Номер 7.35, страница 193 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.35. Выполните действия:

1) $\frac{2c-1}{2c} - \frac{2c}{2c-1} - \frac{1}{2c-4c^2}$

2) $\frac{3}{x^2+2xy+y^2} - \frac{4}{x^2-2xy+y^2} + \frac{5}{x^2-y^2}$

1) $\frac{2c-1}{2c} - \frac{2c}{2c-1} - \frac{1}{2c - 4c^2}$

Для начала, преобразуем знаменатель последней дроби. Вынесем за скобки общий множитель $2c$:

$2c - 4c^2 = 2c(1 - 2c)$.

Заметим, что множитель $1 - 2c$ можно представить как $-(2c - 1)$. Используем это, чтобы изменить знак перед последней дробью. Это позволит нам работать с одинаковыми выражениями в знаменателях.

$\frac{2c-1}{2c} - \frac{2c}{2c-1} - \frac{1}{2c(1 - 2c)} = \frac{2c-1}{2c} - \frac{2c}{2c-1} - \frac{1}{-2c(2c - 1)} = \frac{2c-1}{2c} - \frac{2c}{2c-1} + \frac{1}{2c(2c - 1)}$

Теперь, когда у нас есть знаменатели $2c$, $2c-1$ и $2c(2c-1)$, мы можем найти наименьший общий знаменатель. Он равен $2c(2c-1)$. Приведем все дроби к этому знаменателю. Первую дробь домножим на $(2c-1)$, вторую — на $2c$.

$\frac{(2c-1)(2c-1)}{2c(2c-1)} - \frac{2c \cdot 2c}{2c(2c-1)} + \frac{1}{2c(2c-1)}$

Объединим дроби, выполнив действия в числителе:

$\frac{(2c-1)^2 - 4c^2 + 1}{2c(2c-1)}$

Раскроем скобки в числителе, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(2c-1)^2 = (2c)^2 - 2 \cdot 2c \cdot 1 + 1^2 = 4c^2 - 4c + 1$

Подставим это в числитель и приведем подобные слагаемые:

$\frac{(4c^2 - 4c + 1) - 4c^2 + 1}{2c(2c-1)} = \frac{4c^2 - 4c + 1 - 4c^2 + 1}{2c(2c-1)} = \frac{-4c + 2}{2c(2c-1)}$

Вынесем в числителе общий множитель $-2$ за скобки:

$\frac{-2(2c - 1)}{2c(2c-1)}$

Сократим общие множители $2$ и $(2c-1)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $c \neq 0$ и $c \neq 1/2$):

$\frac{-1}{c}$

Ответ: $-\frac{1}{c}$

2) $\frac{3}{x^2 + 2xy + y^2} - \frac{4}{x^2 - 2xy + y^2} + \frac{5}{x^2 - y^2}$

Сначала разложим на множители знаменатели всех дробей, используя формулы сокращенного умножения: квадрат суммы, квадрат разности и разность квадратов.

$x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$
$x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2$
$x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$

Перепишем исходное выражение с новыми знаменателями:

$\frac{3}{(x+y)^2} - \frac{4}{(x-y)^2} + \frac{5}{(x-y)(x+y)}$

Наименьший общий знаменатель для этих дробей — это произведение всех уникальных множителей в их наивысших степенях, то есть $(x+y)^2(x-y)^2$. Приведем все дроби к этому знаменателю.

$\frac{3(x-y)^2}{(x+y)^2(x-y)^2} - \frac{4(x+y)^2}{(x+y)^2(x-y)^2} + \frac{5(x-y)(x+y)}{(x+y)^2(x-y)^2}$

Запишем все под одной дробной чертой:

$\frac{3(x-y)^2 - 4(x+y)^2 + 5(x-y)(x+y)}{(x+y)^2(x-y)^2}$

Теперь упростим числитель. Раскроем все скобки:

$3(x-y)^2 = 3(x^2 - 2xy + y^2) = 3x^2 - 6xy + 3y^2$

$4(x+y)^2 = 4(x^2 + 2xy + y^2) = 4x^2 + 8xy + 4y^2$

$5(x-y)(x+y) = 5(x^2 - y^2) = 5x^2 - 5y^2$

Подставим эти выражения обратно в числитель и приведем подобные слагаемые:

$(3x^2 - 6xy + 3y^2) - (4x^2 + 8xy + 4y^2) + (5x^2 - 5y^2) =$
$3x^2 - 6xy + 3y^2 - 4x^2 - 8xy - 4y^2 + 5x^2 - 5y^2 =$
$(3-4+5)x^2 + (-6-8)xy + (3-4-5)y^2 = 4x^2 - 14xy - 6y^2$

Знаменатель $(x+y)^2(x-y)^2$ можно записать как $((x+y)(x-y))^2 = (x^2-y^2)^2$. Таким образом, итоговое выражение имеет вид:

$\frac{4x^2 - 14xy - 6y^2}{(x^2 - y^2)^2}$

Ответ: $\frac{4x^2 - 14xy - 6y^2}{(x^2 - y^2)^2}$