Номер 7.22, страница 191 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.22. Докажите равенство $(xyz)^2 = x^2y^2z^2$. Какое правило выражает это равенство?

Доказательство равенства

Чтобы доказать равенство $(xyz)^2 = x^2y^2z^2$, мы воспользуемся определением степени. Степень выражения с натуральным показателем 2 (то есть квадрат выражения) — это произведение этого выражения на само себя.

Запишем левую часть равенства, $(xyz)^2$, в виде произведения:
$(xyz)^2 = (xyz) \cdot (xyz)$

В полученном произведении $x \cdot y \cdot z \cdot x \cdot y \cdot z$ мы можем перегруппировать множители, используя переместительное (коммутативное) и сочетательное (ассоциативное) свойства умножения. Сгруппируем одинаковые переменные вместе:
$(x \cdot x) \cdot (y \cdot y) \cdot (z \cdot z)$

По определению степени, произведение двух одинаковых множителей равно этому множителю во второй степени:
$x \cdot x = x^2$
$y \cdot y = y^2$
$z \cdot z = z^2$

Таким образом, произведение $(x \cdot x) \cdot (y \cdot y) \cdot (z \cdot z)$ равно $x^2y^2z^2$.

Мы преобразовали левую часть исходного равенства и получили правую часть, следовательно, равенство $(xyz)^2 = x^2y^2z^2$ является верным.

Ответ: Равенство доказано на основе определения степени с натуральным показателем и свойств умножения (переместительного и сочетательного), которые позволяют перегруппировать множители.

Правило, которое выражает это равенство

Данное равенство является частным случаем общего свойства степеней, которое называется правилом возведения произведения в степень.

Это правило гласит: чтобы возвести произведение в степень, нужно возвести в эту степень каждый множитель отдельно и полученные результаты перемножить.

В общем виде для любого количества множителей и любой натуральной степени $n$ это правило записывается формулой:
$(a \cdot b \cdot c \cdot ...)^n = a^n \cdot b^n \cdot c^n \cdot ...$

В заданном равенстве $(xyz)^2 = x^2y^2z^2$ произведением является $xyz$, а показателем степени — число 2.

Ответ: Это равенство выражает правило возведения произведения в степень: чтобы возвести произведение в степень, нужно возвести в эту степень каждый множитель и результаты перемножить.