Номер 7.21, страница 191 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.21. Упростите:

1) $\frac{y - \frac{1}{y}}{\frac{1}{y} + 1}$

2) $\frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}{\frac{1}{xy}}$

1) Чтобы упростить данное выражение, сначала преобразуем числитель и знаменатель дроби, приведя их к общему знаменателю.

Числитель: $y - \frac{1}{y} = \frac{y \cdot y}{y} - \frac{1}{y} = \frac{y^2 - 1}{y}$.

Знаменатель: $\frac{1}{y} + 1 = \frac{1}{y} + \frac{y}{y} = \frac{1 + y}{y}$.

Теперь подставим полученные выражения обратно в исходную дробь:

$\frac{y - \frac{1}{y}}{\frac{1}{y} + 1} = \frac{\frac{y^2 - 1}{y}}{\frac{y + 1}{y}}$

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$\frac{y^2 - 1}{y} \cdot \frac{y}{y + 1}$

Сократим $y$ в числителе и знаменателе:

$\frac{y^2 - 1}{y + 1}$

Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для числителя:

$\frac{(y - 1)(y + 1)}{y + 1}$

Сократим общий множитель $(y + 1)$:

$y - 1$

Ответ: $y-1$

2) Сначала преобразуем числитель дроби, приведя слагаемые к общему знаменателю.

Числитель: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{y}{xy} + \frac{x}{xy} = \frac{x + y}{xy}$.

Теперь подставим полученное выражение в числитель исходной дроби:

$\frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}{\frac{1}{xy}} = \frac{\frac{x + y}{xy}}{\frac{1}{xy}}$

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$\frac{x + y}{xy} \cdot \frac{xy}{1}$

Сократим общий множитель $xy$ в числителе и знаменателе:

$x + y$

Ответ: $x+y$