему знаменателю.
Рассмотрим левую часть (ЛЧ):

$ЛЧ = \frac{b-c}{(a-b)(a-c)} + \frac{c-a}{(b-c)(b-a)} + \frac{a-b}{(c-a)(c-b)}$

Приведем знаменатели к единому виду, используя тождества $b-a = -(a-b)$, $c-a = -(a-c)$ и $c-b = -(b-c)$:

$\frac{c-a}{(b-c)(b-a)} = \frac{c-a}{(b-c)(-(a-b))} = -\frac{c-a}{(a-b)(b-c)}$

$\frac{a-b}{(c-a)(c-b)} = \frac{a-b}{(-(a-c))(-(b-c))} = \frac{a-b}{(a-c)(b-c)}$

Тогда левая часть примет вид:

$ЛЧ = \frac{b-c}{(a-b)(a-c)} - \frac{c-a}{(a-b)(b-c)} + \frac{a-b}{(a-c)(b-c)}$

Общий знаменатель для этих дробей равен $(a-b)(a-c)(b-c)$. Приведем дроби к этому знаменателю:

$ЛЧ = \frac{(b-c)(b-c)}{(a-b)(a-c)(b-c)} - \frac{(c-a)(a-c)}{(a-b)(b-c)(a-c)} + \frac{(a-b)(a-b)}{(a-c)(b-c)(a-b)}$

Заметим, что $-(c-a)(a-c) = -(-(a-c))(a-c) = (a-c)^2$. Таким образом, числитель равен:

$(b-c)^2 + (a-c)^2 + (a-b)^2 = (b^2 - 2bc + c^2) + (a^2 - 2ac + c^2) + (a^2 - 2ab + b^2)$

$= 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ac = 2(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac)$

Итак, левая часть равна:

$ЛЧ = \frac{2(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac)}{(a-b)(a-c)(b-c)}$

Теперь рассмотрим правую часть (ПЧ):

$ПЧ = \frac{2}{a-b} + \frac{2}{b-c} + \frac{2}{c-a}$

Используя $c-a = -(a-c)$, перепишем выражение:

$ПЧ = \frac{2}{a-b} + \frac{2}{b-c} - \frac{2}{a-c}$

Приведем к общему знаменателю $(a-b)(b-c)(a-c)$:

$ПЧ = 2 \left( \frac{(b-c)(a-c)}{(a-b)(b-c)(a-c)} + \frac{(a-b)(a-c)}{(a-b)(b-c)(a-c)} - \frac{(a-b)(b-c)}{(a-b)(b-c)(a-c)} \right)$

Раскроем скобки в числителе:

$2[(b-c)(a-c) + (a-b)(a-c) - (a-b)(b-c)] = $

$= 2[(ab - bc - ac + c^2) + (a^2 - ac - ab + bc) - (ab - b^2 - ac + bc)] = $

$= 2[ab - bc - ac + c^2 + a^2 - ac - ab + bc - ab + b^2 + ac - bc] = $

$= 2(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac)$

Итак, правая часть равна:

$ПЧ = \frac{2(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac)}{(a-b)(a-c)(b-c)}$

Поскольку левая и правая части равны, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Рассмотрим левую часть равенства как функцию от $x$, обозначив ее $L(x)$:

$L(x) = \frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)} + \frac{(x-c)(x-a)}{(b-c)(b-a)} + \frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}$

Поскольку $a, b, c$ - константы, $L(x)$ является многочленом от $x$. Степень каждого слагаемого не выше второй, следовательно, $L(x)$ - многочлен степени не выше 2.
Вычислим коэффициент при $x^2$. Для этого приведем выражение к общему знаменателю. Сначала преобразуем знаменатели слагаемых:

$(b-c)(b-a) = -(b-c)(a-b)$

$(c-a)(c-b) = (-(a-c))(-(b-c)) = (a-c)(b-c)$

Тогда:

$L(x) = \frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)} - \frac{(x-c)(x-a)}{(a-b)(b-c)} + \frac{(x-a)(x-b)}{(a-c)(b-c)}$

В каждом числителе $(x-b)(x-c) = x^2 - (b+c)x + bc$ и т.д., коэффициент при $x^2$ равен 1.
Коэффициент при $x^2$ во всем выражении $L(x)$ равен сумме коэффициентов при $x^2$ в каждом слагаемом:

$\frac{1}{(a-b)(a-c)} - \frac{1}{(a-b)(b-c)} + \frac{1}{(a-c)(b-c)}$

Приводя к общему знаменателю $(a-b)(a-c)(b-c)$, получаем в числителе:

