Номер 7.30, страница 192 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.30. Упростите выражение:

1) $\frac{28^{n+1}}{2^{2n+1} \cdot 7^n}$;

2) $\frac{90^{n+1}}{2^n \cdot 3^{2n} \cdot 5^n}$

1) Для упрощения выражения $\frac{28^{n+1}}{2^{2n+1} \cdot 7^n}$ необходимо привести все степени к простым основаниям. Разложим число 28 на простые множители: $28 = 4 \cdot 7 = 2^2 \cdot 7$.

Подставим это разложение в числитель:

$28^{n+1} = (2^2 \cdot 7)^{n+1}$

Используя свойство степени произведения $(ab)^m = a^m b^m$, получаем:

$(2^2 \cdot 7)^{n+1} = (2^2)^{n+1} \cdot 7^{n+1}$

Далее, используя свойство степени степени $(a^m)^k = a^{mk}$, получаем:

$(2^2)^{n+1} = 2^{2(n+1)} = 2^{2n+2}$

Таким образом, числитель равен $2^{2n+2} \cdot 7^{n+1}$.

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходную дробь:

$\frac{2^{2n+2} \cdot 7^{n+1}}{2^{2n+1} \cdot 7^n}$

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим свойство частного степеней $\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$:

$\frac{2^{2n+2}}{2^{2n+1}} \cdot \frac{7^{n+1}}{7^n} = 2^{(2n+2)-(2n+1)} \cdot 7^{(n+1)-n} = 2^{2n+2-2n-1} \cdot 7^{n+1-n} = 2^1 \cdot 7^1 = 2 \cdot 7 = 14$

Ответ: 14

2) Для упрощения выражения $\frac{90^{n+1}}{2^n \cdot 3^{2n} \cdot 5^n}$ также приведем основание в числителе к простым множителям. Разложим число 90 на простые множители: $90 = 9 \cdot 10 = 3^2 \cdot 2 \cdot 5$.

Подставим это разложение в числитель:

$90^{n+1} = (2 \cdot 3^2 \cdot 5)^{n+1}$

Используя свойство степени произведения $(abc)^m = a^m b^m c^m$, получаем:

$(2 \cdot 3^2 \cdot 5)^{n+1} = 2^{n+1} \cdot (3^2)^{n+1} \cdot 5^{n+1}$

Применим свойство степени степени $(a^m)^k = a^{mk}$:

$(3^2)^{n+1} = 3^{2(n+1)} = 3^{2n+2}$

Таким образом, числитель равен $2^{n+1} \cdot 3^{2n+2} \cdot 5^{n+1}$.

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходную дробь. Заметим, что в знаменателе $3^{2n} = (3^2)^n = 9^n$. Это можно использовать для альтернативного решения. Но мы продолжим с разложением на простые множители:

$\frac{2^{n+1} \cdot 3^{2n+2} \cdot 5^{n+1}}{2^n \cdot 3^{2n} \cdot 5^n}$

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим свойство частного степеней $\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$:

$\frac{2^{n+1}}{2^n} \cdot \frac{3^{2n+2}}{3^{2n}} \cdot \frac{5^{n+1}}{5^n} = 2^{(n+1)-n} \cdot 3^{(2n+2)-2n} \cdot 5^{(n+1)-n} = 2^{1} \cdot 3^{2} \cdot 5^{1} = 2 \cdot 9 \cdot 5 = 90$

Ответ: 90