Номер 7.11, страница 191 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 7.11–7.17 выполните указанные действия.

7.11. 1) $\frac{a}{xy} + \frac{a}{xu}$; 2) $\frac{m}{ab} - \frac{n}{ac}$; 3) $\frac{5x^2 - y^2}{xy} - \frac{3x - 2y}{y}$.

1) Чтобы сложить дроби $\frac{a}{xy}$ и $\frac{a}{xu}$, необходимо привести их к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для выражений $xy$ и $xu$ является $xyu$.

Дополнительный множитель для первой дроби – это $u$. Дополнительный множитель для второй дроби – это $y$.

Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель и выполним сложение:

$\frac{a}{xy} + \frac{a}{xu} = \frac{a \cdot u}{xy \cdot u} + \frac{a \cdot y}{xu \cdot y} = \frac{au}{xyu} + \frac{ay}{xyu} = \frac{au + ay}{xyu}$

Вынесем общий множитель $a$ в числителе за скобки для упрощения выражения:

$\frac{a(u + y)}{xyu}$

Ответ: $\frac{a(y+u)}{xyu}$

2) Для вычитания дробей $\frac{m}{ab} - \frac{n}{ac}$ также требуется найти общий знаменатель. Наименьший общий знаменатель для $ab$ и $ac$ – это $abc$.

Дополнительный множитель для первой дроби $\frac{m}{ab}$ равен $c$. Дополнительный множитель для второй дроби $\frac{n}{ac}$ равен $b$.

Приведем дроби к общему знаменателю и выполним вычитание:

$\frac{m}{ab} - \frac{n}{ac} = \frac{m \cdot c}{ab \cdot c} - \frac{n \cdot b}{ac \cdot b} = \frac{mc}{abc} - \frac{nb}{abc} = \frac{mc - nb}{abc}$

Числитель дальше не упрощается.

Ответ: $\frac{mc - nb}{abc}$

3) Чтобы выполнить вычитание $\frac{5x^2 - y^2}{xy} - \frac{3x - 2y}{y}$, приведем дроби к общему знаменателю. Общим знаменателем для $xy$ и $y$ является $xy$.

Первая дробь уже имеет нужный знаменатель. Дополнительный множитель для второй дроби $\frac{3x - 2y}{y}$ – это $x$.

Умножим числитель и знаменатель второй дроби на $x$:

$\frac{3x - 2y}{y} = \frac{(3x - 2y) \cdot x}{y \cdot x} = \frac{3x^2 - 2xy}{xy}$

Теперь выполним вычитание дробей. Важно помнить, что знак "минус" перед второй дробью меняет знаки всех слагаемых в ее числителе на противоположные:

$\frac{5x^2 - y^2}{xy} - \frac{3x^2 - 2xy}{xy} = \frac{(5x^2 - y^2) - (3x^2 - 2xy)}{xy} = \frac{5x^2 - y^2 - 3x^2 + 2xy}{xy}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(5x^2 - 3x^2) + 2xy - y^2}{xy} = \frac{2x^2 + 2xy - y^2}{xy}$

Ответ: $\frac{2x^2 + 2xy - y^2}{xy}$