Номер 7.20, страница 191 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.20. Упростите:

1) $ \left(\frac{m}{m+1}+1\right):\left(1-\frac{3m^2}{1-m^2}\right); $

2) $ \left(\frac{2x+1}{2x-1}-\frac{2x-1}{2x+1}\right)\cdot\frac{10x-5}{4x}. $

1) $(\frac{m}{m+1}+1): (1-\frac{3m^2}{1-m^2})$

Сначала выполним действия в каждой из скобок.

Первая скобка: приведем к общему знаменателю $m+1$.

$\frac{m}{m+1}+1 = \frac{m}{m+1}+\frac{m+1}{m+1} = \frac{m+m+1}{m+1} = \frac{2m+1}{m+1}$

Вторая скобка: приведем к общему знаменателю $1-m^2$.

$1-\frac{3m^2}{1-m^2} = \frac{1-m^2}{1-m^2}-\frac{3m^2}{1-m^2} = \frac{1-m^2-3m^2}{1-m^2} = \frac{1-4m^2}{1-m^2}$

Теперь выполним деление полученных дробей. Для этого заменим деление на умножение, перевернув вторую дробь.

$\frac{2m+1}{m+1} : \frac{1-4m^2}{1-m^2} = \frac{2m+1}{m+1} \cdot \frac{1-m^2}{1-4m^2}$

Разложим числитель второй дроби и знаменатель второй дроби на множители по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.

$1-m^2 = (1-m)(1+m)$

$1-4m^2 = (1-2m)(1+2m)$

Подставим разложенные выражения в нашу дробь и сократим:

$\frac{2m+1}{m+1} \cdot \frac{(1-m)(1+m)}{(1-2m)(1+2m)} = \frac{2m+1}{m+1} \cdot \frac{(1-m)(m+1)}{(1-2m)(2m+1)}$

Сокращаем одинаковые множители $(m+1)$ и $(2m+1)$:

$\frac{\cancel{2m+1}}{\cancel{m+1}} \cdot \frac{(1-m)\cancel{(m+1)}}{(1-2m)\cancel{(2m+1)}} = \frac{1-m}{1-2m}$

Ответ: $\frac{1-m}{1-2m}$

2) $(\frac{2x+1}{2x-1}-\frac{2x-1}{2x+1})\cdot\frac{10x-5}{4x}$

Сначала выполним вычитание в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю $(2x-1)(2x+1)$.

$\frac{2x+1}{2x-1}-\frac{2x-1}{2x+1} = \frac{(2x+1)(2x+1)}{(2x-1)(2x+1)} - \frac{(2x-1)(2x-1)}{(2x-1)(2x+1)} = \frac{(2x+1)^2 - (2x-1)^2}{(2x-1)(2x+1)}$

Числитель можно упростить, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, где $a=2x+1$ и $b=2x-1$.

$(2x+1)^2 - (2x-1)^2 = ((2x+1)-(2x-1))((2x+1)+(2x-1)) = (2x+1-2x+1)(2x+1+2x-1) = (2)(4x) = 8x$

Знаменатель $(2x-1)(2x+1)$ по той же формуле равен $4x^2-1$.

Таким образом, выражение в скобках равно:

$\frac{8x}{(2x-1)(2x+1)}$

Теперь выполним умножение. Вынесем общий множитель во второй дроби:

$10x-5 = 5(2x-1)$

Получаем выражение:

$\frac{8x}{(2x-1)(2x+1)} \cdot \frac{5(2x-1)}{4x}$

Сокращаем одинаковые множители. Сокращаем $(2x-1)$ в числителе и знаменателе. Сокращаем $8x$ и $4x$, остается 2.

$\frac{8x}{(2x-1)(2x+1)} \cdot \frac{5(2x-1)}{4x} = \frac{\cancel{8x}^2}{\cancel{(2x-1)}(2x+1)} \cdot \frac{5\cancel{(2x-1)}}{\cancel{4x}_1} = \frac{2 \cdot 5}{2x+1} = \frac{10}{2x+1}$

Ответ: $\frac{10}{2x+1}$