Страница 193 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.33. Найдите значение выражения:

1) $\frac{(a+b)^2-c^2}{a+b+c}$ при $a=-1, b=-2, c=-3;$

2) $\frac{x^3+x^2y}{x^2+2xy+y^2}$ при $x=3, y=-2.$

1) Чтобы найти значение выражения $\frac{(a+b)^2 - c^2}{a+b+c}$ при $a=-1$, $b=-2$ и $c=-3$, сначала упростим его.

Числитель $(a+b)^2 - c^2$ является разностью квадратов. Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x=a+b$ и $y=c$.

$(a+b)^2 - c^2 = ((a+b)-c)((a+b)+c) = (a+b-c)(a+b+c)$.

Теперь подставим полученное выражение в числитель дроби:

$\frac{(a+b-c)(a+b+c)}{a+b+c}$

Можно сократить дробь на $(a+b+c)$, если $a+b+c \neq 0$. Проверим это условие с заданными значениями:

$a+b+c = -1 + (-2) + (-3) = -1-2-3 = -6$.

Так как знаменатель не равен нулю, сокращение возможно. После сокращения получаем:

$a+b-c$

Теперь подставим значения $a, b$ и $c$ в это упрощенное выражение:

$-1 + (-2) - (-3) = -1 - 2 + 3 = 0$.

Ответ: 0

2) Чтобы найти значение выражения $\frac{x^3 + x^2y}{x^2 + 2xy + y^2}$ при $x=3$ и $y=-2$, сначала упростим его.

В числителе $x^3 + x^2y$ вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^3 + x^2y = x^2(x+y)$.

Знаменатель $x^2 + 2xy + y^2$ представляет собой формулу квадрата суммы: $(x+y)^2$.

Подставим преобразованные части обратно в дробь:

$\frac{x^2(x+y)}{(x+y)^2}$

Можно сократить дробь на $(x+y)$, если $x+y \neq 0$. Проверим это условие с заданными значениями:

$x+y = 3 + (-2) = 1$.

Так как $x+y \neq 0$, сокращение возможно. После сокращения получаем:

$\frac{x^2}{x+y}$

Теперь подставим значения $x=3$ и $y=-2$ в упрощенное выражение:

$\frac{3^2}{3 + (-2)} = \frac{9}{1} = 9$.

Ответ: 9

7.34. Сократите дробь:

1) $\frac{ac+bx+ax+bc}{ay+2bx+2ax+by}$;

2) $\frac{x-xy+z-zy}{1-3y+3y^2-y^3}$;

3) $\frac{3a^3+ab^2-6a^2b-2b^3}{9a^5-ab^4-18a^4b+2b^5}$.

1) Чтобы сократить данную дробь, необходимо разложить на множители её числитель и знаменатель.
Разложим на множители числитель $ac + bx + ax + bc$ методом группировки. Для этого переставим слагаемые и объединим их в группы:
$(ac + ax) + (bc + bx)$
Вынесем общие множители из каждой группы:
$a(c + x) + b(c + x)$
Теперь вынесем общий множитель $(c + x)$ за скобки:
$(a + b)(c + x)$
Теперь разложим на множители знаменатель $ay + 2bx + 2ax + by$ также методом группировки:
$(ay + by) + (2ax + 2bx)$
Вынесем общие множители из каждой группы:
$y(a + b) + 2x(a + b)$
Вынесем общий множитель $(a + b)$ за скобки:
$(a + b)(y + 2x)$
Подставим полученные выражения обратно в дробь:
$\frac{ac + bx + ax + bc}{ay + 2bx + 2ax + by} = \frac{(a + b)(c + x)}{(a + b)(y + 2x)}$
Сократим общий множитель $(a+b)$:
$\frac{c + x}{y + 2x}$
Ответ: $\frac{c + x}{2x + y}$

