Страница 192 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.23. Объясните, какое из чисел больше:

1) $a^2$ или $\frac{1}{a^2}$ при $a>1$ и при $0<a<1$;

2) $a^2$ или $a^3$ при $a>1$ и при $a<1$.

1) Сравнение чисел $a^2$ и $\frac{1}{a^2}$.

Случай при $a > 1$:
Если число $a$ больше 1, то его квадрат $a^2$ также будет больше 1. Обратное к нему число $\frac{1}{a^2}$ будет, соответственно, положительным, но меньше 1. Сравнивая число, которое больше 1 ($a^2$), с числом, которое меньше 1 ($\frac{1}{a^2}$), очевидно, что $a^2 > \frac{1}{a^2}$.
Например, если $a=2$, то $a^2=4$, а $\frac{1}{a^2}=\frac{1}{4}$. Действительно, $4 > \frac{1}{4}$.

Случай при $0 < a < 1$:
Если положительное число $a$ меньше 1, то его квадрат $a^2$ также будет меньше 1 (оставаясь положительным). Обратное к нему число $\frac{1}{a^2}$ будет, соответственно, больше 1. Сравнивая число, которое меньше 1 ($a^2$), с числом, которое больше 1 ($\frac{1}{a^2}$), получаем, что $a^2 < \frac{1}{a^2}$.
Например, если $a=0.5$, то $a^2=0.25$, а $\frac{1}{a^2}=4$. Действительно, $0.25 < 4$.

Ответ: при $a > 1$ больше число $a^2$; при $0 < a < 1$ больше число $\frac{1}{a^2}$.

2) Сравнение чисел $a^2$ и $a^3$.

Для сравнения этих чисел удобно рассмотреть их разность: $a^3 - a^2$. Вынесем общий множитель за скобки: $a^2(a-1)$. Знак этого выражения покажет, какое из чисел больше.

Случай при $a > 1$:
В этом случае множитель $a^2$ положителен. Множитель $(a-1)$ также положителен, так как $a > 1$. Произведение двух положительных чисел $a^2(a-1)$ положительно. Следовательно, разность $a^3 - a^2 > 0$, что означает $a^3 > a^2$.
Например, если $a=3$, то $a^2=9$ и $a^3=27$. Действительно, $27 > 9$.

Случай при $a < 1$:
В этом случае множитель $a^2$ неотрицателен ($a^2 \ge 0$). Множитель $(a-1)$ отрицателен, так как по условию $a < 1$.
- Если $a < 1$ и $a \ne 0$, то $a^2$ строго положителен. Произведение положительного числа $a^2$ на отрицательное $(a-1)$ будет отрицательным: $a^2(a-1) < 0$. Следовательно, разность $a^3 - a^2 < 0$, то есть $a^3 < a^2$.
- Если $a = 0$, то $a^2 = 0^2 = 0$ и $a^3 = 0^3 = 0$. В этом случае числа равны.
Например, если $a=0.5$, то $a^2=0.25$, а $a^3=0.125$. Здесь $a^2 > a^3$. Если $a=-2$, то $a^2=4$, а $a^3=-8$. Здесь также $a^2 > a^3$.

Ответ: при $a > 1$ больше число $a^3$; при $a < 1$ и $a \ne 0$ больше число $a^2$ (при $a=0$ числа равны).

7.24. Сократите дробь:

1) $ \frac{3a(x+y)^2}{9a^2(x+y)} $;

2) $ \frac{10x^2y(a-b)^2}{25x^4y(a-b)^3} $;

