Номер 7.41, страница 193 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.41. Найдите значение выражения:

1) $\frac{(8^{n+1} + 8^n)^2}{(4^n - 4^{n-1})^3}$, $n \in N$;

2) $\frac{(4^{n+1} + 6 \cdot 4^n)^3}{(8^{n+1} + 2 \cdot 8^n)^2}$, $n \in N$.

1) Для нахождения значения выражения $ \frac{(8^{n+1} + 8^n)^2}{(4^n - 4^{n-1})^3} $ преобразуем числитель и знаменатель по отдельности.

Сначала упростим числитель, вынеся за скобки общий множитель $8^n$:

$ (8^{n+1} + 8^n)^2 = (8 \cdot 8^n + 1 \cdot 8^n)^2 = (8^n(8+1))^2 = (9 \cdot 8^n)^2 = 9^2 \cdot (8^n)^2 = 81 \cdot 8^{2n} $.

Теперь упростим знаменатель, вынеся за скобки общий множитель $4^{n-1}$:

$ (4^n - 4^{n-1})^3 = (4 \cdot 4^{n-1} - 1 \cdot 4^{n-1})^3 = (4^{n-1}(4-1))^3 = (3 \cdot 4^{n-1})^3 = 3^3 \cdot (4^{n-1})^3 = 27 \cdot 4^{3(n-1)} = 27 \cdot 4^{3n-3} $.

Подставим полученные выражения обратно в дробь:

$ \frac{81 \cdot 8^{2n}}{27 \cdot 4^{3n-3}} $

Чтобы упростить это выражение, приведем степени к одному основанию 2. Известно, что $8=2^3$ и $4=2^2$.

$ 8^{2n} = (2^3)^{2n} = 2^{6n} $

$ 4^{3n-3} = (2^2)^{3n-3} = 2^{2(3n-3)} = 2^{6n-6} $

Подставим эти значения в дробь и выполним вычисления:

$ \frac{81 \cdot 2^{6n}}{27 \cdot 2^{6n-6}} = \frac{81}{27} \cdot \frac{2^{6n}}{2^{6n-6}} = 3 \cdot 2^{6n - (6n-6)} = 3 \cdot 2^{6n - 6n + 6} = 3 \cdot 2^6 = 3 \cdot 64 = 192 $.

Ответ: 192

2) Для нахождения значения выражения $ \frac{(4^{n+1} + 6 \cdot 4^n)^3}{(8^{n+1} + 2 \cdot 8^n)^2} $ также преобразуем числитель и знаменатель.

Упростим числитель, вынеся за скобки общий множитель $4^n$:

$ (4^{n+1} + 6 \cdot 4^n)^3 = (4 \cdot 4^n + 6 \cdot 4^n)^3 = (4^n(4+6))^3 = (10 \cdot 4^n)^3 = 10^3 \cdot (4^n)^3 = 1000 \cdot 4^{3n} $.

Упростим знаменатель, вынеся за скобки общий множитель $8^n$:

$ (8^{n+1} + 2 \cdot 8^n)^2 = (8 \cdot 8^n + 2 \cdot 8^n)^2 = (8^n(8+2))^2 = (10 \cdot 8^n)^2 = 10^2 \cdot (8^n)^2 = 100 \cdot 8^{2n} $.

Подставим полученные выражения в дробь:

$ \frac{1000 \cdot 4^{3n}}{100 \cdot 8^{2n}} $

Приведем степени к основанию 2:

$ 4^{3n} = (2^2)^{3n} = 2^{6n} $

$ 8^{2n} = (2^3)^{2n} = 2^{6n} $

Подставим эти значения и вычислим:

$ \frac{1000 \cdot 2^{6n}}{100 \cdot 2^{6n}} = \frac{1000}{100} \cdot \frac{2^{6n}}{2^{6n}} = 10 \cdot 1 = 10 $.

Ответ: 10