Номер 7.5, страница 190 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.5. 1) $(x+1)^2(x^2-x+1);$

2) $(a-2)(a^2+2a+4);$

3) $(\frac{m}{2} - 2n)(\frac{m^2}{4} + mn + 4n^2).$

1) Чтобы упростить выражение $(x+1)^2(x^2-x+1)$, сначала представим $(x+1)^2$ как произведение $(x+1)(x+1)$.
Выражение примет вид: $(x+1)(x+1)(x^2-x+1)$.
Сгруппируем множители следующим образом: $(x+1) \cdot \left((x+1)(x^2-x+1)\right)$.
Заметим, что произведение $(x+1)(x^2-x+1)$ соответствует формуле суммы кубов: $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$.
В данном случае, $a=x$ и $b=1$. Применив формулу, получаем: $(x+1)(x^2-x \cdot 1+1^2) = x^3+1^3 = x^3+1$.
Теперь исходное выражение упрощается до $(x+1)(x^3+1)$.
Раскроем скобки, умножая каждый член первого многочлена на каждый член второго:
$x \cdot x^3 + x \cdot 1 + 1 \cdot x^3 + 1 \cdot 1 = x^4 + x + x^3 + 1$.
Приведем многочлен к стандартному виду, расположив его члены в порядке убывания степеней:
$x^4 + x^3 + x + 1$.
Ответ: $x^4 + x^3 + x + 1$

2) Рассмотрим выражение $(a-2)(a^2+2a+4)$.
Это выражение является примером применения формулы разности кубов: $(x-y)(x^2+xy+y^2) = x^3-y^3$.
В нашем случае $x=a$ и $y=2$. Проверим, соответствует ли второй множитель $(a^2+2a+4)$ части формулы $(x^2+xy+y^2)$.
$x^2+xy+y^2 = a^2+a \cdot 2+2^2 = a^2+2a+4$.
Так как он полностью совпадает, мы можем применить формулу.
$(a-2)(a^2+2a+4) = a^3 - 2^3$.
Вычислим значение $2^3$:
$2^3 = 8$.
Таким образом, итоговое выражение равно $a^3 - 8$.
Ответ: $a^3 - 8$

3) Упростим выражение $(\frac{m}{2}-2n)(\frac{m^2}{4}+mn+4n^2)$.
Это выражение также соответствует формуле разности кубов: $(x-y)(x^2+xy+y^2) = x^3-y^3$.
Из первого множителя определим $x$ и $y$: $x = \frac{m}{2}$ и $y = 2n$.
Теперь проверим, соответствует ли второй множитель $(\frac{m^2}{4}+mn+4n^2)$ части формулы $(x^2+xy+y^2)$:
$x^2 = (\frac{m}{2})^2 = \frac{m^2}{4}$.
$xy = (\frac{m}{2})(2n) = mn$.
$y^2 = (2n)^2 = 4n^2$.
Сумма этих членов $x^2+xy+y^2 = \frac{m^2}{4} + mn + 4n^2$, что полностью совпадает со вторым множителем в задании.
Применяем формулу разности кубов: $(\frac{m}{2})^3 - (2n)^3$.
Возводим каждый член в куб:
$(\frac{m}{2})^3 = \frac{m^3}{2^3} = \frac{m^3}{8}$.
$(2n)^3 = 2^3 n^3 = 8n^3$.
Окончательный результат: $\frac{m^3}{8} - 8n^3$.
Ответ: $\frac{m^3}{8} - 8n^3$