Номер 7.24, страница 192 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.24. Сократите дробь:

1) $ \frac{3a(x+y)^2}{9a^2(x+y)} $;

2) $ \frac{10x^2y(a-b)^2}{25x^4y(a-b)^3} $;

3) $ \frac{7m^3n^5(p+q)}{21m^2n^3(p+q)^2} $

1) Чтобы сократить дробь $\frac{3a(x+y)^2}{9a^2(x+y)}$, необходимо разделить числитель и знаменатель на их общие множители.
Рассмотрим каждый множитель отдельно:
- Числовые коэффициенты: $\frac{3}{9}$. Разделим числитель и знаменатель на 3, получим $\frac{1}{3}$.
- Переменная $a$: $\frac{a}{a^2}$. Используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, получаем $a^{1-2} = a^{-1} = \frac{1}{a}$.
- Выражение $(x+y)$: $\frac{(x+y)^2}{(x+y)}$. Аналогично, получаем $(x+y)^{2-1} = (x+y)^1 = x+y$.
Теперь соберем все части вместе:
$\frac{3a(x+y)^2}{9a^2(x+y)} = \frac{3}{9} \cdot \frac{a}{a^2} \cdot \frac{(x+y)^2}{(x+y)} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{a} \cdot (x+y) = \frac{x+y}{3a}$.
Ответ: $\frac{x+y}{3a}$

2) Сократим дробь $\frac{10x^2y(a-b)^2}{25x^4y(a-b)^3}$.
Разделим числитель и знаменатель на общие множители:
- Числовые коэффициенты: $\frac{10}{25}$. Наибольший общий делитель для 10 и 25 это 5. $\frac{10 \div 5}{25 \div 5} = \frac{2}{5}$.
- Переменная $x$: $\frac{x^2}{x^4} = x^{2-4} = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$.
- Переменная $y$: $\frac{y}{y} = y^{1-1} = y^0 = 1$.
- Выражение $(a-b)$: $\frac{(a-b)^2}{(a-b)^3} = (a-b)^{2-3} = (a-b)^{-1} = \frac{1}{a-b}$.
Перемножим полученные части:
$\frac{10x^2y(a-b)^2}{25x^4y(a-b)^3} = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{x^2} \cdot 1 \cdot \frac{1}{a-b} = \frac{2}{5x^2(a-b)}$.
Ответ: $\frac{2}{5x^2(a-b)}$

3) Сократим дробь $\frac{7m^3n^5(p+q)}{21m^2n^3(p+q)^2}$.
Сократим поочередно общие множители в числителе и знаменателе:
- Числовые коэффициенты: $\frac{7}{21}$. Разделим на 7, получим $\frac{1}{3}$.
- Переменная $m$: $\frac{m^3}{m^2} = m^{3-2} = m^1 = m$.
- Переменная $n$: $\frac{n^5}{n^3} = n^{5-3} = n^2$.
- Выражение $(p+q)$: $\frac{(p+q)}{(p+q)^2} = (p+q)^{1-2} = (p+q)^{-1} = \frac{1}{p+q}$.
Объединим все упрощенные части:
$\frac{7m^3n^5(p+q)}{21m^2n^3(p+q)^2} = \frac{1}{3} \cdot m \cdot n^2 \cdot \frac{1}{p+q} = \frac{mn^2}{3(p+q)}$.
Ответ: $\frac{mn^2}{3(p+q)}$