3) $ \frac{7m^3n^5(p+q)}{21m^2n^3(p+q)^2} $

1) Чтобы сократить дробь $\frac{3a(x+y)^2}{9a^2(x+y)}$, необходимо разделить числитель и знаменатель на их общие множители.
Рассмотрим каждый множитель отдельно:
- Числовые коэффициенты: $\frac{3}{9}$. Разделим числитель и знаменатель на 3, получим $\frac{1}{3}$.
- Переменная $a$: $\frac{a}{a^2}$. Используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, получаем $a^{1-2} = a^{-1} = \frac{1}{a}$.
- Выражение $(x+y)$: $\frac{(x+y)^2}{(x+y)}$. Аналогично, получаем $(x+y)^{2-1} = (x+y)^1 = x+y$.
Теперь соберем все части вместе:
$\frac{3a(x+y)^2}{9a^2(x+y)} = \frac{3}{9} \cdot \frac{a}{a^2} \cdot \frac{(x+y)^2}{(x+y)} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{a} \cdot (x+y) = \frac{x+y}{3a}$.
Ответ: $\frac{x+y}{3a}$

2) Сократим дробь $\frac{10x^2y(a-b)^2}{25x^4y(a-b)^3}$.
Разделим числитель и знаменатель на общие множители:
- Числовые коэффициенты: $\frac{10}{25}$. Наибольший общий делитель для 10 и 25 это 5. $\frac{10 \div 5}{25 \div 5} = \frac{2}{5}$.
- Переменная $x$: $\frac{x^2}{x^4} = x^{2-4} = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$.
- Переменная $y$: $\frac{y}{y} = y^{1-1} = y^0 = 1$.
- Выражение $(a-b)$: $\frac{(a-b)^2}{(a-b)^3} = (a-b)^{2-3} = (a-b)^{-1} = \frac{1}{a-b}$.
Перемножим полученные части:
$\frac{10x^2y(a-b)^2}{25x^4y(a-b)^3} = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{x^2} \cdot 1 \cdot \frac{1}{a-b} = \frac{2}{5x^2(a-b)}$.
Ответ: $\frac{2}{5x^2(a-b)}$

3) Сократим дробь $\frac{7m^3n^5(p+q)}{21m^2n^3(p+q)^2}$.
Сократим поочередно общие множители в числителе и знаменателе:
- Числовые коэффициенты: $\frac{7}{21}$. Разделим на 7, получим $\frac{1}{3}$.
- Переменная $m$: $\frac{m^3}{m^2} = m^{3-2} = m^1 = m$.
- Переменная $n$: $\frac{n^5}{n^3} = n^{5-3} = n^2$.
- Выражение $(p+q)$: $\frac{(p+q)}{(p+q)^2} = (p+q)^{1-2} = (p+q)^{-1} = \frac{1}{p+q}$.
Объединим все упрощенные части:
$\frac{7m^3n^5(p+q)}{21m^2n^3(p+q)^2} = \frac{1}{3} \cdot m \cdot n^2 \cdot \frac{1}{p+q} = \frac{mn^2}{3(p+q)}$.
Ответ: $\frac{mn^2}{3(p+q)}$

7.25. Сократите дробь:

1) $\frac{8x^2y^2(a-5)}{12xy^4(5-a)}$

2) $\frac{3x^2+4xy}{9x^2y-16y^3}$

3) $\frac{2ac-4bc}{5a^3c-20acb^2}$

1) $\frac{8x^2y^2(a-5)}{12xy^4(5-a)}$

Для сокращения дроби разложим числитель и знаменатель на множители. Заметим, что выражения в скобках $(a-5)$ и $(5-a)$ являются противоположными. Мы можем записать $(5-a)$ как $-(a-5)$.

$\frac{8x^2y^2(a-5)}{12xy^4(5-a)} = \frac{8x^2y^2(a-5)}{12xy^4 \cdot (-(a-5))} = -\frac{8x^2y^2(a-5)}{12xy^4(a-5)}$

Теперь сократим общие множители:

• Числовые коэффициенты 8 и 12 сокращаются на 4: $\frac{8}{12} = \frac{2}{3}$.
• Переменные $x$: $\frac{x^2}{x} = x^{2-1} = x$.
• Переменные $y$: $\frac{y^2}{y^4} = y^{2-4} = y^{-2} = \frac{1}{y^2}$.
• Выражение в скобках $(a-5)$ также сокращается.

