Страница 191 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 7.11–7.17 выполните указанные действия.

7.11. 1) $\frac{a}{xy} + \frac{a}{xu}$; 2) $\frac{m}{ab} - \frac{n}{ac}$; 3) $\frac{5x^2 - y^2}{xy} - \frac{3x - 2y}{y}$.

1) Чтобы сложить дроби $\frac{a}{xy}$ и $\frac{a}{xu}$, необходимо привести их к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для выражений $xy$ и $xu$ является $xyu$.

Дополнительный множитель для первой дроби – это $u$. Дополнительный множитель для второй дроби – это $y$.

Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель и выполним сложение:

$\frac{a}{xy} + \frac{a}{xu} = \frac{a \cdot u}{xy \cdot u} + \frac{a \cdot y}{xu \cdot y} = \frac{au}{xyu} + \frac{ay}{xyu} = \frac{au + ay}{xyu}$

Вынесем общий множитель $a$ в числителе за скобки для упрощения выражения:

$\frac{a(u + y)}{xyu}$

Ответ: $\frac{a(y+u)}{xyu}$

2) Для вычитания дробей $\frac{m}{ab} - \frac{n}{ac}$ также требуется найти общий знаменатель. Наименьший общий знаменатель для $ab$ и $ac$ – это $abc$.

Дополнительный множитель для первой дроби $\frac{m}{ab}$ равен $c$. Дополнительный множитель для второй дроби $\frac{n}{ac}$ равен $b$.

Приведем дроби к общему знаменателю и выполним вычитание:

$\frac{m}{ab} - \frac{n}{ac} = \frac{m \cdot c}{ab \cdot c} - \frac{n \cdot b}{ac \cdot b} = \frac{mc}{abc} - \frac{nb}{abc} = \frac{mc - nb}{abc}$

Числитель дальше не упрощается.

Ответ: $\frac{mc - nb}{abc}$

3) Чтобы выполнить вычитание $\frac{5x^2 - y^2}{xy} - \frac{3x - 2y}{y}$, приведем дроби к общему знаменателю. Общим знаменателем для $xy$ и $y$ является $xy$.

Первая дробь уже имеет нужный знаменатель. Дополнительный множитель для второй дроби $\frac{3x - 2y}{y}$ – это $x$.

Умножим числитель и знаменатель второй дроби на $x$:

$\frac{3x - 2y}{y} = \frac{(3x - 2y) \cdot x}{y \cdot x} = \frac{3x^2 - 2xy}{xy}$

Теперь выполним вычитание дробей. Важно помнить, что знак "минус" перед второй дробью меняет знаки всех слагаемых в ее числителе на противоположные:

$\frac{5x^2 - y^2}{xy} - \frac{3x^2 - 2xy}{xy} = \frac{(5x^2 - y^2) - (3x^2 - 2xy)}{xy} = \frac{5x^2 - y^2 - 3x^2 + 2xy}{xy}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(5x^2 - 3x^2) + 2xy - y^2}{xy} = \frac{2x^2 + 2xy - y^2}{xy}$

Ответ: $\frac{2x^2 + 2xy - y^2}{xy}$

7.12. 1) $\frac{5x}{ab} + \frac{2y}{3a^2b} - \frac{3}{6a^2b^2}$;

2) $\frac{2a-3b}{a^2b} - \frac{4a-5b}{ab^2}$;

3) $\frac{5a^2-2a-1}{a^2b} - \frac{3a-2}{ab}$.