$(b-c) - (a-c) + (a-b) = b - c - a + c + a - b = 0$

Поскольку коэффициент при $x^2$ равен нулю, $L(x)$ на самом деле является многочленом степени не выше 1, то есть имеет вид $L(x) = Kx + M$ для некоторых констант $K$ и $M$.
Чтобы найти $K$ и $M$, вычислим значение $L(x)$ в двух различных точках, например, при $x=a$ и $x=b$.
При $x=a$:

$L(a) = \frac{(a-b)(a-c)}{(a-b)(a-c)} + \frac{(a-c)(a-a)}{(b-c)(b-a)} + \frac{(a-a)(a-b)}{(c-a)(c-b)} = 1 + 0 + 0 = 1$

При $x=b$:

$L(b) = \frac{(b-b)(b-c)}{(a-b)(a-c)} + \frac{(b-c)(b-a)}{(b-c)(b-a)} + \frac{(b-a)(b-b)}{(c-a)(c-b)} = 0 + 1 + 0 = 1$

Мы получили систему уравнений:

$\begin{cases} Ka + M = 1 \\ Kb + M = 1 \end{cases}$

Вычитая второе уравнение из первого, получаем:

$K(a-b) = 0$

Так как по условию $a \neq b$ (иначе знаменатели обращаются в ноль), то $K=0$.
Подставляя $K=0$ в любое из уравнений системы, находим $M=1$.
Следовательно, $L(x) = 0 \cdot x + 1 = 1$ для любого значения $x$.

Ответ: Тождество доказано.

6.109. Упростите выражение:

1) $\frac{x - a}{x - b}$ при $x = \frac{ab}{a + b}$;

2) $\frac{\frac{a}{b} - x}{\frac{b}{a} + x}$ при $x = \frac{a - b}{a + b}$.

1)

Чтобы упростить выражение $\frac{x-a}{x-b}$, подставим в него заданное значение $x = \frac{ab}{a+b}$.

Выражение примет вид:

$\frac{\frac{ab}{a+b} - a}{\frac{ab}{a+b} - b}$

Сначала преобразуем числитель дроби, приведя его к общему знаменателю $(a+b)$:

$\frac{ab}{a+b} - a = \frac{ab}{a+b} - \frac{a(a+b)}{a+b} = \frac{ab - a^2 - ab}{a+b} = \frac{-a^2}{a+b}$

Затем преобразуем знаменатель дроби, также приведя его к общему знаменателю $(a+b)$:

$\frac{ab}{a+b} - b = \frac{ab}{a+b} - \frac{b(a+b)}{a+b} = \frac{ab - ab - b^2}{a+b} = \frac{-b^2}{a+b}$

Теперь подставим полученные выражения обратно в исходную дробь:

$\frac{\frac{-a^2}{a+b}}{\frac{-b^2}{a+b}}$

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$\frac{-a^2}{a+b} \cdot \frac{a+b}{-b^2}$

Сокращаем общий множитель $(a+b)$ (это возможно, так как по условию $a+b$ находится в знаменателе и не может быть равен нулю) и знаки "минус":

$\frac{a^2}{b^2}$

Ответ: $\frac{a^2}{b^2}$.

2)

Чтобы упростить выражение $\frac{\frac{a}{b} - x}{\frac{b}{a} + x}$, подставим в него заданное значение $x = \frac{a-b}{a+b}$.

Выражение примет вид:

$\frac{\frac{a}{b} - \frac{a-b}{a+b}}{\frac{b}{a} + \frac{a-b}{a+b}}$

Сначала преобразуем числитель. Общий знаменатель для выражений в числителе будет $b(a+b)$:

$\frac{a}{b} - \frac{a-b}{a+b} = \frac{a(a+b) - b(a-b)}{b(a+b)} = \frac{a^2 + ab - ab + b^2}{b(a+b)} = \frac{a^2+b^2}{b(a+b)}$

Затем преобразуем знаменатель. Общий знаменатель для выражений в знаменателе будет $a(a+b)$:

$\frac{b}{a} + \frac{a-b}{a+b} = \frac{b(a+b) + a(a-b)}{a(a+b)} = \frac{ab + b^2 + a^2 - ab}{a(a+b)} = \frac{a^2+b^2}{a(a+b)}$

Теперь разделим полученный числитель на полученный знаменатель:

$\frac{\frac{a^2+b^2}{b(a+b)}}{\frac{a^2+b^2}{a(a+b)}}$

Умножим числитель на перевернутый знаменатель:

$\frac{a^2+b^2}{b(a+b)} \cdot \frac{a(a+b)}{a^2+b^2}$

Сокращаем общие множители $(a^2+b^2)$ и $(a+b)$ (предполагая, что они не равны нулю, что следует из вида исходного выражения):

$\frac{a}{b}$

Ответ: $\frac{a}{b}$.