Собираем все вместе, не забывая про знак минуса перед дробью:

$-\frac{2x}{3y^2}$

Ответ: $-\frac{2x}{3y^2}$

2) $\frac{3x^2+4xy}{9x^2y-16y^3}$

Чтобы сократить дробь, необходимо разложить на множители ее числитель и знаменатель.

В числителе вынесем за скобки общий множитель $x$:

$3x^2+4xy = x(3x+4y)$

В знаменателе сначала вынесем за скобки общий множитель $y$. Затем к выражению в скобках применим формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$9x^2y-16y^3 = y(9x^2-16y^2) = y((3x)^2-(4y)^2) = y(3x-4y)(3x+4y)$

Теперь запишем дробь с разложенными числителем и знаменателем и сократим общий множитель $(3x+4y)$:

$\frac{x(3x+4y)}{y(3x-4y)(3x+4y)} = \frac{x}{y(3x-4y)}$

Ответ: $\frac{x}{y(3x-4y)}$

3) $\frac{2ac-4bc}{5a^3c-20acb^2}$

Разложим на множители числитель и знаменатель дроби.

В числителе вынесем за скобки общий множитель $2c$:

$2ac-4bc = 2c(a-2b)$

В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $5ac$. Затем, как и в предыдущем примере, используем формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$5a^3c-20acb^2 = 5ac(a^2-4b^2) = 5ac(a^2-(2b)^2) = 5ac(a-2b)(a+2b)$

Подставим полученные выражения в дробь и сократим общие множители $c$ и $(a-2b)$:

$\frac{2c(a-2b)}{5ac(a-2b)(a+2b)} = \frac{2}{5a(a+2b)}$

Ответ: $\frac{2}{5a(a+2b)}$

7.26. Найдите значение выражения:

1) $\frac{a^2x - ax^2}{a - x}$ при $a=1,5, x=0,75;$

2) $\frac{a^2 - 8a + 16}{ax - 4x}$ при $a=-5, x=-2.$

1) Дано выражение $\frac{a^2x - ax^2}{a-x}$ при $a=1,5$ и $x=0,75$.

Сначала упростим выражение, разложив числитель на множители. Вынесем общий множитель $ax$ за скобки:

$a^2x - ax^2 = ax(a-x)$

Теперь подставим это в исходную дробь:

$\frac{ax(a-x)}{a-x}$

Можно сократить дробь на $(a-x)$, так как при заданных значениях $a$ и $x$ этот множитель не равен нулю: $a-x = 1,5 - 0,75 = 0,75 \neq 0$.

После сокращения получаем упрощенное выражение:

$ax$

Теперь подставим числовые значения $a=1,5$ и $x=0,75$ в упрощенное выражение:

$1,5 \cdot 0,75$

Для удобства вычислений можно представить десятичные дроби в виде обыкновенных: $1,5 = \frac{3}{2}$ и $0,75 = \frac{3}{4}$.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 4} = \frac{9}{8} = 1,125$

Ответ: 1,125

2) Дано выражение $\frac{a^2 - 8a + 16}{ax - 4x}$ при $a=-5$ и $x=-2$.

Сначала упростим выражение.

Числитель $a^2 - 8a + 16$ является полным квадратом разности, который можно свернуть по формуле $(p-q)^2 = p^2 - 2pq + q^2$:

$a^2 - 8a + 16 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 4 + 4^2 = (a-4)^2$

В знаменателе $ax - 4x$ вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$ax - 4x = x(a-4)$

Теперь подставим преобразованные числитель и знаменатель в исходную дробь:

$\frac{(a-4)^2}{x(a-4)}$

Сократим дробь на общий множитель $(a-4)$, так как при $a=-5$ он не равен нулю: $a-4 = -5 - 4 = -9 \neq 0$.

После сокращения получаем:

$\frac{a-4}{x}$

Теперь подставим числовые значения $a=-5$ и $x=-2$ в упрощенное выражение:

$\frac{-5 - 4}{-2} = \frac{-9}{-2} = 4,5$

Ответ: 4,5

7.27. Вычислите:

1) $\frac{5^4 + 5 \cdot 3^6}{5^3 + 5^2 \cdot 3^2}$;

2) $\frac{6^6 \cdot 2^3 - 3^6}{6^6 + 3^3 \cdot 6^3 + 3^6}$;

3) $\frac{(-27)^{-15} \cdot (-9)^{20}}{(-3)^{-7}}$.