1) Исходное выражение: $ \frac{5x}{ab} + \frac{2y}{3a^2b} - \frac{3}{6a^2b^2} $.
Сначала упростим последнюю дробь, сократив числитель и знаменатель на 3: $ \frac{3}{6a^2b^2} = \frac{1}{2a^2b^2} $.
Теперь выражение выглядит так: $ \frac{5x}{ab} + \frac{2y}{3a^2b} - \frac{1}{2a^2b^2} $.
Найдем наименьший общий знаменатель (НОЗ) для знаменателей $ ab $, $ 3a^2b $ и $ 2a^2b^2 $.
Для числовых коэффициентов 1, 3 и 2 НОЗ равен 6.
Для переменных $ a $ и $ a^2 $ выбираем наибольшую степень, то есть $ a^2 $.
Для переменных $ b $, $ b $ и $ b^2 $ выбираем наибольшую степень, то есть $ b^2 $.
Таким образом, НОЗ равен $ 6a^2b^2 $.
Теперь найдем дополнительные множители для каждой дроби:
Для первой дроби: $ 6a^2b^2 \div (ab) = 6ab $.
Для второй дроби: $ 6a^2b^2 \div (3a^2b) = 2b $.
Для третьей дроби: $ 6a^2b^2 \div (2a^2b^2) = 3 $.
Приведем дроби к общему знаменателю и выполним действия:
$ \frac{5x \cdot 6ab}{6a^2b^2} + \frac{2y \cdot 2b}{6a^2b^2} - \frac{1 \cdot 3}{6a^2b^2} = \frac{30abx + 4by - 3}{6a^2b^2} $.
Ответ: $ \frac{30abx + 4by - 3}{6a^2b^2} $

2) Исходное выражение: $ \frac{2a - 3b}{a^2b} - \frac{4a - 5b}{ab^2} $.
Найдем наименьший общий знаменатель для $ a^2b $ и $ ab^2 $.
Для переменной $ a $ выбираем наибольшую степень $ a^2 $.
Для переменной $ b $ выбираем наибольшую степень $ b^2 $.
НОЗ равен $ a^2b^2 $.
Найдем дополнительные множители:
Для первой дроби: $ a^2b^2 \div (a^2b) = b $.
Для второй дроби: $ a^2b^2 \div (ab^2) = a $.
Приведем дроби к общему знаменателю и выполним вычитание:
$ \frac{(2a - 3b) \cdot b}{a^2b^2} - \frac{(4a - 5b) \cdot a}{a^2b^2} = \frac{b(2a - 3b) - a(4a - 5b)}{a^2b^2} $.
Раскроем скобки в числителе:
$ \frac{2ab - 3b^2 - (4a^2 - 5ab)}{a^2b^2} = \frac{2ab - 3b^2 - 4a^2 + 5ab}{a^2b^2} $.
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$ \frac{(2ab + 5ab) - 4a^2 - 3b^2}{a^2b^2} = \frac{7ab - 4a^2 - 3b^2}{a^2b^2} $.
Ответ: $ \frac{7ab - 4a^2 - 3b^2}{a^2b^2} $

3) Исходное выражение: $ \frac{5a^2 - 2a - 1}{a^2b} - \frac{3a - 2}{ab} $.
Найдем наименьший общий знаменатель для $ a^2b $ и $ ab $.
Для переменной $ a $ выбираем наибольшую степень $ a^2 $.
Для переменной $ b $ выбираем наибольшую степень $ b $.
НОЗ равен $ a^2b $.
Найдем дополнительный множитель для второй дроби (первая уже имеет нужный знаменатель):
$ a^2b \div (ab) = a $.
Приведем дроби к общему знаменателю и выполним вычитание:
$ \frac{5a^2 - 2a - 1}{a^2b} - \frac{(3a - 2) \cdot a}{a^2b} = \frac{5a^2 - 2a - 1 - a(3a - 2)}{a^2b} $.
Раскроем скобки в числителе:
$ \frac{5a^2 - 2a - 1 - (3a^2 - 2a)}{a^2b} = \frac{5a^2 - 2a - 1 - 3a^2 + 2a}{a^2b} $.
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$ \frac{(5a^2 - 3a^2) + (-2a + 2a) - 1}{a^2b} = \frac{2a^2 - 1}{a^2b} $.
Ответ: $ \frac{2a^2 - 1}{a^2b} $

7.13. 1) ($\left(\frac{b^2xy}{9a^5} : \frac{7xy}{12a^5}\right) \cdot \frac{28a^4}{3b^2}$;$)

2) ($\frac{3mx^2y}{2a^2b^2} \cdot \frac{3abc}{8p^2q^2} : \frac{9a^2b^2c^3}{28xpq}.$)

1) $(\frac{b^2xy}{9a^5} : \frac{7xy}{12a^5}) \cdot \frac{28a^4}{3b^2}$

Сначала выполним действие в скобках. Деление дробей заменяется умножением на обратную (перевернутую) дробь.