2) Для сокращения дроби разложим на множители её числитель и знаменатель.
Разложим числитель $x - xy + z - zy$ методом группировки:
$(x - xy) + (z - zy) = x(1 - y) + z(1 - y) = (x + z)(1 - y)$
Знаменатель $1 - 3y + 3y^2 - y^3$ представляет собой формулу сокращенного умножения — куб разности: $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.
В данном случае $a=1$ и $b=y$, поэтому:
$1 - 3y + 3y^2 - y^3 = (1 - y)^3$
Подставим полученные выражения в дробь:
$\frac{x - xy + z - zy}{1 - 3y + 3y^2 - y^3} = \frac{(x + z)(1 - y)}{(1 - y)^3}$
Сократим дробь на общий множитель $(1-y)$:
$\frac{x + z}{(1 - y)^2}$
Ответ: $\frac{x + z}{(1 - y)^2}$

3) Чтобы сократить дробь, разложим на множители её числитель и знаменатель.
Разложим на множители числитель $3a^3 + ab^2 - 6a^2b - 2b^3$ методом группировки. Переставим слагаемые:
$(3a^3 - 6a^2b) + (ab^2 - 2b^3) = 3a^2(a - 2b) + b^2(a - 2b) = (3a^2 + b^2)(a - 2b)$
Разложим на множители знаменатель $9a^5 - ab^4 - 18a^4b + 2b^5$. Сначала сгруппируем слагаемые:
$(9a^5 - 18a^4b) - (ab^4 - 2b^5) = 9a^4(a - 2b) - b^4(a - 2b) = (9a^4 - b^4)(a - 2b)$
Выражение $(9a^4 - b^4)$ является разностью квадратов, которую можно разложить дальше по формуле $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:
$9a^4 - b^4 = (3a^2)^2 - (b^2)^2 = (3a^2 - b^2)(3a^2 + b^2)$
Таким образом, знаменатель равен $(3a^2 - b^2)(3a^2 + b^2)(a - 2b)$.
Подставим разложенные выражения в дробь:
$\frac{3a^3 + ab^2 - 6a^2b - 2b^3}{9a^5 - ab^4 - 18a^4b + 2b^5} = \frac{(3a^2 + b^2)(a - 2b)}{(3a^2 - b^2)(3a^2 + b^2)(a - 2b)}$
Сократим общие множители $(3a^2 + b^2)$ и $(a - 2b)$:
$\frac{1}{3a^2 - b^2}$
Ответ: $\frac{1}{3a^2 - b^2}$

7.35. Выполните действия:

1) $\frac{2c-1}{2c} - \frac{2c}{2c-1} - \frac{1}{2c-4c^2}$

2) $\frac{3}{x^2+2xy+y^2} - \frac{4}{x^2-2xy+y^2} + \frac{5}{x^2-y^2}$

1) $\frac{2c-1}{2c} - \frac{2c}{2c-1} - \frac{1}{2c - 4c^2}$

Для начала, преобразуем знаменатель последней дроби. Вынесем за скобки общий множитель $2c$:

$2c - 4c^2 = 2c(1 - 2c)$.

Заметим, что множитель $1 - 2c$ можно представить как $-(2c - 1)$. Используем это, чтобы изменить знак перед последней дробью. Это позволит нам работать с одинаковыми выражениями в знаменателях.

$\frac{2c-1}{2c} - \frac{2c}{2c-1} - \frac{1}{2c(1 - 2c)} = \frac{2c-1}{2c} - \frac{2c}{2c-1} - \frac{1}{-2c(2c - 1)} = \frac{2c-1}{2c} - \frac{2c}{2c-1} + \frac{1}{2c(2c - 1)}$

Теперь, когда у нас есть знаменатели $2c$, $2c-1$ и $2c(2c-1)$, мы можем найти наименьший общий знаменатель. Он равен $2c(2c-1)$. Приведем все дроби к этому знаменателю. Первую дробь домножим на $(2c-1)$, вторую — на $2c$.

