Номер 7.23, страница 192 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.23. Объясните, какое из чисел больше:

1) $a^2$ или $\frac{1}{a^2}$ при $a>1$ и при $0<a<1$;

2) $a^2$ или $a^3$ при $a>1$ и при $a<1$.

1) Сравнение чисел $a^2$ и $\frac{1}{a^2}$.

Случай при $a > 1$:
Если число $a$ больше 1, то его квадрат $a^2$ также будет больше 1. Обратное к нему число $\frac{1}{a^2}$ будет, соответственно, положительным, но меньше 1. Сравнивая число, которое больше 1 ($a^2$), с числом, которое меньше 1 ($\frac{1}{a^2}$), очевидно, что $a^2 > \frac{1}{a^2}$.
Например, если $a=2$, то $a^2=4$, а $\frac{1}{a^2}=\frac{1}{4}$. Действительно, $4 > \frac{1}{4}$.

Случай при $0 < a < 1$:
Если положительное число $a$ меньше 1, то его квадрат $a^2$ также будет меньше 1 (оставаясь положительным). Обратное к нему число $\frac{1}{a^2}$ будет, соответственно, больше 1. Сравнивая число, которое меньше 1 ($a^2$), с числом, которое больше 1 ($\frac{1}{a^2}$), получаем, что $a^2 < \frac{1}{a^2}$.
Например, если $a=0.5$, то $a^2=0.25$, а $\frac{1}{a^2}=4$. Действительно, $0.25 < 4$.

Ответ: при $a > 1$ больше число $a^2$; при $0 < a < 1$ больше число $\frac{1}{a^2}$.

2) Сравнение чисел $a^2$ и $a^3$.

Для сравнения этих чисел удобно рассмотреть их разность: $a^3 - a^2$. Вынесем общий множитель за скобки: $a^2(a-1)$. Знак этого выражения покажет, какое из чисел больше.

Случай при $a > 1$:
В этом случае множитель $a^2$ положителен. Множитель $(a-1)$ также положителен, так как $a > 1$. Произведение двух положительных чисел $a^2(a-1)$ положительно. Следовательно, разность $a^3 - a^2 > 0$, что означает $a^3 > a^2$.
Например, если $a=3$, то $a^2=9$ и $a^3=27$. Действительно, $27 > 9$.

Случай при $a < 1$:
В этом случае множитель $a^2$ неотрицателен ($a^2 \ge 0$). Множитель $(a-1)$ отрицателен, так как по условию $a < 1$.
- Если $a < 1$ и $a \ne 0$, то $a^2$ строго положителен. Произведение положительного числа $a^2$ на отрицательное $(a-1)$ будет отрицательным: $a^2(a-1) < 0$. Следовательно, разность $a^3 - a^2 < 0$, то есть $a^3 < a^2$.
- Если $a = 0$, то $a^2 = 0^2 = 0$ и $a^3 = 0^3 = 0$. В этом случае числа равны.
Например, если $a=0.5$, то $a^2=0.25$, а $a^3=0.125$. Здесь $a^2 > a^3$. Если $a=-2$, то $a^2=4$, а $a^3=-8$. Здесь также $a^2 > a^3$.

Ответ: при $a > 1$ больше число $a^3$; при $a < 1$ и $a \ne 0$ больше число $a^2$ (при $a=0$ числа равны).