$\frac{b^2xy}{9a^5} : \frac{7xy}{12a^5} = \frac{b^2xy}{9a^5} \cdot \frac{12a^5}{7xy}$

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе. Сокращаем $xy$ и $a^5$. Также сокращаем числовые коэффициенты 9 и 12 на 3.

$\frac{b^2\cancel{xy}}{\cancel{9}^3\cancel{a^5}} \cdot \frac{\cancel{12}^4\cancel{a^5}}{7\cancel{xy}} = \frac{b^2 \cdot 4}{3 \cdot 7} = \frac{4b^2}{21}$

Теперь результат умножим на вторую дробь.

$\frac{4b^2}{21} \cdot \frac{28a^4}{3b^2}$

Сократим $b^2$ в числителе и знаменателе. Также сократим числовые коэффициенты 21 и 28 на 7.

$\frac{4\cancel{b^2}}{\cancel{21}^3} \cdot \frac{\cancel{28}^4a^4}{3\cancel{b^2}} = \frac{4 \cdot 4a^4}{3 \cdot 3} = \frac{16a^4}{9}$

Ответ: $\frac{16a^4}{9}$

2) $\frac{3mx^2y}{2a^2b^2} \cdot \frac{3abc}{8p^2q^2} : \frac{9a^2b^2c^3}{28xpq}$

Действия умножения и деления выполняются последовательно слева направо. Заменим деление на последнюю дробь умножением на обратную ей дробь.

$\frac{3mx^2y}{2a^2b^2} \cdot \frac{3abc}{8p^2q^2} \cdot \frac{28xpq}{9a^2b^2c^3}$

Запишем все множители под одной дробной чертой.

$\frac{3mx^2y \cdot 3abc \cdot 28xpq}{2a^2b^2 \cdot 8p^2q^2 \cdot 9a^2b^2c^3}$

Сгруппируем числовые коэффициенты и переменные, чтобы упростить сокращение.

$\frac{(3 \cdot 3 \cdot 28) \cdot (a \cdot a^2 \cdot a^2) \cdot (b \cdot b^2 \cdot b^2) \cdot (c \cdot c^3) \cdot m \cdot (x^2 \cdot x) \cdot y \cdot (p \cdot p^2) \cdot (q \cdot q^2)}{(2 \cdot 8 \cdot 9) \cdot a^{2+2} \cdot b^{2+2} \cdot c^3 \cdot p^2 \cdot q^2} = \frac{252 \cdot abcmx^3ypq}{144 \cdot a^4b^4c^3p^2q^2}$

Сократим числовые коэффициенты. $3 \cdot 3 = 9$, этот множитель сокращается с 9 в знаменателе. $28$ и $2 \cdot 8 = 16$ сокращаются на 4.

$\frac{\cancel{9} \cdot \cancel{28}^7 \cdot abcmx^3ypq}{\cancel{16}^4 \cdot \cancel{9} \cdot a^4b^4c^3p^2q^2} = \frac{7abcmx^3ypq}{4a^4b^4c^3p^2q^2}$

Теперь сократим переменные, используя правило $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$.

$a^1 / a^4 = a^{1-4} = a^{-3} = \frac{1}{a^3}$

$b^1 / b^4 = b^{1-4} = b^{-3} = \frac{1}{b^3}$

$c^1 / c^3 = c^{1-3} = c^{-2} = \frac{1}{c^2}$

$p^1 / p^2 = p^{1-2} = p^{-1} = \frac{1}{p}$

$q^1 / q^2 = q^{1-2} = q^{-1} = \frac{1}{q}$

Переменные $m$, $x^3$, $y$ остаются в числителе. Соберем все вместе:

$\frac{7mx^3y}{4a^3b^3c^2pq}$

Ответ: $\frac{7mx^3y}{4a^3b^3c^2pq}$

7.14. 1) $(1+x)(1-x)(1+x^2);$

2) $5x^2-3(x+1)(x-1).$

1) $(1+x)(1-x)(1+x^2)$

Для решения этой задачи мы последовательно применим формулу сокращенного умножения "разность квадратов": $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

Сначала рассмотрим произведение первых двух множителей: $(1+x)(1-x)$.

Применяя формулу, где $a=1$ и $b=x$, получаем:

$(1+x)(1-x) = 1^2 - x^2 = 1 - x^2$

Теперь исходное выражение можно переписать так:

$(1-x^2)(1+x^2)$

Мы снова получили выражение, к которому можно применить ту же формулу разности квадратов. На этот раз $a=1$ и $b=x^2$.