$\frac{(2c-1)(2c-1)}{2c(2c-1)} - \frac{2c \cdot 2c}{2c(2c-1)} + \frac{1}{2c(2c-1)}$

Объединим дроби, выполнив действия в числителе:

$\frac{(2c-1)^2 - 4c^2 + 1}{2c(2c-1)}$

Раскроем скобки в числителе, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(2c-1)^2 = (2c)^2 - 2 \cdot 2c \cdot 1 + 1^2 = 4c^2 - 4c + 1$

Подставим это в числитель и приведем подобные слагаемые:

$\frac{(4c^2 - 4c + 1) - 4c^2 + 1}{2c(2c-1)} = \frac{4c^2 - 4c + 1 - 4c^2 + 1}{2c(2c-1)} = \frac{-4c + 2}{2c(2c-1)}$

Вынесем в числителе общий множитель $-2$ за скобки:

$\frac{-2(2c - 1)}{2c(2c-1)}$

Сократим общие множители $2$ и $(2c-1)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $c \neq 0$ и $c \neq 1/2$):

$\frac{-1}{c}$

Ответ: $-\frac{1}{c}$

2) $\frac{3}{x^2 + 2xy + y^2} - \frac{4}{x^2 - 2xy + y^2} + \frac{5}{x^2 - y^2}$

Сначала разложим на множители знаменатели всех дробей, используя формулы сокращенного умножения: квадрат суммы, квадрат разности и разность квадратов.

$x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$
$x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2$
$x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$

Перепишем исходное выражение с новыми знаменателями:

$\frac{3}{(x+y)^2} - \frac{4}{(x-y)^2} + \frac{5}{(x-y)(x+y)}$

Наименьший общий знаменатель для этих дробей — это произведение всех уникальных множителей в их наивысших степенях, то есть $(x+y)^2(x-y)^2$. Приведем все дроби к этому знаменателю.

$\frac{3(x-y)^2}{(x+y)^2(x-y)^2} - \frac{4(x+y)^2}{(x+y)^2(x-y)^2} + \frac{5(x-y)(x+y)}{(x+y)^2(x-y)^2}$

Запишем все под одной дробной чертой:

$\frac{3(x-y)^2 - 4(x+y)^2 + 5(x-y)(x+y)}{(x+y)^2(x-y)^2}$

Теперь упростим числитель. Раскроем все скобки:

$3(x-y)^2 = 3(x^2 - 2xy + y^2) = 3x^2 - 6xy + 3y^2$

$4(x+y)^2 = 4(x^2 + 2xy + y^2) = 4x^2 + 8xy + 4y^2$

$5(x-y)(x+y) = 5(x^2 - y^2) = 5x^2 - 5y^2$

Подставим эти выражения обратно в числитель и приведем подобные слагаемые:

$(3x^2 - 6xy + 3y^2) - (4x^2 + 8xy + 4y^2) + (5x^2 - 5y^2) =$
$3x^2 - 6xy + 3y^2 - 4x^2 - 8xy - 4y^2 + 5x^2 - 5y^2 =$
$(3-4+5)x^2 + (-6-8)xy + (3-4-5)y^2 = 4x^2 - 14xy - 6y^2$

Знаменатель $(x+y)^2(x-y)^2$ можно записать как $((x+y)(x-y))^2 = (x^2-y^2)^2$. Таким образом, итоговое выражение имеет вид:

$\frac{4x^2 - 14xy - 6y^2}{(x^2 - y^2)^2}$

Ответ: $\frac{4x^2 - 14xy - 6y^2}{(x^2 - y^2)^2}$

7.36. Выполните действия:

1) $\frac{m^2 - 5m + 6}{m^2 + 7m + 12} \cdot \frac{m^2 + 3m}{m^2 - 4m + 4}$

2) $\frac{a^2 + 2a - 3}{a^2 + 3a - 10} : \frac{a^2 + 7a + 12}{a^2 - 9a + 14}$

1) $\frac{m^2 - 5m + 6}{m^2 + 7m + 12} \cdot \frac{m^2 + 3m}{m^2 - 4m + 4}$

Чтобы выполнить умножение дробей, разложим на множители числители и знаменатели каждой дроби.