1) Для решения данного примера преобразуем числитель и знаменатель дроби, вынося общие множители за скобки.
В числителе $5^4 + 5 \cdot 3^6$ вынесем за скобки общий множитель $5$:
$5^4 + 5 \cdot 3^6 = 5 \cdot 5^3 + 5 \cdot 3^6 = 5(5^3 + 3^6)$.
В знаменателе $5^3 + 5^2 \cdot 3^2$ вынесем за скобки общий множитель $5^2$:
$5^3 + 5^2 \cdot 3^2 = 5^2 \cdot 5 + 5^2 \cdot 3^2 = 5^2(5 + 3^2)$.
Теперь запишем дробь с преобразованными числителем и знаменателем:
$\frac{5^4 + 5 \cdot 3^6}{5^3 + 5^2 \cdot 3^2} = \frac{5(5^3 + 3^6)}{5^2(5 + 3^2)}$.
Сократим дробь на $5$:
$\frac{5^3 + 3^6}{5(5 + 3^2)}$.
Вычислим значения в скобках и подставим их в выражение:
$5^3 = 125$
$3^6 = (3^3)^2 = 27^2 = 729$
$5 + 3^2 = 5 + 9 = 14$
$\frac{125 + 729}{5 \cdot 14} = \frac{854}{70}$.
Сократим полученную дробь. Заметим, что $854 = 14 \cdot 61$ и $70 = 14 \cdot 5$.
$\frac{854}{70} = \frac{14 \cdot 61}{14 \cdot 5} = \frac{61}{5}$.
Также можно представить ответ в виде десятичной дроби: $12.2$.
Ответ: $\frac{61}{5}$

2) Для упрощения выражения $\frac{6^6 \cdot 2^3 - 3^6}{6^6 + 3^3 \cdot 6^3 + 3^6}$ представим число 6 как произведение $2 \cdot 3$ и воспользуемся свойствами степеней.
Преобразуем числитель, вынеся общий множитель за скобки:
$6^6 \cdot 2^3 - 3^6 = (2 \cdot 3)^6 \cdot 2^3 - 3^6 = (2^6 \cdot 3^6) \cdot 2^3 - 3^6 = 2^9 \cdot 3^6 - 3^6 = 3^6(2^9 - 1)$.
Преобразуем знаменатель, вынеся общий множитель за скобки:
$6^6 + 3^3 \cdot 6^3 + 3^6 = (2 \cdot 3)^6 + 3^3 \cdot (2 \cdot 3)^3 + 3^6 = 2^6 \cdot 3^6 + 3^3 \cdot 2^3 \cdot 3^3 + 3^6 = 2^6 \cdot 3^6 + 2^3 \cdot 3^6 + 3^6 = 3^6(2^6 + 2^3 + 1)$.
Запишем дробь с преобразованными частями:
$\frac{3^6(2^9 - 1)}{3^6(2^6 + 2^3 + 1)} = \frac{2^9 - 1}{2^6 + 2^3 + 1}$.
Для числителя применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$, где $a=2^3$ и $b=1$:
$2^9 - 1 = (2^3)^3 - 1^3 = (2^3 - 1)((2^3)^2 + 2^3 \cdot 1 + 1^2) = (8-1)(2^6 + 2^3 + 1) = 7(2^6 + 2^3 + 1)$.
Подставим это в нашу дробь:
$\frac{7(2^6 + 2^3 + 1)}{2^6 + 2^3 + 1}$.
Сократив дробь на $(2^6 + 2^3 + 1)$, получаем 7.
Ответ: 7