$(1-x^2)(1+x^2) = 1^2 - (x^2)^2 = 1 - x^4$

Ответ: $1-x^4$

2) $5x^2-3(x+1)(x-1)$

Сначала упростим произведение $(x+1)(x-1)$. Это формула разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$, где $a=x$ и $b=1$.

$(x+1)(x-1) = x^2 - 1^2 = x^2 - 1$

Теперь подставим полученное выражение в исходное:

$5x^2 - 3(x^2 - 1)$

Далее раскроем скобки, умножив $-3$ на каждый член в скобках:

$5x^2 - 3 \cdot x^2 - 3 \cdot (-1) = 5x^2 - 3x^2 + 3$

Осталось привести подобные слагаемые (члены с $x^2$):

$(5-3)x^2 + 3 = 2x^2 + 3$

Ответ: $2x^2+3$

7.15. 1) $(x^3+8) : (x^2-2x+4)$;

2) $(a^3+27b^3) : (a+3b)$.

1) Чтобы выполнить деление $(x^3+8) : (x^2-2x+4)$, воспользуемся формулой сокращенного умножения для суммы кубов: $A^3+B^3 = (A+B)(A^2-AB+B^2)$.

В выражении $x^3+8$ можно увидеть сумму кубов, где $A=x$ и $B=2$, поскольку $8=2^3$.

Применим формулу, чтобы разложить $x^3+8$ на множители:

$x^3+8 = x^3+2^3 = (x+2)(x^2 - x \cdot 2 + 2^2) = (x+2)(x^2-2x+4)$.

Теперь исходное выражение для деления можно переписать следующим образом:

$(x+2)(x^2-2x+4) : (x^2-2x+4)$.

Так как мы делим произведение на один из его множителей, результатом будет другой множитель. То есть:

$\frac{(x+2)(x^2-2x+4)}{x^2-2x+4} = x+2$.

Ответ: $x+2$.

2) Для решения выражения $(a^3+27b^3) : (a+3b)$ также применим формулу суммы кубов: $A^3+B^3 = (A+B)(A^2-AB+B^2)$.

В выражении $a^3+27b^3$ представим $27b^3$ как куб выражения $3b$, то есть $27b^3 = (3b)^3$.

Теперь у нас есть сумма кубов, где $A=a$ и $B=3b$. Разложим ее на множители по формуле:

$a^3+(3b)^3 = (a+3b)(a^2 - a \cdot (3b) + (3b)^2) = (a+3b)(a^2-3ab+9b^2)$.

Подставим это разложение в исходное выражение:

$(a+3b)(a^2-3ab+9b^2) : (a+3b)$.

Выполним деление, сократив общий множитель $(a+3b)$:

$\frac{(a+3b)(a^2-3ab+9b^2)}{a+3b} = a^2-3ab+9b^2$.

Ответ: $a^2-3ab+9b^2$.

7.16. 1) $ [x(x+2y)+y^2] \cdot [x^2-y(2x-y)]:[ (x-y)(x+y)] $;

2) $ (8a^3-0.027):(2a-0.3)-(a+1)^2 $.

Упростим выражение $[x(x+2y)+y^2] \cdot [x^2-y(2x-y)] : [(x-y)(x+y)]$ по действиям.

1. Раскроем скобки в первом множителе: $x(x+2y)+y^2 = x^2+2xy+y^2$. Это выражение является полным квадратом суммы, который можно свернуть по формуле $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$. Получаем $(x+y)^2$.

2. Раскроем скобки во втором множителе: $x^2-y(2x-y) = x^2-2xy+y^2$. Это выражение является полным квадратом разности, который можно свернуть по формуле $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$. Получаем $(x-y)^2$.

3. Выражение в делителе $(x-y)(x+y)$ является формулой разности квадратов: $x^2-y^2$.

4. Подставим упрощенные выражения в исходное: $(x+y)^2 \cdot (x-y)^2 : ((x-y)(x+y))$.