Разложим на множители квадратный трехчлен в числителе первой дроби: $m^2 - 5m + 6$.
Для этого найдем корни уравнения $m^2 - 5m + 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение равно 6. Корни равны 2 и 3.
Следовательно, $m^2 - 5m + 6 = (m - 2)(m - 3)$.

Разложим на множители квадратный трехчлен в знаменателе первой дроби: $m^2 + 7m + 12$.
Найдем корни уравнения $m^2 + 7m + 12 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна -7, а произведение равно 12. Корни равны -3 и -4.
Следовательно, $m^2 + 7m + 12 = (m + 3)(m + 4)$.

Разложим на множители числитель второй дроби: $m^2 + 3m$.
Вынесем общий множитель $m$ за скобки: $m(m + 3)$.

Разложим на множители знаменатель второй дроби: $m^2 - 4m + 4$.
Это формула квадрата разности: $m^2 - 2 \cdot m \cdot 2 + 2^2 = (m - 2)^2$.

Теперь подставим разложенные многочлены в исходное выражение:
$\frac{(m - 2)(m - 3)}{(m + 3)(m + 4)} \cdot \frac{m(m + 3)}{(m - 2)^2}$

Сократим общие множители $(m - 2)$ и $(m + 3)$:
$\frac{\cancel{(m - 2)}(m - 3)}{\cancel{(m + 3)}(m + 4)} \cdot \frac{m\cancel{(m + 3)}}{(m - 2)^{\cancel{2}}} = \frac{m - 3}{m + 4} \cdot \frac{m}{m - 2} = \frac{m(m - 3)}{(m + 4)(m - 2)}$

Ответ: $\frac{m(m - 3)}{(m + 4)(m - 2)}$

2) $\frac{a^2 + 2a - 3}{a^2 + 3a - 10} : \frac{a^2 + 7a + 12}{a^2 - 9a + 14}$

Чтобы выполнить деление дробей, заменим деление на умножение, перевернув вторую дробь (делитель):
$\frac{a^2 + 2a - 3}{a^2 + 3a - 10} \cdot \frac{a^2 - 9a + 14}{a^2 + 7a + 12}$

Теперь разложим на множители числители и знаменатели.

Разложим $a^2 + 2a - 3$. Корни уравнения $a^2 + 2a - 3 = 0$ по теореме Виета: $a_1 + a_2 = -2$, $a_1 \cdot a_2 = -3$. Корни равны 1 и -3.
Следовательно, $a^2 + 2a - 3 = (a - 1)(a + 3)$.

Разложим $a^2 + 3a - 10$. Корни уравнения $a^2 + 3a - 10 = 0$ по теореме Виета: $a_1 + a_2 = -3$, $a_1 \cdot a_2 = -10$. Корни равны 2 и -5.
Следовательно, $a^2 + 3a - 10 = (a - 2)(a + 5)$.

Разложим $a^2 - 9a + 14$. Корни уравнения $a^2 - 9a + 14 = 0$ по теореме Виета: $a_1 + a_2 = 9$, $a_1 \cdot a_2 = 14$. Корни равны 2 и 7.
Следовательно, $a^2 - 9a + 14 = (a - 2)(a - 7)$.

Разложим $a^2 + 7a + 12$. Корни уравнения $a^2 + 7a + 12 = 0$ по теореме Виета: $a_1 + a_2 = -7$, $a_1 \cdot a_2 = 12$. Корни равны -3 и -4.
Следовательно, $a^2 + 7a + 12 = (a + 3)(a + 4)$.

Подставим разложенные многочлены в выражение:
$\frac{(a - 1)(a + 3)}{(a - 2)(a + 5)} \cdot \frac{(a - 2)(a - 7)}{(a + 3)(a + 4)}$

Сократим общие множители $(a + 3)$ и $(a - 2)$:
$\frac{(a - 1)\cancel{(a + 3)}}{\cancel{(a - 2)}(a + 5)} \cdot \frac{\cancel{(a - 2)}(a - 7)}{\cancel{(a + 3)}(a + 4)} = \frac{(a - 1)(a - 7)}{(a + 5)(a + 4)}$