3) Для вычисления значения выражения $\frac{(-27)^{-15} \cdot (-9)^{20}}{(-3)^{-7}}$ представим все основания степеней через число 3, учитывая знаки.
$-27 = (-1) \cdot 3^3$
$-9 = (-1) \cdot 3^2$
$-3 = (-1) \cdot 3$
Подставим эти значения в исходное выражение:
$\frac{((-1) \cdot 3^3)^{-15} \cdot ((-1) \cdot 3^2)^{20}}{((-1) \cdot 3)^{-7}} = \frac{(-1)^{-15} \cdot (3^3)^{-15} \cdot (-1)^{20} \cdot (3^2)^{20}}{(-1)^{-7} \cdot 3^{-7}} = \frac{(-1)^{-15} \cdot 3^{-45} \cdot (-1)^{20} \cdot 3^{40}}{(-1)^{-7} \cdot 3^{-7}}$.
Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями:
$\frac{(-1)^{-15} \cdot (-1)^{20}}{(-1)^{-7}} \cdot \frac{3^{-45} \cdot 3^{40}}{3^{-7}}$.
Разберемся со знаками (множителями с основанием -1). Степень отрицательного числа с нечетным показателем отрицательна, а с четным — положительна.
$(-1)^{-15} = -1$
$(-1)^{20} = 1$
$(-1)^{-7} = -1$
Первая дробь равна $\frac{-1 \cdot 1}{-1} = 1$.
Теперь вычислим вторую дробь с основанием 3, используя свойства степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{3^{-45} \cdot 3^{40}}{3^{-7}} = \frac{3^{-45+40}}{3^{-7}} = \frac{3^{-5}}{3^{-7}} = 3^{-5 - (-7)} = 3^{-5+7} = 3^2 = 9$.
Окончательный результат равен произведению двух частей: $1 \cdot 9 = 9$.
Ответ: 9

7.28. Докажите, что при любом натуральном $n$ значение дроби $\frac{9^{2n} + 14}{5}$ является натуральным числом.

Для того чтобы доказать, что при любом натуральном $n$ значение дроби $ \frac{9^{2n} + 14}{5} $ является натуральным числом, необходимо показать, что числитель $9^{2n} + 14$ является положительным целым числом, которое делится на 5 без остатка.

Поскольку $n$ — натуральное число, то $n \ge 1$. Это означает, что $9^{2n}$ — всегда положительное число. Сумма $9^{2n} + 14$ также всегда положительна. Таким образом, нам остается доказать, что $9^{2n} + 14$ делится на 5.

Докажем это, проанализировав, на какую цифру оканчивается значение числителя. Число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра — 0 или 5.

Рассмотрим, на какую цифру оканчивается число $9^{2n}$. Для этого посмотрим на последние цифры первых нескольких степеней девятки:

• $9^1 = 9$
• $9^2 = 81$ (оканчивается на 1)
• $9^3 = 729$ (оканчивается на 9)
• $9^4 = 6561$ (оканчивается на 1)

Можно заметить, что последняя цифра степени числа 9 зависит от четности показателя: если показатель нечетный, последняя цифра — 9; если показатель четный, последняя цифра — 1.

В выражении $9^{2n}$ показатель степени $2n$ при любом натуральном $n$ ($n=1, 2, 3, \ldots$) является четным числом. Следовательно, число $9^{2n}$ всегда оканчивается на 1.

Теперь рассмотрим весь числитель: $9^{2n} + 14$.

Мы установили, что число $9^{2n}$ оканчивается на 1. Число 14 оканчивается на 4. Чтобы найти последнюю цифру их суммы, достаточно сложить их последние цифры: $1 + 4 = 5$.

Таким образом, значение выражения $9^{2n} + 14$ при любом натуральном $n$ оканчивается на 5. Любое целое число, оканчивающееся на 5, делится на 5 без остатка.

Так как числитель $9^{2n} + 14$ является положительным числом и делится на 5, то значение дроби $ \frac{9^{2n} + 14}{5} $ всегда является натуральным числом, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано. Так как $2n$ — четное число, $9^{2n}$ всегда оканчивается на 1. Тогда сумма $9^{2n} + 14$ оканчивается на $1+4=5$, а значит, всегда делится на 5. Поскольку при натуральном $n$ числитель положителен, вся дробь является натуральным числом.