Запишем деление в виде дроби и произведем сокращение:

$\frac{(x+y)^2 \cdot (x-y)^2}{(x-y)(x+y)} = \frac{(x+y) \cdot (x+y) \cdot (x-y) \cdot (x-y)}{(x-y) \cdot (x+y)}$

Сократив по одному множителю $(x+y)$ и $(x-y)$ в числителе и знаменателе, получим:

$(x+y)(x-y)$

Применяя формулу разности квадратов, получаем окончательный результат: $x^2-y^2$.

Ответ: $x^2-y^2$

Упростим выражение $(8a^3-0,027):(2a-0,3)-(a+1)^2$ по действиям.

1. Сначала выполним деление. Заметим, что выражение $8a^3-0,027$ является разностью кубов, так как $8a^3=(2a)^3$ и $0,027=(0,3)^3$.

Воспользуемся формулой разности кубов $A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)$:

$8a^3-0,027 = (2a)^3 - (0,3)^3 = (2a-0,3)((2a)^2 + 2a \cdot 0,3 + (0,3)^2) = (2a-0,3)(4a^2+0,6a+0,09)$.

Теперь выполним деление:

$(8a^3-0,027):(2a-0,3) = \frac{(2a-0,3)(4a^2+0,6a+0,09)}{2a-0,3} = 4a^2+0,6a+0,09$.

2. Теперь рассмотрим вторую часть выражения: $(a+1)^2$. Раскроем скобки по формуле квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:

$(a+1)^2 = a^2+2 \cdot a \cdot 1+1^2 = a^2+2a+1$.

3. Подставим полученные результаты в исходное выражение и выполним вычитание:

$(4a^2+0,6a+0,09) - (a^2+2a+1)$

Раскроем скобки, меняя знаки на противоположные, и приведем подобные слагаемые:

$4a^2+0,6a+0,09 - a^2-2a-1 = (4a^2-a^2) + (0,6a-2a) + (0,09-1) = 3a^2-1,4a-0,91$.

Ответ: $3a^2-1,4a-0,91$

7.17. 1) $x^m : x^n;$

2) $-y^{2m} : y^m;$

3) $a^{2n+2} \cdot a^{2-n};$

4) $b^{2n+1} \cdot b^{1-2n}.$

1) Чтобы разделить степени с одинаковым основанием, нужно основание оставить прежним, а из показателя степени делимого вычесть показатель степени делителя. Это свойство записывается формулой: $a^p : a^q = a^{p-q}$.

Применим это правило к выражению $x^m : x^n$:

$x^m : x^n = x^{m-n}$

Ответ: $x^{m-n}$

2) Для выражения $-y^{2m} : y^m$ сначала выполним деление степеней с одинаковым основанием $y$, а затем учтем знак минус.

Используя правило деления степеней $a^p : a^q = a^{p-q}$, получаем:

$y^{2m} : y^m = y^{2m-m} = y^m$

Теперь добавим знак минус, который стоял перед выражением:

$-y^{2m} : y^m = -(y^m) = -y^m$

Ответ: $-y^m$

3) Чтобы умножить степени с одинаковым основанием, нужно основание оставить прежним, а показатели степеней сложить. Это свойство записывается формулой: $a^p \cdot a^q = a^{p+q}$.

Применим это правило к выражению $a^{2n+2} \cdot a^{2-n}$:

$a^{2n+2} \cdot a^{2-n} = a^{(2n+2) + (2-n)}$

Теперь упростим показатель степени, сложив выражения в скобках:

$(2n+2) + (2-n) = 2n + 2 + 2 - n = (2n - n) + (2 + 2) = n + 4$

Таким образом, итоговое выражение равно:

$a^{n+4}$

Ответ: $a^{n+4}$

4) В данном выражении $b^{2n+1} \cdot b^{1-2n}$ мы также умножаем степени с одинаковым основанием $b$.

Используем правило умножения степеней $a^p \cdot a^q = a^{p+q}$:

$b^{2n+1} \cdot b^{1-2n} = b^{(2n+1) + (1-2n)}$

Упростим показатель степени, выполнив сложение:

$(2n+1) + (1-2n) = 2n + 1 + 1 - 2n = (2n - 2n) + (1 + 1) = 0 + 2 = 2$

В результате получаем:

$b^{2}$

Ответ: $b^2$

7.18. Вычислите наиболее рациональным способом:

1) $2,4 \cdot 1,6$;

2) $49 \cdot 51$;

3) $86^2 - 14^2$;

4) $\left(3\frac{4}{5}\right)^2 - \left(2\frac{1}{5}\right)^2$.