Ответ: $\frac{(a - 1)(a - 7)}{(a + 5)(a + 4)}$

7.37. Упростите:

1) $\frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)} + \frac{(x-c)(x-a)}{(b-c)(b-a)} + \frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}$;

2) ; $1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{3 + \frac{1}{y}}}$;

3) $\frac{1}{a - \frac{1}{a - \frac{a}{1-a}}}$:

Обозначим данное выражение как $f(x)$. Это выражение является многочленом от переменной $x$, степень которого не превышает 2, так как в каждом слагаемом числитель является многочленом второй степени от $x$, а знаменатель от $x$ не зависит. Таким образом, $f(x) = Px^2 + Qx + R$ для некоторых коэффициентов $P, Q, R$, не зависящих от $x$.

Найдем значения этого многочлена в точках $x=a$, $x=b$ и $x=c$. Предполагается, что $a, b, c$ попарно различны, иначе знаменатели обращаются в ноль.

При $x=a$:

$f(a) = \frac{(a-b)(a-c)}{(a-b)(a-c)} + \frac{(a-c)(a-a)}{(b-c)(b-a)} + \frac{(a-a)(a-b)}{(c-a)(c-b)}$

$f(a) = 1 + \frac{(a-c) \cdot 0}{(b-c)(b-a)} + \frac{0 \cdot (a-b)}{(c-a)(c-b)} = 1 + 0 + 0 = 1$

При $x=b$:

$f(b) = \frac{(b-b)(b-c)}{(a-b)(a-c)} + \frac{(b-c)(b-a)}{(b-c)(b-a)} + \frac{(b-a)(b-b)}{(c-a)(c-b)}$

$f(b) = \frac{0 \cdot (b-c)}{(a-b)(a-c)} + 1 + \frac{(b-a) \cdot 0}{(c-a)(c-b)} = 0 + 1 + 0 = 1$

При $x=c$:

$f(c) = \frac{(c-b)(c-c)}{(a-b)(a-c)} + \frac{(c-c)(c-a)}{(b-c)(b-a)} + \frac{(c-a)(c-b)}{(c-a)(c-b)}$

$f(c) = \frac{(c-b) \cdot 0}{(a-b)(a-c)} + \frac{0 \cdot (c-a)}{(b-c)(b-a)} + 1 = 0 + 0 + 1 = 1$

Мы получили, что многочлен $f(x)$ степени не выше второй принимает значение 1 в трех различных точках: $a, b, c$. Единственный многочлен степени не выше второй, который равен 1 в трех различных точках, это тождественно равный 1 многочлен. Следовательно, $f(x) = 1$ для всех допустимых значений $x, a, b, c$.

Ответ: $1$

Упростим выражение по частям, начиная с самого внутреннего знаменателя.

1. Сначала упростим выражение $3+\frac{1}{y}$:

$3+\frac{1}{y} = \frac{3y}{y} + \frac{1}{y} = \frac{3y+1}{y}$

2. Теперь подставим результат в следующую часть выражения $2+\frac{1}{3+\frac{1}{y}}$:

$2+\frac{1}{\frac{3y+1}{y}} = 2+\frac{y}{3y+1} = \frac{2(3y+1)}{3y+1} + \frac{y}{3y+1} = \frac{6y+2+y}{3y+1} = \frac{7y+2}{3y+1}$

3. Наконец, упростим все выражение $1+\frac{1}{2+\frac{1}{3+\frac{1}{y}}}$:

$1+\frac{1}{\frac{7y+2}{3y+1}} = 1+\frac{3y+1}{7y+2} = \frac{7y+2}{7y+2} + \frac{3y+1}{7y+2} = \frac{7y+2+3y+1}{7y+2} = \frac{10y+3}{7y+2}$

Ответ: $\frac{10y+3}{7y+2}$

Упростим выражение по частям, начиная с самого внутреннего знаменателя.

