Номер 7.25, страница 192 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.25. Сократите дробь:

1) $\frac{8x^2y^2(a-5)}{12xy^4(5-a)}$

2) $\frac{3x^2+4xy}{9x^2y-16y^3}$

3) $\frac{2ac-4bc}{5a^3c-20acb^2}$

1) $\frac{8x^2y^2(a-5)}{12xy^4(5-a)}$

Для сокращения дроби разложим числитель и знаменатель на множители. Заметим, что выражения в скобках $(a-5)$ и $(5-a)$ являются противоположными. Мы можем записать $(5-a)$ как $-(a-5)$.

$\frac{8x^2y^2(a-5)}{12xy^4(5-a)} = \frac{8x^2y^2(a-5)}{12xy^4 \cdot (-(a-5))} = -\frac{8x^2y^2(a-5)}{12xy^4(a-5)}$

Теперь сократим общие множители:

• Числовые коэффициенты 8 и 12 сокращаются на 4: $\frac{8}{12} = \frac{2}{3}$.
• Переменные $x$: $\frac{x^2}{x} = x^{2-1} = x$.
• Переменные $y$: $\frac{y^2}{y^4} = y^{2-4} = y^{-2} = \frac{1}{y^2}$.
• Выражение в скобках $(a-5)$ также сокращается.

Собираем все вместе, не забывая про знак минуса перед дробью:

$-\frac{2x}{3y^2}$

Ответ: $-\frac{2x}{3y^2}$

2) $\frac{3x^2+4xy}{9x^2y-16y^3}$

Чтобы сократить дробь, необходимо разложить на множители ее числитель и знаменатель.

В числителе вынесем за скобки общий множитель $x$:

$3x^2+4xy = x(3x+4y)$

В знаменателе сначала вынесем за скобки общий множитель $y$. Затем к выражению в скобках применим формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$9x^2y-16y^3 = y(9x^2-16y^2) = y((3x)^2-(4y)^2) = y(3x-4y)(3x+4y)$

Теперь запишем дробь с разложенными числителем и знаменателем и сократим общий множитель $(3x+4y)$:

$\frac{x(3x+4y)}{y(3x-4y)(3x+4y)} = \frac{x}{y(3x-4y)}$

Ответ: $\frac{x}{y(3x-4y)}$

3) $\frac{2ac-4bc}{5a^3c-20acb^2}$

Разложим на множители числитель и знаменатель дроби.

В числителе вынесем за скобки общий множитель $2c$:

$2ac-4bc = 2c(a-2b)$

В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $5ac$. Затем, как и в предыдущем примере, используем формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$5a^3c-20acb^2 = 5ac(a^2-4b^2) = 5ac(a^2-(2b)^2) = 5ac(a-2b)(a+2b)$

Подставим полученные выражения в дробь и сократим общие множители $c$ и $(a-2b)$:

$\frac{2c(a-2b)}{5ac(a-2b)(a+2b)} = \frac{2}{5a(a+2b)}$

Ответ: $\frac{2}{5a(a+2b)}$