1) Для вычисления произведения $2,4 \cdot 1,6$ наиболее рациональным способом является использование формулы разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. Представим числа $2,4$ и $1,6$ в виде суммы и разности относительно их среднего арифметического: $\frac{2,4 + 1,6}{2} = 2$. Таким образом, $2,4 = 2 + 0,4$ и $1,6 = 2 - 0,4$.
$2,4 \cdot 1,6 = (2 + 0,4)(2 - 0,4) = 2^2 - (0,4)^2 = 4 - 0,16 = 3,84$.
Ответ: $3,84$.

2) Для вычисления произведения $49 \cdot 51$ применим ту же формулу разности квадратов. Представим множители как разность и сумму относительно числа $50$, которое является их средним арифметическим.
$49 \cdot 51 = (50 - 1)(50 + 1) = 50^2 - 1^2 = 2500 - 1 = 2499$.
Ответ: $2499$.

3) Выражение $86^2 - 14^2$ является разностью квадратов. Для его вычисления напрямую применим формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a=86$ и $b=14$.
$86^2 - 14^2 = (86 - 14)(86 + 14) = 72 \cdot 100 = 7200$.
Ответ: $7200$.

4) Выражение $\left(3\frac{4}{5}\right)^2 - \left(2\frac{1}{5}\right)^2$ также является разностью квадратов. Воспользуемся формулой $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a=3\frac{4}{5}$ и $b=2\frac{1}{5}$.
Сначала найдем разность и сумму этих чисел:
$a - b = 3\frac{4}{5} - 2\frac{1}{5} = (3-2) + \left(\frac{4}{5} - \frac{1}{5}\right) = 1 + \frac{3}{5} = 1\frac{3}{5}$.
$a + b = 3\frac{4}{5} + 2\frac{1}{5} = (3+2) + \left(\frac{4}{5} + \frac{1}{5}\right) = 5 + \frac{5}{5} = 5+1=6$.
Теперь перемножим полученные результаты. Переведем смешанное число $1\frac{3}{5}$ в неправильную дробь: $1\frac{3}{5} = \frac{8}{5}$.
$1\frac{3}{5} \cdot 6 = \frac{8}{5} \cdot 6 = \frac{48}{5} = 9,6$.
Ответ: $9,6$.

7.19. Один фунт равен 0,41 кг.

1) Составьте формулу для перевода $x$ фунтов в $y$ кг;

2) Постройте график перевода фунтов в килограммы.

1) Составьте формулу для перевода x фунтов в y кг

Пусть $x$ — это масса в фунтах, а $y$ — это масса в килограммах.
Из условия задачи известно, что один фунт соответствует 0,41 килограмма:
$1 \text{ фунт} = 0,41 \text{ кг}$
Чтобы перевести $x$ фунтов в килограммы, необходимо умножить количество фунтов на коэффициент перевода, то есть на 0,41. Таким образом, зависимость массы в килограммах ($y$) от массы в фунтах ($x$) выражается следующей формулой:
$y = 0,41 \cdot x$

Ответ: $y = 0,41x$

2) Постройте график перевода фунтов в килограммы

Зависимость $y = 0,41x$ является линейной функцией вида $y = kx$, где коэффициент пропорциональности $k = 0,41$. Графиком такой функции является прямая линия, проходящая через начало координат.
Для построения графика нам необходимо найти координаты как минимум двух точек.
1. Первая точка нам уже известна — это начало координат (0; 0). Если масса в фунтах равна нулю, то и масса в килограммах равна нулю.
2. Найдем вторую точку, взяв произвольное положительное значение $x$. Например, пусть $x = 10$ фунтов. Тогда соответствующее значение $y$ в килограммах будет:
$y = 0,41 \cdot 10 = 4,1$ кг.
Таким образом, вторая точка имеет координаты (10; 4,1).
Теперь можно построить график. На горизонтальной оси абсцисс (оси $x$) откладываем массу в фунтах, а на вертикальной оси ординат (оси $y$) — массу в килограммах.
Поскольку масса не может быть отрицательной величиной ($x \ge 0$), то и значение в килограммах также будет неотрицательным ($y \ge 0$). Следовательно, график будет расположен в первой координатной четверти.
Графиком является луч, выходящий из точки (0; 0) и проходящий через точку (10; 4,1).

