Номер 7.34, страница 193 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.34. Сократите дробь:

1) $\frac{ac+bx+ax+bc}{ay+2bx+2ax+by}$;

2) $\frac{x-xy+z-zy}{1-3y+3y^2-y^3}$;

3) $\frac{3a^3+ab^2-6a^2b-2b^3}{9a^5-ab^4-18a^4b+2b^5}$.

1) Чтобы сократить данную дробь, необходимо разложить на множители её числитель и знаменатель.
Разложим на множители числитель $ac + bx + ax + bc$ методом группировки. Для этого переставим слагаемые и объединим их в группы:
$(ac + ax) + (bc + bx)$
Вынесем общие множители из каждой группы:
$a(c + x) + b(c + x)$
Теперь вынесем общий множитель $(c + x)$ за скобки:
$(a + b)(c + x)$
Теперь разложим на множители знаменатель $ay + 2bx + 2ax + by$ также методом группировки:
$(ay + by) + (2ax + 2bx)$
Вынесем общие множители из каждой группы:
$y(a + b) + 2x(a + b)$
Вынесем общий множитель $(a + b)$ за скобки:
$(a + b)(y + 2x)$
Подставим полученные выражения обратно в дробь:
$\frac{ac + bx + ax + bc}{ay + 2bx + 2ax + by} = \frac{(a + b)(c + x)}{(a + b)(y + 2x)}$
Сократим общий множитель $(a+b)$:
$\frac{c + x}{y + 2x}$
Ответ: $\frac{c + x}{2x + y}$

2) Для сокращения дроби разложим на множители её числитель и знаменатель.
Разложим числитель $x - xy + z - zy$ методом группировки:
$(x - xy) + (z - zy) = x(1 - y) + z(1 - y) = (x + z)(1 - y)$
Знаменатель $1 - 3y + 3y^2 - y^3$ представляет собой формулу сокращенного умножения — куб разности: $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.
В данном случае $a=1$ и $b=y$, поэтому:
$1 - 3y + 3y^2 - y^3 = (1 - y)^3$
Подставим полученные выражения в дробь:
$\frac{x - xy + z - zy}{1 - 3y + 3y^2 - y^3} = \frac{(x + z)(1 - y)}{(1 - y)^3}$
Сократим дробь на общий множитель $(1-y)$:
$\frac{x + z}{(1 - y)^2}$
Ответ: $\frac{x + z}{(1 - y)^2}$

3) Чтобы сократить дробь, разложим на множители её числитель и знаменатель.
Разложим на множители числитель $3a^3 + ab^2 - 6a^2b - 2b^3$ методом группировки. Переставим слагаемые:
$(3a^3 - 6a^2b) + (ab^2 - 2b^3) = 3a^2(a - 2b) + b^2(a - 2b) = (3a^2 + b^2)(a - 2b)$
Разложим на множители знаменатель $9a^5 - ab^4 - 18a^4b + 2b^5$. Сначала сгруппируем слагаемые:
$(9a^5 - 18a^4b) - (ab^4 - 2b^5) = 9a^4(a - 2b) - b^4(a - 2b) = (9a^4 - b^4)(a - 2b)$
Выражение $(9a^4 - b^4)$ является разностью квадратов, которую можно разложить дальше по формуле $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:
$9a^4 - b^4 = (3a^2)^2 - (b^2)^2 = (3a^2 - b^2)(3a^2 + b^2)$
Таким образом, знаменатель равен $(3a^2 - b^2)(3a^2 + b^2)(a - 2b)$.
Подставим разложенные выражения в дробь:
$\frac{3a^3 + ab^2 - 6a^2b - 2b^3}{9a^5 - ab^4 - 18a^4b + 2b^5} = \frac{(3a^2 + b^2)(a - 2b)}{(3a^2 - b^2)(3a^2 + b^2)(a - 2b)}$
Сократим общие множители $(3a^2 + b^2)$ и $(a - 2b)$:
$\frac{1}{3a^2 - b^2}$
Ответ: $\frac{1}{3a^2 - b^2}$