1. Сначала упростим выражение $a-\frac{a}{1-a}$:

$a-\frac{a}{1-a} = \frac{a(1-a)}{1-a} - \frac{a}{1-a} = \frac{a-a^2-a}{1-a} = \frac{-a^2}{1-a}$

2. Теперь подставим результат в следующую часть выражения $a-\frac{1}{a-\frac{a}{1-a}}$:

$a-\frac{1}{\frac{-a^2}{1-a}} = a-\frac{1-a}{-a^2} = a+\frac{1-a}{a^2} = \frac{a \cdot a^2}{a^2} + \frac{1-a}{a^2} = \frac{a^3+1-a}{a^2}$

3. Наконец, упростим все выражение $\frac{1}{a-\frac{1}{a-\frac{a}{1-a}}}$:

$\frac{1}{\frac{a^3-a+1}{a^2}} = \frac{a^2}{a^3-a+1}$

Ответ: $\frac{a^2}{a^3-a+1}$

7.38. Задумайте число, умножьте его на 3, к произведению прибавьте 36, полученное число разделите на 3, от результата отнимите задуманное число. В результате получится число 12. Какое бы число вы ни задумали, ответ будет равен 12. Почему? Объясните.

Этот математический фокус работает, потому что последовательность действий составлена таким образом, что задуманное число в итоге всегда сокращается. Давайте докажем это с помощью алгебры.

Обозначим задуманное число переменной $x$. Теперь выполним все шаги, указанные в задаче, с этой переменной:

1. Задумайте число: $x$
2. Умножьте его на 3: $3 \cdot x = 3x$
3. К произведению прибавьте 36: $3x + 36$
4. Полученное число разделите на 3: $\frac{3x + 36}{3}$
5. От результата отнимите задуманное число: $\frac{3x + 36}{3} - x$

Теперь нам нужно упростить полученное математическое выражение. Для этого мы можем разделить каждый член в числителе дроби на знаменатель:

$\frac{3x}{3} + \frac{36}{3} - x$

Выполним деление:

$x + 12 - x$

И, наконец, приведем подобные слагаемые. Переменная $x$ и $-x$ взаимно уничтожаются:

$(x - x) + 12 = 0 + 12 = 12$

Таким образом, какое бы число $x$ мы ни выбрали в самом начале, оно неизбежно исчезнет в процессе вычислений, и в результате всегда будет оставаться число 12.

Ответ: Результат всегда равен 12, потому что алгебраическое выражение, описывающее данную последовательность действий, упрощается до константы 12, а задуманное число (переменная $x$) сокращается: $\frac{3x + 36}{3} - x = \frac{3x}{3} + \frac{36}{3} - x = x + 12 - x = 12$. Следовательно, итоговый ответ не зависит от изначально задуманного числа.

7.39. Докажите, что сумма $333^{555}+555^{333}$ кратна 37.

Для того чтобы доказать, что сумма $333^{555} + 555^{333}$ кратна 37, преобразуем данное выражение, проанализировав его слагаемые.

Сначала рассмотрим основания степеней: числа 333 и 555. Найдем их связь с числом 37. Заметим, что число 111 делится на 37:

$111 = 3 \times 37$

Используя этот факт, разложим на множители числа 333 и 555:

$333 = 3 \times 111 = 3 \times (3 \times 37) = 9 \times 37$

$555 = 5 \times 111 = 5 \times (3 \times 37) = 15 \times 37$

Таким образом, оба числа, 333 и 555, делятся на 37 без остатка.

Теперь подставим полученные разложения в исходную сумму:

$333^{555} + 555^{333} = (9 \times 37)^{555} + (15 \times 37)^{333}$

Воспользуемся свойством степени $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ и раскроем скобки в каждом слагаемом:

$9^{555} \cdot 37^{555} + 15^{333} \cdot 37^{333}$

Мы видим, что оба слагаемых содержат множитель 37 в некоторой степени. Мы можем вынести общий множитель за скобки. В качестве общего множителя возьмем наименьшую степень числа 37, то есть $37^{333}$:

$37^{333} \cdot (9^{555} \cdot 37^{555-333} + 15^{333})$

Упростим показатель степени у числа 37 в скобках:

$37^{333} \cdot (9^{555} \cdot 37^{222} + 15^{333})$

Обозначим выражение в скобках как $K$: $K = 9^{555} \cdot 37^{222} + 15^{333}$. Поскольку это выражение является суммой и произведением целых чисел, $K$ также является целым числом.