7.29. Сравните числа $100^{20}$ и $9999^{10}$.

Для того чтобы сравнить числа $100^{20}$ и $9999^{10}$, необходимо привести их к общему основанию или к общему показателю степени. В данном случае удобнее привести их к общему показателю степени.

Преобразуем число $100^{20}$. Заметим, что показатель степени $20$ можно представить как $2 \times 10$. Воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{m \times n}$:

$100^{20} = 100^{2 \times 10} = (100^2)^{10}$

Теперь вычислим значение $100^2$, которое является новым основанием:

$100^2 = 100 \times 100 = 10000$

Таким образом, мы можем записать первое число как $100^{20} = 10000^{10}$.

Теперь задача сводится к сравнению двух чисел с одинаковым показателем степени: $10000^{10}$ и $9999^{10}$.

Если два положительных числа возводятся в одну и ту же положительную степень, то большим будет то число, у которого основание больше. То есть, для $a > b > 0$ и $n > 0$ справедливо неравенство $a^n > b^n$.

Сравним основания наших чисел:

$10000 > 9999$

Поскольку основание $10000$ больше основания $9999$, то и результат возведения в степень $10$ будет больше:

$10000^{10} > 9999^{10}$

Так как $100^{20} = 10000^{10}$, мы можем сделать окончательный вывод:

$100^{20} > 9999^{10}$

Ответ: $100^{20} > 9999^{10}$.

7.30. Упростите выражение:

1) $\frac{28^{n+1}}{2^{2n+1} \cdot 7^n}$;

2) $\frac{90^{n+1}}{2^n \cdot 3^{2n} \cdot 5^n}$

1) Для упрощения выражения $\frac{28^{n+1}}{2^{2n+1} \cdot 7^n}$ необходимо привести все степени к простым основаниям. Разложим число 28 на простые множители: $28 = 4 \cdot 7 = 2^2 \cdot 7$.

Подставим это разложение в числитель:

$28^{n+1} = (2^2 \cdot 7)^{n+1}$

Используя свойство степени произведения $(ab)^m = a^m b^m$, получаем:

$(2^2 \cdot 7)^{n+1} = (2^2)^{n+1} \cdot 7^{n+1}$

Далее, используя свойство степени степени $(a^m)^k = a^{mk}$, получаем:

$(2^2)^{n+1} = 2^{2(n+1)} = 2^{2n+2}$

Таким образом, числитель равен $2^{2n+2} \cdot 7^{n+1}$.

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходную дробь:

$\frac{2^{2n+2} \cdot 7^{n+1}}{2^{2n+1} \cdot 7^n}$

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим свойство частного степеней $\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$:

$\frac{2^{2n+2}}{2^{2n+1}} \cdot \frac{7^{n+1}}{7^n} = 2^{(2n+2)-(2n+1)} \cdot 7^{(n+1)-n} = 2^{2n+2-2n-1} \cdot 7^{n+1-n} = 2^1 \cdot 7^1 = 2 \cdot 7 = 14$

Ответ: 14

2) Для упрощения выражения $\frac{90^{n+1}}{2^n \cdot 3^{2n} \cdot 5^n}$ также приведем основание в числителе к простым множителям. Разложим число 90 на простые множители: $90 = 9 \cdot 10 = 3^2 \cdot 2 \cdot 5$.

Подставим это разложение в числитель:

$90^{n+1} = (2 \cdot 3^2 \cdot 5)^{n+1}$

Используя свойство степени произведения $(abc)^m = a^m b^m c^m$, получаем:

$(2 \cdot 3^2 \cdot 5)^{n+1} = 2^{n+1} \cdot (3^2)^{n+1} \cdot 5^{n+1}$

Применим свойство степени степени $(a^m)^k = a^{mk}$:

$(3^2)^{n+1} = 3^{2(n+1)} = 3^{2n+2}$

Таким образом, числитель равен $2^{n+1} \cdot 3^{2n+2} \cdot 5^{n+1}$.