6.110. Упростите выражение:

1) $\frac{x - \frac{yz}{y-z}}{y - \frac{xz}{x-z}};$

2) $\frac{\frac{a-b}{c-b} - \frac{b+c}{a+b}}{\frac{a+b}{c-b} + \frac{b-c}{a+b}}$.

1)

Чтобы упростить данное выражение, преобразуем сначала числитель и знаменатель основной дроби по отдельности.

Исходное выражение: $ \frac{x - \frac{yz}{y-z}}{y - \frac{xz}{x-z}} $

1. Преобразуем числитель. Приведем выражение $x - \frac{yz}{y-z}$ к общему знаменателю $(y-z)$: $$ x - \frac{yz}{y-z} = \frac{x(y-z)}{y-z} - \frac{yz}{y-z} = \frac{x(y-z) - yz}{y-z} = \frac{xy - xz - yz}{y-z} $$

2. Преобразуем знаменатель. Приведем выражение $y - \frac{xz}{x-z}$ к общему знаменателю $(x-z)$: $$ y - \frac{xz}{x-z} = \frac{y(x-z)}{x-z} - \frac{xz}{x-z} = \frac{y(x-z) - xz}{x-z} = \frac{xy - yz - xz}{x-z} $$

3. Теперь подставим полученные выражения обратно в исходную дробь: $$ \frac{\frac{xy - xz - yz}{y-z}}{\frac{xy - yz - xz}{x-z}} $$

4. Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй: $$ \frac{xy - xz - yz}{y-z} \cdot \frac{x-z}{xy - yz - xz} $$

5. Сократим одинаковые множители $(xy - xz - yz)$ в числителе и знаменателе: $$ \frac{\cancel{(xy - xz - yz)}}{y-z} \cdot \frac{x-z}{\cancel{(xy - xz - yz)}} = \frac{x-z}{y-z} $$

Ответ: $ \frac{x-z}{y-z} $

2)

Упростим данное выражение, так же как и в первом примере, преобразовав числитель и знаменатель основной дроби.

Исходное выражение: $ \frac{\frac{a-b}{c-b} - \frac{b+c}{a+b}}{\frac{a+b}{c-b} + \frac{b-c}{a+b}} $

1. Преобразуем числитель. Общий знаменатель для дробей $ \frac{a-b}{c-b} $ и $ \frac{b+c}{a+b} $ равен $(c-b)(a+b)$: $$ \frac{(a-b)(a+b)}{(c-b)(a+b)} - \frac{(b+c)(c-b)}{(c-b)(a+b)} = \frac{(a^2-b^2) - (c^2-b^2)}{(c-b)(a+b)} = \frac{a^2-b^2-c^2+b^2}{(c-b)(a+b)} = \frac{a^2-c^2}{(c-b)(a+b)} $$

2. Преобразуем знаменатель. Общий знаменатель для дробей $ \frac{a+b}{c-b} $ и $ \frac{b-c}{a+b} $ равен $(c-b)(a+b)$. Обратим внимание, что $b-c = -(c-b)$. $$ \frac{a+b}{c-b} + \frac{b-c}{a+b} = \frac{(a+b)(a+b)}{(c-b)(a+b)} + \frac{(b-c)(c-b)}{(c-b)(a+b)} = \frac{(a+b)^2 - (c-b)^2}{(c-b)(a+b)} $$ Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$ к числителю: $$ (a+b)^2 - (c-b)^2 = ((a+b)-(c-b))((a+b)+(c-b)) = (a+b-c+b)(a+b+c-b) = (a-c+2b)(a+c) $$ Таким образом, знаменатель равен: $$ \frac{(a-c+2b)(a+c)}{(c-b)(a+b)} $$

3. Подставим упрощенные выражения в основную дробь: $$ \frac{\frac{a^2-c^2}{(c-b)(a+b)}}{\frac{(a-c+2b)(a+c)}{(c-b)(a+b)}} $$

4. Выполним деление дробей, умножив числитель на перевернутый знаменатель: $$ \frac{a^2-c^2}{(c-b)(a+b)} \cdot \frac{(c-b)(a+b)}{(a-c+2b)(a+c)} = \frac{a^2-c^2}{(a-c+2b)(a+c)} $$

5. Разложим числитель $ a^2-c^2 $ как разность квадратов $(a-c)(a+c)$ и сократим дробь: $$ \frac{(a-c)(a+c)}{(a-c+2b)(a+c)} = \frac{a-c}{a-c+2b} $$

Ответ: $ \frac{a-c}{a-c+2b} $