Тогда исходную сумму можно записать в виде произведения:

$333^{555} + 555^{333} = 37^{333} \cdot K$

Из полученного выражения видно, что сумма $333^{555} + 555^{333}$ является произведением целого числа $K$ и числа $37^{333}$. Это означает, что сумма делится на $37^{333}$, и, следовательно, она делится на 37.

Таким образом, мы доказали, что сумма $333^{555} + 555^{333}$ кратна 37.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма $333^{555} + 555^{333}$ кратна 37, так как каждое из оснований (333 и 555) кратно 37, что позволяет вынести множитель $37^{333}$ за скобки, доказывая делимость всей суммы на 37.

7.40. Представьте произведение в виде степени:

1) $2 \cdot 2^2 \cdot 2^3 \cdot \dots \cdot 2^{31};$

2) $5 \cdot 5^2 \cdot 5^3 \cdot \dots \cdot 5^{33};$

3) $7^2 \cdot 7^4 \cdot 7^6 \cdot \dots \cdot 7^{2n}.$

1) Для того чтобы представить произведение $2 \cdot 2^2 \cdot 2^3 \cdot \ldots \cdot 2^{31}$ в виде степени, необходимо воспользоваться свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. В данном выражении основание равно 2. Первый множитель $2$ можно представить как $2^1$.
Таким образом, произведение можно записать в следующем виде:
$2^1 \cdot 2^2 \cdot 2^3 \cdot \ldots \cdot 2^{31} = 2^{1+2+3+\ldots+31}$
Показатель степени является суммой членов арифметической прогрессии от 1 до 31. Для нахождения этой суммы можно использовать формулу суммы первых $n$ натуральных чисел: $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$.
В нашем случае $n=31$, поэтому сумма показателей равна:
$S_{31} = \frac{31(31+1)}{2} = \frac{31 \cdot 32}{2} = 31 \cdot 16 = 496$.
Следовательно, исходное произведение равно $2^{496}$.
Ответ: $2^{496}$

2) Данное произведение $5 \cdot 5^2 \cdot 5^3 \cdot \ldots \cdot 5^{33}$ решается аналогично предыдущему пункту. Основание степени равно 5, а первый множитель $5$ равен $5^1$.
Применяя свойство умножения степеней, получим:
$5^1 \cdot 5^2 \cdot 5^3 \cdot \ldots \cdot 5^{33} = 5^{1+2+3+\ldots+33}$
Показатель степени является суммой арифметической прогрессии от 1 до 33. Найдем эту сумму, используя ту же формулу $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$ при $n=33$.
$S_{33} = \frac{33(33+1)}{2} = \frac{33 \cdot 34}{2} = 33 \cdot 17 = 561$.
Таким образом, искомое выражение равно $5^{561}$.
Ответ: $5^{561}$

3) Рассмотрим произведение $7^2 \cdot 7^4 \cdot 7^6 \cdot \ldots \cdot 7^{2n}$. Основание степени равно 7.
Используя свойство умножения степеней, складываем показатели:
$7^2 \cdot 7^4 \cdot 7^6 \cdot \ldots \cdot 7^{2n} = 7^{2+4+6+\ldots+2n}$
Показатель степени представляет собой сумму четных чисел от 2 до $2n$. Это сумма членов арифметической прогрессии, где первый член $a_1=2$, разность $d=2$, а последний член равен $2n$. Количество членов в этой прогрессии равно $n$.
Найдем сумму этой прогрессии по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
$S_n = \frac{2 + 2n}{2} \cdot n = \frac{2(1+n)}{2} \cdot n = (1+n)n = n(n+1)$.
Также можно вынести общий множитель 2 за скобки в сумме показателей:
$2+4+6+\ldots+2n = 2(1+2+3+\ldots+n) = 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = n(n+1)$.
Следовательно, произведение можно записать в виде степени $7^{n(n+1)}$.
Ответ: $7^{n(n+1)}$

7.41. Найдите значение выражения:

1) $\frac{(8^{n+1} + 8^n)^2}{(4^n - 4^{n-1})^3}$, $n \in N$;

2) $\frac{(4^{n+1} + 6 \cdot 4^n)^3}{(8^{n+1} + 2 \cdot 8^n)^2}$, $n \in N$.