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходную дробь. Заметим, что в знаменателе $3^{2n} = (3^2)^n = 9^n$. Это можно использовать для альтернативного решения. Но мы продолжим с разложением на простые множители:

$\frac{2^{n+1} \cdot 3^{2n+2} \cdot 5^{n+1}}{2^n \cdot 3^{2n} \cdot 5^n}$

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим свойство частного степеней $\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$:

$\frac{2^{n+1}}{2^n} \cdot \frac{3^{2n+2}}{3^{2n}} \cdot \frac{5^{n+1}}{5^n} = 2^{(n+1)-n} \cdot 3^{(2n+2)-2n} \cdot 5^{(n+1)-n} = 2^{1} \cdot 3^{2} \cdot 5^{1} = 2 \cdot 9 \cdot 5 = 90$

Ответ: 90

7.31. Постройте график функции::

1) $y = -\frac{1}{2}x^2$;

2) $y = \frac{x^3}{3}$;

3) $y = -\frac{4}{x}$.

1) Построим график функции $y = -\frac{1}{2}x^2$.

Это квадратичная функция, её график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен $-\frac{1}{2}$ (отрицательное число), ветви параболы направлены вниз. Вершина параболы находится в начале координат, в точке $(0, 0)$. Функция является четной, поскольку $y(-x) = -\frac{1}{2}(-x)^2 = -\frac{1}{2}x^2 = y(x)$, а значит её график симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

Для построения графика составим таблицу значений:

• Если $x = 0$, то $y = -\frac{1}{2} \cdot 0^2 = 0$. Точка $(0, 0)$.
• Если $x = 1$, то $y = -\frac{1}{2} \cdot 1^2 = -0.5$. Точка $(1, -0.5)$.
• Если $x = -1$, то $y = -\frac{1}{2} \cdot (-1)^2 = -0.5$. Точка $(-1, -0.5)$.
• Если $x = 2$, то $y = -\frac{1}{2} \cdot 2^2 = -2$. Точка $(2, -2)$.
• Если $x = -2$, то $y = -\frac{1}{2} \cdot (-2)^2 = -2$. Точка $(-2, -2)$.
• Если $x = 4$, то $y = -\frac{1}{2} \cdot 4^2 = -8$. Точка $(4, -8)$.
• Если $x = -4$, то $y = -\frac{1}{2} \cdot (-4)^2 = -8$. Точка $(-4, -8)$.

Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией, чтобы получить параболу.

Ответ: График функции $y = -\frac{1}{2}x^2$ — это парабола с вершиной в точке $(0, 0)$, ветви которой направлены вниз. График симметричен относительно оси Oy.

2) Построим график функции $y = \frac{x^3}{3}$.

Это кубическая функция, её график — кубическая парабола. График проходит через начало координат, точку $(0, 0)$. Функция является нечетной, так как $y(-x) = \frac{(-x)^3}{3} = -\frac{x^3}{3} = -y(x)$, поэтому её график симметричен относительно начала координат.

Для построения графика составим таблицу значений:

• Если $x = 0$, то $y = \frac{0^3}{3} = 0$. Точка $(0, 0)$.
• Если $x = 1$, то $y = \frac{1^3}{3} = \frac{1}{3}$. Точка $(1, \frac{1}{3})$.
• Если $x = -1$, то $y = \frac{(-1)^3}{3} = -\frac{1}{3}$. Точка $(-1, -\frac{1}{3})$.
• Если $x = 2$, то $y = \frac{2^3}{3} = \frac{8}{3} \approx 2.67$. Точка $(2, \frac{8}{3})$.
• Если $x = -2$, то $y = \frac{(-2)^3}{3} = -\frac{8}{3} \approx -2.67$. Точка $(-2, -\frac{8}{3})$.
• Если $x = 3$, то $y = \frac{3^3}{3} = 9$. Точка $(3, 9)$.
• Если $x = -3$, то $y = \frac{(-3)^3}{3} = -9$. Точка $(-3, -9)$.

Отметим точки на координатной плоскости и соединим их плавной кривой. График будет расположен в I и III координатных четвертях.

