Номер 7.31, страница 192 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.31. Постройте график функции::

1) $y = -\frac{1}{2}x^2$;

2) $y = \frac{x^3}{3}$;

3) $y = -\frac{4}{x}$.

1) Построим график функции $y = -\frac{1}{2}x^2$.

Это квадратичная функция, её график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен $-\frac{1}{2}$ (отрицательное число), ветви параболы направлены вниз. Вершина параболы находится в начале координат, в точке $(0, 0)$. Функция является четной, поскольку $y(-x) = -\frac{1}{2}(-x)^2 = -\frac{1}{2}x^2 = y(x)$, а значит её график симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

Для построения графика составим таблицу значений:

• Если $x = 0$, то $y = -\frac{1}{2} \cdot 0^2 = 0$. Точка $(0, 0)$.
• Если $x = 1$, то $y = -\frac{1}{2} \cdot 1^2 = -0.5$. Точка $(1, -0.5)$.
• Если $x = -1$, то $y = -\frac{1}{2} \cdot (-1)^2 = -0.5$. Точка $(-1, -0.5)$.
• Если $x = 2$, то $y = -\frac{1}{2} \cdot 2^2 = -2$. Точка $(2, -2)$.
• Если $x = -2$, то $y = -\frac{1}{2} \cdot (-2)^2 = -2$. Точка $(-2, -2)$.
• Если $x = 4$, то $y = -\frac{1}{2} \cdot 4^2 = -8$. Точка $(4, -8)$.
• Если $x = -4$, то $y = -\frac{1}{2} \cdot (-4)^2 = -8$. Точка $(-4, -8)$.

Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией, чтобы получить параболу.

Ответ: График функции $y = -\frac{1}{2}x^2$ — это парабола с вершиной в точке $(0, 0)$, ветви которой направлены вниз. График симметричен относительно оси Oy.

2) Построим график функции $y = \frac{x^3}{3}$.

Это кубическая функция, её график — кубическая парабола. График проходит через начало координат, точку $(0, 0)$. Функция является нечетной, так как $y(-x) = \frac{(-x)^3}{3} = -\frac{x^3}{3} = -y(x)$, поэтому её график симметричен относительно начала координат.

Для построения графика составим таблицу значений:

• Если $x = 0$, то $y = \frac{0^3}{3} = 0$. Точка $(0, 0)$.
• Если $x = 1$, то $y = \frac{1^3}{3} = \frac{1}{3}$. Точка $(1, \frac{1}{3})$.
• Если $x = -1$, то $y = \frac{(-1)^3}{3} = -\frac{1}{3}$. Точка $(-1, -\frac{1}{3})$.
• Если $x = 2$, то $y = \frac{2^3}{3} = \frac{8}{3} \approx 2.67$. Точка $(2, \frac{8}{3})$.
• Если $x = -2$, то $y = \frac{(-2)^3}{3} = -\frac{8}{3} \approx -2.67$. Точка $(-2, -\frac{8}{3})$.
• Если $x = 3$, то $y = \frac{3^3}{3} = 9$. Точка $(3, 9)$.
• Если $x = -3$, то $y = \frac{(-3)^3}{3} = -9$. Точка $(-3, -9)$.

Отметим точки на координатной плоскости и соединим их плавной кривой. График будет расположен в I и III координатных четвертях.

Ответ: График функции $y = \frac{x^3}{3}$ — это кубическая парабола, которая проходит через начало координат и симметрична относительно него.

3) Построим график функции $y = -\frac{4}{x}$.

Это функция обратной пропорциональности, её график — гипербола. Область определения функции — все числа, кроме $x=0$. Так как коэффициент $k = -4$ отрицательный, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях. Оси координат ($x=0$ и $y=0$) являются асимптотами графика, то есть кривая будет бесконечно к ним приближаться, но никогда не пересечет. Функция нечетная, так как $y(-x) = -\frac{4}{-x} = \frac{4}{x} = -y(x)$, поэтому график симметричен относительно начала координат.

Составим таблицу значений для каждой ветви:

Для IV четверти ($x > 0$):

• Если $x = 1$, то $y = -\frac{4}{1} = -4$. Точка $(1, -4)$.
• Если $x = 2$, то $y = -\frac{4}{2} = -2$. Точка $(2, -2)$.
• Если $x = 4$, то $y = -\frac{4}{4} = -1$. Точка $(4, -1)$.

Для II четверти ($x < 0$):

• Если $x = -1$, то $y = -\frac{4}{-1} = 4$. Точка $(-1, 4)$.
• Если $x = -2$, то $y = -\frac{4}{-2} = 2$. Точка $(-2, 2)$.
• Если $x = -4$, то $y = -\frac{4}{-4} = 1$. Точка $(-4, 1)$.

Построив точки для каждой ветви и соединив их плавными линиями, которые приближаются к осям координат, получим гиперболу.

Ответ: График функции $y = -\frac{4}{x}$ — это гипербола, состоящая из двух ветвей, расположенных во второй и четвертой координатных четвертях. Оси координат являются асимптотами графика.