Номер 7.37, страница 193 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.37. Упростите:

1) $\frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)} + \frac{(x-c)(x-a)}{(b-c)(b-a)} + \frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}$;

2) ; $1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{3 + \frac{1}{y}}}$;

3) $\frac{1}{a - \frac{1}{a - \frac{a}{1-a}}}$:

Обозначим данное выражение как $f(x)$. Это выражение является многочленом от переменной $x$, степень которого не превышает 2, так как в каждом слагаемом числитель является многочленом второй степени от $x$, а знаменатель от $x$ не зависит. Таким образом, $f(x) = Px^2 + Qx + R$ для некоторых коэффициентов $P, Q, R$, не зависящих от $x$.

Найдем значения этого многочлена в точках $x=a$, $x=b$ и $x=c$. Предполагается, что $a, b, c$ попарно различны, иначе знаменатели обращаются в ноль.

При $x=a$:

$f(a) = \frac{(a-b)(a-c)}{(a-b)(a-c)} + \frac{(a-c)(a-a)}{(b-c)(b-a)} + \frac{(a-a)(a-b)}{(c-a)(c-b)}$

$f(a) = 1 + \frac{(a-c) \cdot 0}{(b-c)(b-a)} + \frac{0 \cdot (a-b)}{(c-a)(c-b)} = 1 + 0 + 0 = 1$

При $x=b$:

$f(b) = \frac{(b-b)(b-c)}{(a-b)(a-c)} + \frac{(b-c)(b-a)}{(b-c)(b-a)} + \frac{(b-a)(b-b)}{(c-a)(c-b)}$

$f(b) = \frac{0 \cdot (b-c)}{(a-b)(a-c)} + 1 + \frac{(b-a) \cdot 0}{(c-a)(c-b)} = 0 + 1 + 0 = 1$

При $x=c$:

$f(c) = \frac{(c-b)(c-c)}{(a-b)(a-c)} + \frac{(c-c)(c-a)}{(b-c)(b-a)} + \frac{(c-a)(c-b)}{(c-a)(c-b)}$

$f(c) = \frac{(c-b) \cdot 0}{(a-b)(a-c)} + \frac{0 \cdot (c-a)}{(b-c)(b-a)} + 1 = 0 + 0 + 1 = 1$

Мы получили, что многочлен $f(x)$ степени не выше второй принимает значение 1 в трех различных точках: $a, b, c$. Единственный многочлен степени не выше второй, который равен 1 в трех различных точках, это тождественно равный 1 многочлен. Следовательно, $f(x) = 1$ для всех допустимых значений $x, a, b, c$.

Ответ: $1$

Упростим выражение по частям, начиная с самого внутреннего знаменателя.

1. Сначала упростим выражение $3+\frac{1}{y}$:

$3+\frac{1}{y} = \frac{3y}{y} + \frac{1}{y} = \frac{3y+1}{y}$

2. Теперь подставим результат в следующую часть выражения $2+\frac{1}{3+\frac{1}{y}}$:

$2+\frac{1}{\frac{3y+1}{y}} = 2+\frac{y}{3y+1} = \frac{2(3y+1)}{3y+1} + \frac{y}{3y+1} = \frac{6y+2+y}{3y+1} = \frac{7y+2}{3y+1}$

3. Наконец, упростим все выражение $1+\frac{1}{2+\frac{1}{3+\frac{1}{y}}}$:

$1+\frac{1}{\frac{7y+2}{3y+1}} = 1+\frac{3y+1}{7y+2} = \frac{7y+2}{7y+2} + \frac{3y+1}{7y+2} = \frac{7y+2+3y+1}{7y+2} = \frac{10y+3}{7y+2}$

Ответ: $\frac{10y+3}{7y+2}$

Упростим выражение по частям, начиная с самого внутреннего знаменателя.

1. Сначала упростим выражение $a-\frac{a}{1-a}$:

$a-\frac{a}{1-a} = \frac{a(1-a)}{1-a} - \frac{a}{1-a} = \frac{a-a^2-a}{1-a} = \frac{-a^2}{1-a}$

2. Теперь подставим результат в следующую часть выражения $a-\frac{1}{a-\frac{a}{1-a}}$:

$a-\frac{1}{\frac{-a^2}{1-a}} = a-\frac{1-a}{-a^2} = a+\frac{1-a}{a^2} = \frac{a \cdot a^2}{a^2} + \frac{1-a}{a^2} = \frac{a^3+1-a}{a^2}$

3. Наконец, упростим все выражение $\frac{1}{a-\frac{1}{a-\frac{a}{1-a}}}$:

$\frac{1}{\frac{a^3-a+1}{a^2}} = \frac{a^2}{a^3-a+1}$

Ответ: $\frac{a^2}{a^3-a+1}$