Ответ: График функции $y = \frac{x^3}{3}$ — это кубическая парабола, которая проходит через начало координат и симметрична относительно него.

3) Построим график функции $y = -\frac{4}{x}$.

Это функция обратной пропорциональности, её график — гипербола. Область определения функции — все числа, кроме $x=0$. Так как коэффициент $k = -4$ отрицательный, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях. Оси координат ($x=0$ и $y=0$) являются асимптотами графика, то есть кривая будет бесконечно к ним приближаться, но никогда не пересечет. Функция нечетная, так как $y(-x) = -\frac{4}{-x} = \frac{4}{x} = -y(x)$, поэтому график симметричен относительно начала координат.

Составим таблицу значений для каждой ветви:

Для IV четверти ($x > 0$):

• Если $x = 1$, то $y = -\frac{4}{1} = -4$. Точка $(1, -4)$.
• Если $x = 2$, то $y = -\frac{4}{2} = -2$. Точка $(2, -2)$.
• Если $x = 4$, то $y = -\frac{4}{4} = -1$. Точка $(4, -1)$.

Для II четверти ($x < 0$):

• Если $x = -1$, то $y = -\frac{4}{-1} = 4$. Точка $(-1, 4)$.
• Если $x = -2$, то $y = -\frac{4}{-2} = 2$. Точка $(-2, 2)$.
• Если $x = -4$, то $y = -\frac{4}{-4} = 1$. Точка $(-4, 1)$.

Построив точки для каждой ветви и соединив их плавными линиями, которые приближаются к осям координат, получим гиперболу.

Ответ: График функции $y = -\frac{4}{x}$ — это гипербола, состоящая из двух ветвей, расположенных во второй и четвертой координатных четвертях. Оси координат являются асимптотами графика.

7.32. Какие остатки могут давать точные квадраты при делении на 3; на 4?

на 3

Для того чтобы найти возможные остатки, рассмотрим, какие остатки при делении на 3 может иметь любое целое число $n$. Таких остатков три: 0, 1 и 2. Возведем в квадрат число с каждым из этих остатков.

1. Если число $n$ делится на 3, то его можно представить в виде $n = 3k$, где $k$ – целое число. Тогда его квадрат $n^2 = (3k)^2 = 9k^2 = 3(3k^2)$. Такое число делится на 3 без остатка. Остаток равен 0.

2. Если число $n$ при делении на 3 дает остаток 1, то $n = 3k + 1$. Его квадрат $n^2 = (3k + 1)^2 = (3k)^2 + 2 \cdot 3k \cdot 1 + 1^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1$. При делении на 3 такое число дает остаток 1.

3. Если число $n$ при делении на 3 дает остаток 2, то $n = 3k + 2$. Его квадрат $n^2 = (3k + 2)^2 = (3k)^2 + 2 \cdot 3k \cdot 2 + 2^2 = 9k^2 + 12k + 4 = 9k^2 + 12k + 3 + 1 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1$. При делении на 3 такое число также дает остаток 1.

Таким образом, точный квадрат при делении на 3 может давать в остатке только 0 или 1.
Ответ: 0 или 1.

на 4

Для нахождения остатков от деления точного квадрата на 4 рассмотрим два случая: когда исходное число $n$ является четным и когда оно является нечетным.

1. Если число $n$ четное, то оно имеет вид $n = 2k$ для некоторого целого $k$. Тогда его квадрат $n^2 = (2k)^2 = 4k^2$. Это число делится на 4 без остатка. Остаток равен 0.

2. Если число $n$ нечетное, то оно имеет вид $n = 2k + 1$. Тогда его квадрат $n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 4(k^2 + k) + 1$. При делении на 4 такое число дает остаток 1.

Следовательно, квадрат четного числа всегда дает остаток 0 при делении на 4, а квадрат нечетного числа всегда дает остаток 1. Других остатков быть не может.

Таким образом, точный квадрат при делении на 4 может давать в остатке только 0 или 1.
Ответ: 0 или 1.