Ответ: Графиком перевода фунтов в килограммы является луч, который начинается в точке (0; 0) и проходит через точку (10; 4,1). Ось абсцисс ($x$) представляет фунты, а ось ординат ($y$) — килограммы.

7.20. Упростите:

1) $ \left(\frac{m}{m+1}+1\right):\left(1-\frac{3m^2}{1-m^2}\right); $

2) $ \left(\frac{2x+1}{2x-1}-\frac{2x-1}{2x+1}\right)\cdot\frac{10x-5}{4x}. $

1) $(\frac{m}{m+1}+1): (1-\frac{3m^2}{1-m^2})$

Сначала выполним действия в каждой из скобок.

Первая скобка: приведем к общему знаменателю $m+1$.

$\frac{m}{m+1}+1 = \frac{m}{m+1}+\frac{m+1}{m+1} = \frac{m+m+1}{m+1} = \frac{2m+1}{m+1}$

Вторая скобка: приведем к общему знаменателю $1-m^2$.

$1-\frac{3m^2}{1-m^2} = \frac{1-m^2}{1-m^2}-\frac{3m^2}{1-m^2} = \frac{1-m^2-3m^2}{1-m^2} = \frac{1-4m^2}{1-m^2}$

Теперь выполним деление полученных дробей. Для этого заменим деление на умножение, перевернув вторую дробь.

$\frac{2m+1}{m+1} : \frac{1-4m^2}{1-m^2} = \frac{2m+1}{m+1} \cdot \frac{1-m^2}{1-4m^2}$

Разложим числитель второй дроби и знаменатель второй дроби на множители по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.

$1-m^2 = (1-m)(1+m)$

$1-4m^2 = (1-2m)(1+2m)$

Подставим разложенные выражения в нашу дробь и сократим:

$\frac{2m+1}{m+1} \cdot \frac{(1-m)(1+m)}{(1-2m)(1+2m)} = \frac{2m+1}{m+1} \cdot \frac{(1-m)(m+1)}{(1-2m)(2m+1)}$

Сокращаем одинаковые множители $(m+1)$ и $(2m+1)$:

$\frac{\cancel{2m+1}}{\cancel{m+1}} \cdot \frac{(1-m)\cancel{(m+1)}}{(1-2m)\cancel{(2m+1)}} = \frac{1-m}{1-2m}$

Ответ: $\frac{1-m}{1-2m}$

2) $(\frac{2x+1}{2x-1}-\frac{2x-1}{2x+1})\cdot\frac{10x-5}{4x}$

Сначала выполним вычитание в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю $(2x-1)(2x+1)$.

$\frac{2x+1}{2x-1}-\frac{2x-1}{2x+1} = \frac{(2x+1)(2x+1)}{(2x-1)(2x+1)} - \frac{(2x-1)(2x-1)}{(2x-1)(2x+1)} = \frac{(2x+1)^2 - (2x-1)^2}{(2x-1)(2x+1)}$

Числитель можно упростить, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, где $a=2x+1$ и $b=2x-1$.

$(2x+1)^2 - (2x-1)^2 = ((2x+1)-(2x-1))((2x+1)+(2x-1)) = (2x+1-2x+1)(2x+1+2x-1) = (2)(4x) = 8x$

Знаменатель $(2x-1)(2x+1)$ по той же формуле равен $4x^2-1$.

Таким образом, выражение в скобках равно:

$\frac{8x}{(2x-1)(2x+1)}$

Теперь выполним умножение. Вынесем общий множитель во второй дроби:

$10x-5 = 5(2x-1)$

Получаем выражение:

$\frac{8x}{(2x-1)(2x+1)} \cdot \frac{5(2x-1)}{4x}$

Сокращаем одинаковые множители. Сокращаем $(2x-1)$ в числителе и знаменателе. Сокращаем $8x$ и $4x$, остается 2.

