Номер 7.18, страница 191 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.18. Вычислите наиболее рациональным способом:

1) $2,4 \cdot 1,6$;

2) $49 \cdot 51$;

3) $86^2 - 14^2$;

4) $\left(3\frac{4}{5}\right)^2 - \left(2\frac{1}{5}\right)^2$.

1) Для вычисления произведения $2,4 \cdot 1,6$ наиболее рациональным способом является использование формулы разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. Представим числа $2,4$ и $1,6$ в виде суммы и разности относительно их среднего арифметического: $\frac{2,4 + 1,6}{2} = 2$. Таким образом, $2,4 = 2 + 0,4$ и $1,6 = 2 - 0,4$.
$2,4 \cdot 1,6 = (2 + 0,4)(2 - 0,4) = 2^2 - (0,4)^2 = 4 - 0,16 = 3,84$.
Ответ: $3,84$.

2) Для вычисления произведения $49 \cdot 51$ применим ту же формулу разности квадратов. Представим множители как разность и сумму относительно числа $50$, которое является их средним арифметическим.
$49 \cdot 51 = (50 - 1)(50 + 1) = 50^2 - 1^2 = 2500 - 1 = 2499$.
Ответ: $2499$.

3) Выражение $86^2 - 14^2$ является разностью квадратов. Для его вычисления напрямую применим формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a=86$ и $b=14$.
$86^2 - 14^2 = (86 - 14)(86 + 14) = 72 \cdot 100 = 7200$.
Ответ: $7200$.

4) Выражение $\left(3\frac{4}{5}\right)^2 - \left(2\frac{1}{5}\right)^2$ также является разностью квадратов. Воспользуемся формулой $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a=3\frac{4}{5}$ и $b=2\frac{1}{5}$.
Сначала найдем разность и сумму этих чисел:
$a - b = 3\frac{4}{5} - 2\frac{1}{5} = (3-2) + \left(\frac{4}{5} - \frac{1}{5}\right) = 1 + \frac{3}{5} = 1\frac{3}{5}$.
$a + b = 3\frac{4}{5} + 2\frac{1}{5} = (3+2) + \left(\frac{4}{5} + \frac{1}{5}\right) = 5 + \frac{5}{5} = 5+1=6$.
Теперь перемножим полученные результаты. Переведем смешанное число $1\frac{3}{5}$ в неправильную дробь: $1\frac{3}{5} = \frac{8}{5}$.
$1\frac{3}{5} \cdot 6 = \frac{8}{5} \cdot 6 = \frac{48}{5} = 9,6$.
Ответ: $9,6$.