1) Для нахождения значения выражения $ \frac{(8^{n+1} + 8^n)^2}{(4^n - 4^{n-1})^3} $ преобразуем числитель и знаменатель по отдельности.

Сначала упростим числитель, вынеся за скобки общий множитель $8^n$:

$ (8^{n+1} + 8^n)^2 = (8 \cdot 8^n + 1 \cdot 8^n)^2 = (8^n(8+1))^2 = (9 \cdot 8^n)^2 = 9^2 \cdot (8^n)^2 = 81 \cdot 8^{2n} $.

Теперь упростим знаменатель, вынеся за скобки общий множитель $4^{n-1}$:

$ (4^n - 4^{n-1})^3 = (4 \cdot 4^{n-1} - 1 \cdot 4^{n-1})^3 = (4^{n-1}(4-1))^3 = (3 \cdot 4^{n-1})^3 = 3^3 \cdot (4^{n-1})^3 = 27 \cdot 4^{3(n-1)} = 27 \cdot 4^{3n-3} $.

Подставим полученные выражения обратно в дробь:

$ \frac{81 \cdot 8^{2n}}{27 \cdot 4^{3n-3}} $

Чтобы упростить это выражение, приведем степени к одному основанию 2. Известно, что $8=2^3$ и $4=2^2$.

$ 8^{2n} = (2^3)^{2n} = 2^{6n} $

$ 4^{3n-3} = (2^2)^{3n-3} = 2^{2(3n-3)} = 2^{6n-6} $

Подставим эти значения в дробь и выполним вычисления:

$ \frac{81 \cdot 2^{6n}}{27 \cdot 2^{6n-6}} = \frac{81}{27} \cdot \frac{2^{6n}}{2^{6n-6}} = 3 \cdot 2^{6n - (6n-6)} = 3 \cdot 2^{6n - 6n + 6} = 3 \cdot 2^6 = 3 \cdot 64 = 192 $.

Ответ: 192

2) Для нахождения значения выражения $ \frac{(4^{n+1} + 6 \cdot 4^n)^3}{(8^{n+1} + 2 \cdot 8^n)^2} $ также преобразуем числитель и знаменатель.

Упростим числитель, вынеся за скобки общий множитель $4^n$:

$ (4^{n+1} + 6 \cdot 4^n)^3 = (4 \cdot 4^n + 6 \cdot 4^n)^3 = (4^n(4+6))^3 = (10 \cdot 4^n)^3 = 10^3 \cdot (4^n)^3 = 1000 \cdot 4^{3n} $.

Упростим знаменатель, вынеся за скобки общий множитель $8^n$:

$ (8^{n+1} + 2 \cdot 8^n)^2 = (8 \cdot 8^n + 2 \cdot 8^n)^2 = (8^n(8+2))^2 = (10 \cdot 8^n)^2 = 10^2 \cdot (8^n)^2 = 100 \cdot 8^{2n} $.

Подставим полученные выражения в дробь:

$ \frac{1000 \cdot 4^{3n}}{100 \cdot 8^{2n}} $

Приведем степени к основанию 2:

$ 4^{3n} = (2^2)^{3n} = 2^{6n} $

$ 8^{2n} = (2^3)^{2n} = 2^{6n} $

Подставим эти значения и вычислим:

$ \frac{1000 \cdot 2^{6n}}{100 \cdot 2^{6n}} = \frac{1000}{100} \cdot \frac{2^{6n}}{2^{6n}} = 10 \cdot 1 = 10 $.

Ответ: 10