$\frac{8x}{(2x-1)(2x+1)} \cdot \frac{5(2x-1)}{4x} = \frac{\cancel{8x}^2}{\cancel{(2x-1)}(2x+1)} \cdot \frac{5\cancel{(2x-1)}}{\cancel{4x}_1} = \frac{2 \cdot 5}{2x+1} = \frac{10}{2x+1}$

Ответ: $\frac{10}{2x+1}$

7.21. Упростите:

1) $\frac{y - \frac{1}{y}}{\frac{1}{y} + 1}$

2) $\frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}{\frac{1}{xy}}$

1) Чтобы упростить данное выражение, сначала преобразуем числитель и знаменатель дроби, приведя их к общему знаменателю.

Числитель: $y - \frac{1}{y} = \frac{y \cdot y}{y} - \frac{1}{y} = \frac{y^2 - 1}{y}$.

Знаменатель: $\frac{1}{y} + 1 = \frac{1}{y} + \frac{y}{y} = \frac{1 + y}{y}$.

Теперь подставим полученные выражения обратно в исходную дробь:

$\frac{y - \frac{1}{y}}{\frac{1}{y} + 1} = \frac{\frac{y^2 - 1}{y}}{\frac{y + 1}{y}}$

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$\frac{y^2 - 1}{y} \cdot \frac{y}{y + 1}$

Сократим $y$ в числителе и знаменателе:

$\frac{y^2 - 1}{y + 1}$

Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для числителя:

$\frac{(y - 1)(y + 1)}{y + 1}$

Сократим общий множитель $(y + 1)$:

$y - 1$

Ответ: $y-1$

2) Сначала преобразуем числитель дроби, приведя слагаемые к общему знаменателю.

Числитель: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{y}{xy} + \frac{x}{xy} = \frac{x + y}{xy}$.

Теперь подставим полученное выражение в числитель исходной дроби:

$\frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}{\frac{1}{xy}} = \frac{\frac{x + y}{xy}}{\frac{1}{xy}}$

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$\frac{x + y}{xy} \cdot \frac{xy}{1}$

Сократим общий множитель $xy$ в числителе и знаменателе:

$x + y$

Ответ: $x+y$

7.22. Докажите равенство $(xyz)^2 = x^2y^2z^2$. Какое правило выражает это равенство?

Доказательство равенства

Чтобы доказать равенство $(xyz)^2 = x^2y^2z^2$, мы воспользуемся определением степени. Степень выражения с натуральным показателем 2 (то есть квадрат выражения) — это произведение этого выражения на само себя.

Запишем левую часть равенства, $(xyz)^2$, в виде произведения:
$(xyz)^2 = (xyz) \cdot (xyz)$

В полученном произведении $x \cdot y \cdot z \cdot x \cdot y \cdot z$ мы можем перегруппировать множители, используя переместительное (коммутативное) и сочетательное (ассоциативное) свойства умножения. Сгруппируем одинаковые переменные вместе:
$(x \cdot x) \cdot (y \cdot y) \cdot (z \cdot z)$

По определению степени, произведение двух одинаковых множителей равно этому множителю во второй степени:
$x \cdot x = x^2$
$y \cdot y = y^2$
$z \cdot z = z^2$

Таким образом, произведение $(x \cdot x) \cdot (y \cdot y) \cdot (z \cdot z)$ равно $x^2y^2z^2$.

Мы преобразовали левую часть исходного равенства и получили правую часть, следовательно, равенство $(xyz)^2 = x^2y^2z^2$ является верным.

Ответ: Равенство доказано на основе определения степени с натуральным показателем и свойств умножения (переместительного и сочетательного), которые позволяют перегруппировать множители.

Правило, которое выражает это равенство

Данное равенство является частным случаем общего свойства степеней, которое называется правилом возведения произведения в степень.

Это правило гласит: чтобы возвести произведение в степень, нужно возвести в эту степень каждый множитель отдельно и полученные результаты перемножить.

В общем виде для любого количества множителей и любой натуральной степени $n$ это правило записывается формулой:
$(a \cdot b \cdot c \cdot ...)^n = a^n \cdot b^n \cdot c^n \cdot ...$

В заданном равенстве $(xyz)^2 = x^2y^2z^2$ произведением является $xyz$, а показателем степени — число 2.

Ответ: Это равенство выражает правило возведения произведения в степень: чтобы возвести произведение в степень, нужно возвести в эту степень каждый множитель и результаты перемножить.