Номер 7.28, страница 192 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.28. Докажите, что при любом натуральном $n$ значение дроби $\frac{9^{2n} + 14}{5}$ является натуральным числом.

Для того чтобы доказать, что при любом натуральном $n$ значение дроби $ \frac{9^{2n} + 14}{5} $ является натуральным числом, необходимо показать, что числитель $9^{2n} + 14$ является положительным целым числом, которое делится на 5 без остатка.

Поскольку $n$ — натуральное число, то $n \ge 1$. Это означает, что $9^{2n}$ — всегда положительное число. Сумма $9^{2n} + 14$ также всегда положительна. Таким образом, нам остается доказать, что $9^{2n} + 14$ делится на 5.

Докажем это, проанализировав, на какую цифру оканчивается значение числителя. Число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра — 0 или 5.

Рассмотрим, на какую цифру оканчивается число $9^{2n}$. Для этого посмотрим на последние цифры первых нескольких степеней девятки:

• $9^1 = 9$
• $9^2 = 81$ (оканчивается на 1)
• $9^3 = 729$ (оканчивается на 9)
• $9^4 = 6561$ (оканчивается на 1)

Можно заметить, что последняя цифра степени числа 9 зависит от четности показателя: если показатель нечетный, последняя цифра — 9; если показатель четный, последняя цифра — 1.

В выражении $9^{2n}$ показатель степени $2n$ при любом натуральном $n$ ($n=1, 2, 3, \ldots$) является четным числом. Следовательно, число $9^{2n}$ всегда оканчивается на 1.

Теперь рассмотрим весь числитель: $9^{2n} + 14$.

Мы установили, что число $9^{2n}$ оканчивается на 1. Число 14 оканчивается на 4. Чтобы найти последнюю цифру их суммы, достаточно сложить их последние цифры: $1 + 4 = 5$.

Таким образом, значение выражения $9^{2n} + 14$ при любом натуральном $n$ оканчивается на 5. Любое целое число, оканчивающееся на 5, делится на 5 без остатка.

Так как числитель $9^{2n} + 14$ является положительным числом и делится на 5, то значение дроби $ \frac{9^{2n} + 14}{5} $ всегда является натуральным числом, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано. Так как $2n$ — четное число, $9^{2n}$ всегда оканчивается на 1. Тогда сумма $9^{2n} + 14$ оканчивается на $1+4=5$, а значит, всегда делится на 5. Поскольку при натуральном $n$ числитель положителен, вся дробь является натуральным числом.